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※中学３年生向け「２次方程式」について，このサイトには次の教材があります． この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です．  ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る |
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■２次方程式の解き方（まとめ）
○ ２次方程式の解の公式を用いればどんな２次方程式でも解くことができますが，通常「簡単な方法でも解ける問題は，簡単な方法で解く」ようにし，複雑な方法は必要なときだけ使うようにします．（たとえ話：植木鉢をいじるには移植ゴテがあれば十分で，スコップやブルドーザーはいりません．山を削るにはスコップでは無理でブルードーザーがよい．）
（雑談）
○ このように，西日本と東日本で，スコップとシャベルの大きさが逆ということは，数年前まで気が付かなかった．上のたとえ話は，東日本の生徒でも困らないように，移植ゴテに書き換えています． （Ａ） x2=a → x=±  √a で解ける問題は，これで解く．（Ａ）で解けない問題は （Ｂ） 因数分解で解く． （Ｂ）でも解けない問題は （Ｃ） 解の公式で解く． （中学校の教科書に登場する (x+a)2=b の形の方程式は，解の公式に吸収されると考えればよく，特に覚える必要はない．） ○ 実際に２次方程式を解くときは，以上の（Ａ）→（Ｂ）→（Ｃ）の順に検討し，なるべく楽な方法で解くようにします． |
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(A) 例1【 x の１次の項がないもの 】 x2=a → x=±  √a のように変形する．x2=6 → x=± √6次の例のように根号が簡単になるときは，簡単にしなければならない． 例2 x2=18 → x=± √18 = ±3√2次の例のように根号がはずれて整数になるときは，整数にしなければならない． 例3 x2=4 → x=± √4 = ±2次の例のように x2 の係数が１でないときは，その係数で割ってから考える． 例4 4x2=5 → x2= 54 → √52 |
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［問題１］ |
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(B) ※因数分解の符号と解の符号が逆になる点に注意【 x の１次の項があるもの 】 x2+5x+6=0 → (x+2)(x+3)=0 → x+2=0 または x+3=0 → x=−2 または x=−3 のように因数分解で解けるときは，因数分解で解く． 例5 x2+3x+2=0 → (x+1)(x+2)=0 → x+1=0 または x+2=0 → x=−1 または x=−2 例6 x2+4x−12=0 → (x+6)(x−2)=0 → x+6=0 または x−2=0 → x=−6 または x=2 例7 x2−4x+4=0 → (x−2)2=0 → x−2=0 → x=2 ※次の例で，一方の解 x=0 を忘れる答案が多いので注意 例8 x2−5x=0 → x(x−5)=0 → x=0 または x−5=0 → x=0 または x=5 ※x2=5x → x=±  √5x などとすると解けなくなる．（右辺にまだ x が残っている．）x2=a → x=± √a の公式は a が定数のときに使う．※x2−9=0 のような問題は因数分解で解けるが，x2−8=0 のような問題を因数分解で解くことは発展学習なので，（Ａ）の方法で解く．［例外］ |
| ［問題２］ x2+8x+15=0 → (x+5)(x+3)=0 → x+5=0,x+3=0 → x=−5,−3 x2−7x+12=0 → (x−3)(x−4)=0 → x−3=0,x−4=0 → x=3,4 x2+x−42=0 → (x+7)(x−6)=0 → x+7=0,x−6=0 → x=−7,6 x2+10x+25=0 → (x+5)2=0 → x+5=0 → x=−5（重解）･･･中学校では重解と書かなくてもよい x2+6x=0 → x(x+6)=0 → x=0,x+6=0 → x=−6,0 |
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(C) 例9x の１次の項があるもので，因数分解できないものは解の公式で解く． ax2+bx+c=0 → x2+5x+2=0 → x= −5±√52−82 = −5±√172例10 3x2+5x−1=0 → x= −5±√52+126 = −5±√376根号を変形して約分できるものは，約分しなければならない． 例11 2x2−6x+1=0 → x= 6±√62−84 = 6±√284= 6±2√74= 3±√72 （この約分は間違いやすいので注意）根号が完全にはずれるものは，±を分けると簡単になるので分けなければならない． 例12 2x2−5x−3=0 → x= 5±√52+244 = 5±√494= 5±74 → x= 3 ,−12x2 の係数が負になっているとき，そのまま計算すると間違いやすいので，両辺に-1を掛けて，符号を変えてから解の公式を使う． 例13 −5x2−6x+3=0 → 5x2+6x−3=0 → x= −6±√(−6)2+6010 = −6±√9610= −6±4√610= −3±2√65式が両辺にあるときや未整理になっているときは，全部左辺に移項してから解の公式を使う． 例14 3(x+1)2=4x2+x+4 → 3x2+6x+3=4x2+x+4 → −x2+5x−1=0 → x2−5x+1=0 → x= 5±√212 |
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［問題３］ 2(x−1)(x+1)=5(x+2)2 → 2x2−2=5x2+20x+20 → 3x2+20x+22=0 |
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［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．...（携帯版）メニューに戻る...メニューに戻る |
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次方程式の解き方（まとめ）について／17.3.29］
√の中が－になった場合は、どうなるんですか？
■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次方程式の解き方（まとめ）について／17.3.28］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は中学生向けの教材です．中学生向けの問題で根号の中が負の値になることはありません．もし，高校生が見ているのなら，高校生向けの教材の方を見てください． とてもわかり易かったです。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次方程式の解き方（まとめ）について／17.3.10］
＝＞［作者］：連絡ありがとう． ax2-bx-c = 0.
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解いてくださいということだと思いますが，公式が書いてあって，その文字を少し入れ換えただけで分からなくなるようではまだまだ勉強不足です． が公式であるとき，次の各方程式の解は「自動的に分かるはず」で，あらためて１つずつ書くようなことはしません．見本１つの形が分かれば同じ形のものは分かるというのが「公式」の使い方です． ■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次方程式の解き方（まとめ）について／17.2.28］ 例１２の式に誤字がありました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分母の2→4訂正しました． |
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２次方程式の解の公式（虚数解含む）