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※中学３年生向け「２次方程式」について，このサイトには次の教材があります． この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です．  ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る |
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２次方程式の解の公式を使うためには，根号計算，特に「根号を含む分数」の約分が正確にできなければなりません．この頁では解の公式を使ったときに登場する「根号を含む分数」の約分を練習します．
【例１】次の式を約分して簡単にしてください．
【解答】 6±3√296±3√29=2±√23（注意） 分母を３で割るときは，分子のどの項もすべて３で割らなければなりません．次の例はよくある間違いで，分子の内の一部分だけを３で割っているところが間違いです． 6±√23 は間違い2±3√23 は間違い
※上のような間違いを避けるために，「約分する前には必ず（ ）でくくる」（かっこでくくっていない式は約分しない）と決めると安全に約分ができます． 6±3√29=3(2±√2)9=2±√23 |
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次の式を約分して簡単にしてください．（正しいものを下の選択肢から選んでください．）
 6±√34
3±2√34
3±√34
3±√32
1±√3
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6, 2, 8はいずれも2で割り切れるので（最大公約数は2だから），分母・分子を2で割ります．
6±2√38=3±√34※「約分する前に（ ）でくくる」方式で行うときは 6±2√38=2(3±√3)8=3±√34 |
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1±3 √5
3±√5
2±√52
2±3√52
6±√52
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6, 3, 6はいずれも3で割り切れるので（最大公約数は3だから），分母・分子を3で割ります．
6±3√56=2±√52※「約分する前に（ ）でくくる」方式で行うときは 6±3√56=3(2±√5)6=2±√52 |
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−3± √3
−1±3√3
−3±62
−1±6√32
−1±2√32
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3, 6, 6はいずれも3で割り切れるので（最大公約数は3だから），分母・分子を3で割ります．
−3±6√36=−1±2√32※「約分する前に（ ）でくくる」方式で行うときは −3±6√36=3(−1±2√3)6=−1±2√32 |
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2± √5
2±6√5
3±4√5
4±3√5
12±√5
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12, 6, 6はいずれも6で割り切れるので（最大公約数は6だから），分母・分子を6で割ります．
12±6√56=2±√5※「約分する前に（ ）でくくる」方式で行うときは 12±6√56=6(2±√5)6=2±√5 |
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−2±9 −6±9 −2±3 √3
−2±9√3
−6±3√3
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6, 9, 3はいずれも3で割り切れるので（最大公約数は3だから），分母・分子を3で割ります．
−6±9√33=−2±3√3※「約分する前に（ ）でくくる」方式で行うときは −6±9√36=3(−2±3√3)3=−2±√3 |
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【例２】次の式を約分して簡単にしてください．
【解答】6±√1246±√124=6±2√34=3±√32
根号の中の数を素因数分解したときに２個ある数は，根号の外に出したときに１個になります．
例 √12=√22×3=2√3根号の中に３個ある数は，２個だけ出せます． 例 √27=√33=3√3根号の中に４個ある数は，根号の外に出したときに２個になります． 例 √16=√24=22=4２種類以上の数字が外に出ることもあります． 例 √72=√23×32=2×3√2=6√2
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1± √18
3±√2
6±√3
2±√22
6±√22
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はじめに，
√18を変形しておきます．√18=√2×32=3√2次に，6, 3, 6はいずれも3で割り切れるので（最大公約数は3だから），分母・分子を3で割ります． 6±3√26=2±√22
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12±1 4± √3
4±√39
4±3√39
12±√39
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はじめに，
√27を変形しておきます．√27=√33=3√3次に，12, 3, 27はいずれも3で割り切れるので（最大公約数は3だから），分母・分子を3で割ります． 12±3√327=4±√39
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−4± √6
−4±√12
−4±√24
−8±√6
−8±√12
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はじめに，
√24を変形しておきます．√24=√23×3=2√6次に，8, 2, 2はいずれも2で割り切れるので（最大公約数は2だから），分母・分子を2で割ります． −8±2√62=−4±√6
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【例３】次の式を約分して簡単にしてください．
【解答】1±√921±√92=1±32だから−1, 2
根号が完全にはずれるもの ⇒ 分ければ簡単になる．
分ければ簡単になるものは分けて答える． 根号の中に数字が残るもの ⇒ 分けても簡単にならない． 分けても簡単にならないものは±のまま答える． |
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1±32は２つの数字1−32, 1+32をまとめて書いたものなので，1−32=−22=−11+32=42=2 のように「分けて書けば簡単になります」． このように
分ければ簡単になるものは，分けて答えます．
これに対して，上で扱ってきた3±√52のような数字は，分けても 3−√52と3+√52にしかなりませんので，もととほとんど同じになり分ける値打がありません． |
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1, 2 5, 7 12, 52
3±√2
3±√42
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はじめに，
√4を変形しておきます．√4=2次に，6±2を6−2=4, 6+2=8に分けて計算します． 44=1, 84=2
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2, 3 12, 18 5±√32
5±√92
15±√32
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はじめに，
√9を変形しておきます．√9=3次に，15±3を15−3=12, 15+3=18に分けて計算します． 126=2, 186=3
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−10, 0 − 23, 0
−1±√53
−5±√53
−1±√253
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はじめに，
√25を変形しておきます．√25=5次に，−5±5を−5−5=−10, −5+5=0に分けて計算します． −1015=−23, 015=0
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【例４】次の式を約分して簡単にしてください．
【解答】2±6√3−42±6√3−4=−1±3√32※ 分母は「なるべく」正の数になるようにします．（高校以上では様々な場面で，分母を負の数のまま使うこともありますが，中学校の基本の段階では，「分母は正の数にする」ように決める方がよい．） ※ 上の式で，分母と分子を−2で割ると，それぞれ符号が変わりますので 分子は−1  3√3分母は2 となりますが，順序を問題にしないときは単に −1±3√32と書けばよい． |
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※高校で連立方程式の解を表すときなどにおいて， (−3, 4), (3, −4)のような組をまとめて書くときは， (±3, 4)（複号同順）と書きます．これは± という複号を読むときに，上と上，下と下が組であることを表しています．だから(±3, 4)（複号同順）と書かれているときに(−3, −4), (3, 4)は入りません．同様にして(±3, ±4)（複号同順）と書かれているときは(−3, −4), (3, 4)の組を表しています． 中学校で，解の公式を使って２つの数字の組が出てきただけなら順序は問題にならないので，複号同順などと書く必要はなく，左の解答のように順序を気にすることはなく，±を負の数で割っても±のまま使えばよい． |
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4±5√23
−4±5√23
4±10√23
8±5√23
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分母・分子を−2で割って約分します．
8±10√2−6=−4±5√23
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−3±4√32
3±4√32
3±20√32
−15±2√3
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分母・分子を−5で割って約分します．
−15±20√3−10=3±4√32
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| 鬯ｯ�ｮ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ�ｽ�ｨ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬯ｯ�ｩ隰ｳ�ｾ�ｽ�ｽ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ鬯ｯ�ｮ�ｽ�ｦ�ｽ�ｽ�ｽ�ｮ鬮ｯ�ｷ�ｽ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬯ｯ�ｩ陝ｷ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｵ鬯ｯ�ｩ陝ｷ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�､鬯ｯ�ｩ陝ｷ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�｢鬮ｫ�ｴ闕ｵ證ｦ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�･�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬯ｯ�ｩ隰ｳ�ｾ�ｽ�ｽ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｮGoogle鬯ｯ�ｮ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ�ｽ�ｶ�ｽ�ｽ邵ｺ�､�つ鬯ｮ�ｫ�ｽ�ｲ髯晢ｽｷ�ｽ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｴ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�｢鬯ｯ�ｮ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ�ｽ�ｨ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ |
２次方程式の解の公式（虚数解含む）