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※中学３年生向け「２次方程式」について，このサイトには次の教材があります． この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です．  ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る |
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【要点】
(1) 右辺が0になるように変形する
【例】
▼この形のままでは解けない x2+x=6 ◎右辺が0の形にすると因数分解できる x2+x−6=0 (2) 左辺を因数分解する（一番大きな区切りを掛け算にする）
【例】
▼これは因数分解ではない (x+1)(x+2)+6=0 ◎一番大きな区切りが掛け算になっていることが重要 (x+3)(x−4)=0 (3) ２つの１次方程式に分かれた後で，符号に注意すること
【例】
因数分解のときの係数と方程式の解は符号が違う x2+2x−3=0 → (x+3)(x−1)=0 → x+3=0またはx−1=0
x+3=0から，+3を右辺に移項すると，符号が変わるからx=−3
x−1=0から，−1を右辺に移項すると，符号が変わるからx=1
→ x=−3, 1
※２次方程式の解き方で，左辺が因数分解できるとき，割と簡単に解けます．
しかし，間違った思い込みをしている場合は，全部間違うことがあります． 解答について「全部間違っている！」と何度も抗議の連絡をくれる人は，もう一度上の(3)を読んでください． |
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【問題１】 次の２次方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
(1)
x2+3x+2=0
左辺のx2+3x+2を因数分解するには
積が2で和が3となる２数を探します
積が2となるのは，1, 2の組と−1, −2の組があります．
以上からこのうちで和が3となるのは，1, 2の組です．（−1, −2の組は和が−3になって合いません） x2+3x+2=(x+1)(x+2) になりますから (x+1)(x+2)=0 を解きます． x+1=0またはx+2=0 から，それぞれ定数を右辺に移項すると x=−1またはx=−2 したがって， x=−1, −2…（答） |
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(2)
x2+x−12=0
x2+x−12=0の左辺を因数分解する
(x+4)(x−3)=0 １次式に分けると x+4=0またはx−3=0 それぞれ定数を右辺に移項すると x=−4またはx=3 したがって， x=−4, 3…（答） |
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(3)
x2−5x+6=0
x2−5x+6=0の左辺を因数分解する
(x−2)(x−3)=0 １次式に分けると x−2=0またはx−3=0 それぞれ定数を右辺に移項すると x=2またはx=3 したがって， x=2, 3…（答） |
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(4)
x2−5x−6=0
x2−5x−6=0の左辺を因数分解する
(x+1)(x−6)=0 １次式に分けると x+1=0またはx−6=0 それぞれ定数を右辺に移項すると x=−1またはx=6 したがって， x=−1, 6…（答） |
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【問題２】 次の２次方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
(1)
x2−4=0
x2−4=0の左辺を因数分解する
(x+2)(x−2)=0 １次式に分けると x+2=0またはx−2=0 それぞれ定数を右辺に移項すると x=−2またはx=2 したがって， x=±2…（答） |
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(2)
x2−4x=0
x2−4x=0の左辺を因数分解する
x(x−4)=0 １次式に分けると x=0またはx−4=0 x=0またはx=4 したがって， x=0, 4…（答） ※この解答において，x=0を忘れる答案が多いので注意しましょう． 次のような問題でも同様です． 【例】 x(x+3)=0→ x=0, −3 x(x−2)=0→ x=0, 2 |
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(3)
x2−6x+9=0
x2−6x+9=0の左辺を因数分解する
(x−3)2=0 １次式に分けると x−3=0 x=3…（答） ※この問題のように２つの解が重なって同じ値になっている場合，高校ではx=3（重解）と書くことになっていますが，中学校の教科書には，重解という用語がないので，単にx=3だけでよい．高校風に，x=3（重解）と書いてもよい． 次のような問題でも同様です． 【例】 (x−4)2=0→ x=4 (x+1)2=0→ x=−1 |
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(4)
(x+3)2=4
初めに展開して，整理してから因数分解する
x2+6x+9=4 x2+6x+5=0 (x+1)(x+5)=0 １次式に分けると x+1=0またはx+5=0 定数項を移項すると x=−1またはx=−5 x=−1, −5…（答）
≪別解≫
次のように，2乗を開いて解いてもよい (x+3)2=4 より x+3=±2 x=−3±2 分けると x=−1, −5…（答） |
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【問題３】 次の２次方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
(1)
2(x2−7)=(x−1)2
初めに展開して，整理してから因数分解する
2x2−14=x2−2x+1 x2+2x−15=0 (x+5)(x−3)=0 １次式に分けると x+5=0またはx−3=0 x=−5またはx=3 x=−5, 3…（答） |
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(2)
(x+3)2=(2x−3)2
初めに展開して，整理してから因数分解する
x2+6x+9=4x2−12x+9 右辺に移項して両辺を入れ換える 3x2−18x=0 3x(x−6)=0 １次式に分けると x=0またはx−6=0
この変形において3は0にならないから，何も関係がないことに注意
x=0またはx=6もっと簡単な例で言えば，3(x+1)=0ならx+1=0になる x=0, 6…（答）
≪別解≫
次のように，（2乗）－（2乗）の因数分解を使ってもよい (x+3)2−(2x−3)2=0 より {(x+3)+(2x−3)}{(x+3)−(2x−3)}=0 3x(−x+6)=0 分けると x=0または−x+6=0
この変形において3は0にならないから，何も関係がないことに注意
x=0, 6…（答）もっと簡単な例で言えば，3x=0ならx=0になる |
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(3)
(2x−1)(3x−1)=(2x−1)2
初めに展開して，整理してから因数分解する
6x2−5x+1=4x2−4x+1 2x2−x=0 x(2x−1)=0 １次式に分けると x=0または2x−1=0 x=0または
※この問題はできない人が多いと予想されます．
まず，2x2−x=0の因数分解で困る人が何割かいるでしょう さらに，x(2x−1)=0から先の変形に困る人も多いでしょう． 最後までたどり着ける人は少ない． |
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(4)
2(x+1)2=−(x−1)2+3
初めに展開して，整理してから因数分解する
2(x2+2x+1)=−(x2−2x+1)+3 2x2+4x+2=−x2+2x−1+3 3x2+2x=0 x(3x+2)=0 １次式に分けると x=0または3x+2=0 x=0または |
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２次方程式の解の公式（虚数解含む）