等差数列とその和

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「数列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓規則性を見つける
↓一般項に慣れる

↓等差数列-現在地
↓等比数列，循環数列

↓和の記号Σ
↓同 (2)
↓同 (3)
↓Σ記号の変形
↓等比数列のΣ
↓いろいろな数列のΣ

↓階差数列
↓S_na_n関係式
↓部分分数分解
↓等差×等比形の数列の和

↓群数列

↓自然数の累乗の和
センター試験.数B.数列

【等差数列の定義１】
隣り合う２項の差が一定の定数である数列を等差数列といいます

２項の差は，後ろの項から前の項を引いたものとします
差が等しいから「等差」数列と考えるとよい
等差数列の隣り合う２項の差を公差といいます

【例１】
数列1, 3, 5, 7,…… は等差数列です．

（解説）
隣り合う２項の差は

3−1=2
5−3=2
7−5=2
……

とすべて同じ定数2になっています．公差は2です．

【例２】
数列20, 17, 14, 11,…… は等差数列です．

（解説）
隣り合う２項の差は

17−20=−3
14−17=−3
11−14=−3
……

とすべて同じ定数−3になっています．公差は−3です．

## ビックリ答案 ##
　隣り合う2項の差が一定の規則で成り立っているだけでは，等差数列とは言えません．
　等差数列と言えるためには，差が一定の「定数」，すなわち「項の番号に依存しない定数」として「どの２項間にも共通の定数」でなければなりません．
　めったにないことですが，

右のような数列を「公差」nの等差数列だ！などと考えてはいけません．
２項間の差が「項の番号nに依存して変化する」ような数列は等差数列とは言いません．

等差数列は，初項（第１項）に公差となる定数を次々に加えていくと得られます．そこで，多くの教科書では，等差数列を次のように定義しています．

【等差数列の定義２】
初項aに定数dを次々に加えて得られる数列を等差数列といい，その定数dを公差という．

【例１’ 】（再掲）
数列1, 3, 5, 7,…… は等差数列です．

（解説）
初項1に公差2を次々に加えて得られる数列となっています．

1+2=3
3+2=5
5+2=7
……

【例２’ 】（再掲）
数列20, 17, 14, 11,…… は等差数列です．

（解説）
初項20に公差−3を次々に加えて得られる数列となっています．

20+(−3)=17
17+(−3)=14
14+(−3)=11
……

【等差数列の一般項の公式】
初項a，公差dの等差数列の一般項anは
an=a+(n−1)d

（解説）

項がnあるとき，その間はn−1個あります．
a2=a+1d
a3=a+2d
a4=a+3d
このように，初項に公差dを項の番号nよりも１つ少ないn−1回加えると第ｎ項anが得られます．
an=a+(n−1)d

【例１” 】（再掲）
等差数列1, 3, 5, 7,…… の一般項anをｎの式で表してください．

（解説）
初項a=1，公差d=2だから
an=1+2(n−1)=2n−1…（答）

【例２” 】（再掲）
等差数列20, 17, 14, 11,…… の一般項anをｎの式で表してください．

（解説）
初項a=20，公差d=−3だから
an=20+(−3)(n−1)=23−3n…（答）

【問題１】　選択肢の中から正しいものを１つクリック

(1)
初項3，公差4の等差数列の一般項anをｎの式で表してください．

解説やり直す

4n−3 4n−1 4n+1 4n+3

初項a=3，公差d=4を，an=a+(n−1)dに代入すると
an=3+4(n−1)=4n−1 …（答）

→閉じる←

(2)
等差数列anの第3項が12，第7項が24であるとき，この数列の初項aと公差dを求めてください．

解説やり直す

a=12, d=3 a=12, d=4

a=6, d=3 a=6, d=4

初項aと公差dとすると
a3=a+2d=12…①
a7=a+6d=24…②
a, dを未知数として，この連立方程式を解く．
②から①を辺々引くと
4d=12
d=3
これを①に代入すると
a+6=12
a=6
ゆえに，a=6, d=3 …（答）

→閉じる←

(3)
等差数列101, 94, 87,…… で初めて負の数になるのは第何項か．

解説やり直す

第15項第16項第17項第18項

初項a=101，公差d=−7の等差数列の一般項は
an=101+(n−1)×(−7)=108−7n
このとき
an<0
となる正の整数nの値の範囲を求めると
108−7n<0
より

n > \frac{108}{7} = 15.4 . . .

nは整数だから，n≧16
第16項…（答）

→閉じる←

(4)
　a, b, cをこの順に並べて等差数列をなしている場合，bはaとcの等差中項であるという．
　3と15の等差中項を求めてください．

解説やり直す

6 7 8 9

求める等差中項をx，公差をdとおくと
x−3=15−x(=d)
が成り立つ
2x=18
x=9…（答）

（参考）
上記の答案は，d=6の場合を想定した答案ですが，3, 9, 15の順（d=6）に並べても，15, 9, 3の順（d=−6）に並べても等差数列になります．

→閉じる←

(5)
　数列の各項の逆数が等差数列をなすとき，元の数列は調和数列をなすといいます．
　例えば，数列

\frac{2}{3}, \frac{2}{5}, \frac{2}{7}, . . .

…(A)
の逆数から成る数列は

\frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}, . . .

…(B)
となり，(B)は公差1の等差数列です．したがって，(A)は調和数列です．
　次の数列が調和数列をなすとき，xの値を求めてください．
6, x, 12

解説やり直す

7 8 9 10

\frac{1}{6}, \frac{1}{x}, \frac{1}{12}

が等差数列になるのだから

\frac{1}{x} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} - \frac{1}{x}

12 - 2 x = x - 12

3 x = 24

x = 8

…（答）
※(参考)

\frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{12}

すなわち

\frac{4}{24}, \frac{3}{24}, \frac{2}{24}

は，公差

- \frac{1}{24}

の等差数列になります

→閉じる←

(6)
　等差数列anの第3項が18，第9項が48であるとき，この数列の一般項anを求めてください．

解説やり直す

an=5n+3 an=5n+8 an=6n+3 an=6n+8

初項aと公差dとすると
a3=a+2d=18…①
a9=a+8d=48…②
a, dを未知数として，この連立方程式を解く．
②から①を辺々引くと
6d=30
d=5
これを①に代入すると
a=8
ゆえに，an=8+(n−1)×5=5n+3 …（答）

→閉じる←

【等差数列の和の公式】
(A) 初項a，末項l，項数nの等差数列の初項から末項までの和Snは

S_{n} = \frac{n (a + l)}{2}

(B) 初項a，公差d，項数nの等差数列の初項から第ｎ項までの和Snは

S_{n} = \frac{n {2 a + (n - 1) d}}{2}

※どちらも
アン（a, n）は必須
デル（d, l）は１つ選びます．

（解説）

≪逸話：少年ガウスの方法≫
　ガウス（ドイツの大数学者1776～1855）が少年の頃，小学校の先生が

1+2+3+4+5+…100
を計算しなさいと言って，しばらく誰もできないだろうと考えていたら，少年ガウスは直ちに正解を出した．
　彼は，右図のように逆順に足したものと組み合わせると，縦の和がいずれも101になることから
S=(101×100)÷2=5050
と直ちに答えたと言われている．

(A)の公式は，少年ガウスの方法そのものです．
求めたい和Sと，逆順に加えた和Sの２つ用意します．
←----------- 項数はｎ項 ----------→
S=a+(a+d)+(a+2d)+……+(l−d)+l
+ ) S=l+(l−d)+……+(a+2d)+(a+d)+a

2S=(a+l)× n
２で割ると

S_{n} = \frac{n (a + l)}{2}

(B)の公式は，末項lが書かれていなくて，初項a，公差d，項数nが分かっているときに使います．
初項a，公差dの等差数列の第ｎ項（ここでは末項l）は
an=l=a+(n−1)d
だから，このlを上記の(A)に代入すると

S_{n} = \frac{n {a + a + (n - 1) d}}{2}

= \frac{n {2 a + (n - 1) d}}{2}

【例３】
次の等差数列の和を求めてください．
　100, 101, 102,……, 199, 200

（解説）
初項a=100，末項l=200

項数nは，幅（ロープ）が200−100=100のときの植木の本数だから，101項になることに注意しましょう．

項数n=101だから

S = \frac{101 \times (100 + 200)}{2} = 15150

…（答）

【例４】
初項50，公差−3，項数10の等差数列の和を求めてください．

（解説）
a=50，d=−3，n=10を

S = \frac{n {2 a + (n - 1) d}}{2}

に代入します．

S = \frac{10 \times {100 + 9 \times (- 3)}}{2}

= \frac{10 \times (100 - 27)}{2} = \frac{730}{2} = 365

…（答）

【例５】
初項17，公差−3の等差数列において，初項から第何項までの和が最大になるか．

（解説）
第ｎ項までの和を

S_{n}

で表すと

S_{n} = \frac{n {34 + (n - 1) \times (- 3)}}{2} = \frac{n (37 - 3 n)}{2}

= - \frac{3}{2} n^{2} + \frac{37}{2} n

これは上に凸（山形）の２次関数になるから，頂点に最も近い整数値ｎで最大となるはずである．
平方完成の変形をして，頂点を求めると

S_{n} = - \frac{3}{2} (n^{2} - \frac{37}{3} n)

= - \frac{3}{2} {(n - \frac{37}{6})^{2} - (\frac{37}{6})^{2}}

= - \frac{3}{2} (n - \frac{37}{6})^{2} + \frac{3}{2} \times (\frac{37}{6})^{2}

ｙ座標の詳しい分数計算をしなくても，37/6=6.16...の前後にある整数ｎで最大値をとることが分かる．
n=6のとき，

S_{6} = \frac{6 \times (37 - 18)}{2} = 57

n=7のとき，

S_{7} = \frac{7 \times (37 - 21)}{2} = 56

ゆえに，第６項までの和が最大になる…（答）

初項は17であるが，公差が−3なので，項の値はだんだん減ってくる．
総和は，正の数を足す限り増えるが，負の数を足せば減るから，
項が正となる範囲だけ足せばよい．

a_{n} = 17 + (n - 1) \times (- 3)

= 20 - 3 n > 0

を解くと

n < \frac{20}{3} = 6.6 . . .

ｎは整数だからn≦6
ゆえに，第６項までの和が最大になる…（答）

【例６】
１以上100以下の正の整数のうちで
(1) ２で割り切れる数の和を求めてください．
(2) ３で割り切れる数の和を求めてください．
(3) ２でも３でも割り切れない数の和を求めてください．

（解説）
(1) 2で割り切れる数は，2,4,6,8,...,100で，公差2の等差数列をなす．
an=2+2(n−1)=2nとおくと
1≦2n≦100により
1≦n≦50
項数50であるから，その和は

S_{A} = \frac{50 \times (2 + 100)}{2} = 2550

…（答）
(2) 3で割り切れる数は，3,6,9,...,99で，公差3の等差数列をなす．
bn=3+3(n−1)=3nとおくと
1≦3n≦100により
1≦n≦33
項数33であるから，その和は

S_{B} = \frac{33 \times (3 + 99)}{2} = 1683

…（答）

(3) ２でも３でも割り切れない数は，1,5,7,9,11,...となっているから等差数列ではない．
しかし，右図において，２でも３でも割り切れる数（6で割り切れる数）は，6,12,18,24,...,96となり，公差6の等差数列をなす．
そこで，Ａ：２で割り切れる数，Ｂ：３で割り切れる数，Ｃ=Ａ∩Ｂ：6で割り切れる数としたときに，求めるものは，
全体の和Ｓ(Ｕ)からＳ(Ａ∪Ｂ)=Ｓ(Ａ)+Ｓ(Ｂ)−Ｓ(Ａ∩Ｂ)を引けば求められる．
6で割り切れる数は，6,12,18,...,96で，公差6の等差数列をなす．
cn=6+6(n−1)=6nとおくと
1≦6n≦100により
1≦n≦16
項数16であるから，その和は

S_{C} = \frac{16 \times (6 + 96)}{2} = 816

したがって，２または3で割り切れる数の和は

S_{A} + S_{B} - S_{C} = 2550 + 1683 - 816 = 3417

１以上100以下の正の整数の和は

S_{U} = \frac{100 \times (1 + 100)}{2} = 5050

求めるものは

5050 - 3417 = 1633

…（答）

【問題２】　選択肢の中から正しいものを１つクリック

(1)
次の等差数列の和を求めてください．
　7, 15, 23, ……, 79, 87

解説やり直す

430 517 527 605

初項a=7，公差d=8，末項l=87
項数は7+8(n−1)=87より
n=11より

S = \frac{11 \times (7 + 87)}{2} = 517

…（答）

→閉じる←

(2)
初項10，公差12，項数14の等差数列の和を求めてください．

解説やり直す

1162 1176 1232 1246

S = \frac{14 \times (20 + 13 \times 12)}{2} = 1232

…（答）

→閉じる←

(3)
初項−50，公差7の等差数列において，初項から第何項までの和が最小になるか．

解説やり直す

第8項第9項第10項第11項

初項は−50であるが，公差が7なので，項の値はだんだん増えてくる．
総和は，負の数を足す限り減るが，正の数を足せば増えるから，項の値が負の数となる範囲だけ足せばよい．

a_{n} = - 50 + (n - 1) \times 7

= 7 n - 57 < 0

を解くと

n < \frac{57}{7} = 8.14 . . .

ｎは整数だからn≦8
ゆえに，第８項までの和が最小になる…（答）

→閉じる←

(4)
１以上100以下の正の整数のうちで，5でも7でも割り切れない数の和を求めてください．

解説やり直す

1680 3265 3370 3475

5でも7でも割り切れない数は，1,2,3,4,6,8,9,...となっているから等差数列ではない．
しかし，5でも7でも割り切れる数（35で割り切れる数）は，35,70,...となり，公差35の等差数列をなす．
そこで，Ａ：5で割り切れる数，Ｂ：7で割り切れる数，Ｃ=Ａ∩Ｂ：35で割り切れる数としたときに，求めるものは，
全体の和Ｓ(Ｕ)からＳ(Ａ∪Ｂ)=Ｓ(Ａ)+Ｓ(Ｂ)−Ｓ(Ａ∩Ｂ)を引けば求められる．
35で割り切れる数は，35,70
その和は

S_{C} = 105

　5で割り切れる数は，5,10,15,...,100で，公差5の等差数列をなす．
an=5nとおくと
1≦5n≦100により
1≦n≦20
項数20であるから，その和は

S_{A} = \frac{20 \times (5 + 100)}{2} = 1050

…（答）
　7で割り切れる数は，7,14,21,...で，公差7の等差数列をなす．
bn=7nとおくと
1≦7n≦100により
1≦n≦14
項数14であるから，その和は

S_{B} = \frac{14 \times (7 + 98)}{2} = 735

…（答）
Ｓ(Ａ∪Ｂ)=Ｓ(Ａ)+Ｓ(Ｂ)−Ｓ(Ａ∩Ｂ)は

S_{A} + S_{B} - S_{C} = 1050 + 735 - 105 = 1680

1+2+3+...+100=5050だから，求めるものは

5050 - 1680 = 3370

…（答）

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