２次方程式の解き方（まとめ）

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の展開因数分解素数・素因数分解平方根
２次方程式三平方の定理２次関数平行線・相似

※中学３年生向け「２次方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓x²=a による解き方
↓(x+a)²=A による解き方

↓因数分解による解き方
↓同(2)
↓同(3)

↓二次方程式の解の公式
↓根号計算（約分の復習）

↓二次方程式の解き方（まとめ）-現在地
↓二次方程式の解き方（まとめ2）
二次方程式の入試問題

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※なお高校生以上向きの２次方程式，３次以上の方程式については次の教材があります．

２次方程式の解の公式（虚数解含む）

３次方程式

フリ－ソフトwxMaximaによる高次,連立方程式の解き方

← PC用は別頁

■２次方程式の解き方（まとめ）

○　２次方程式の解の公式を用いればどんな２次方程式でも解くことができますが，通常「簡単な方法でも解ける問題は，簡単な方法で解く」ようにし，複雑な方法は必要なときだけ使うようにします．
（たとえ話：植木鉢をいじるには移植ゴテがあれば十分で，スコップやブルドーザーはいりません．山を削るにはスコップでは無理でブルードーザーがよい．）

（雑談）
　西日本と東日本で，スコップとシャベルの大きさが逆ということは，数年前まで気が付かなかった．上のたとえ話は，東日本の生徒でも困らないように，移植ゴテに書き換えています．

○　このように，
______（Ａ）　x2=a → x=±.

√a√ni で解ける問題は，これで解く．
（Ａ）で解けない問題は
______（Ｂ）　因数分解で解く．
（Ｂ）でも解けない問題は
______（Ｃ）　解の公式で解く．
______（中学校の教科書に登場する (x+a)2=b の形の方程式は，解の公式に吸収されると考えればよく，特に覚える必要はない．）

○　実際に２次方程式を解くときは，以上の（Ａ）→（Ｂ）→（Ｃ）の順に検討し，なるべく楽な方法で解くようにします．

(A)
【 x の１次の項がないもの】
______x2=a → x=±.

√a√ni のように変形する．

例1
________x2=6 → x=±.

√6√ni

次の例のように根号が簡単になるときは，簡単にしなければならない．
例2
________x2=18 → x=±.

√18√nni = ±3.

√2√ni

次の例のように根号がはずれて整数になるときは，整数にしなければならない．
例3
________x2=4 → x=±.

√4√ni = ±2

次の例のように x2 の係数が１でないときは，その係数で割ってから考える．
例4
________4x2=5 → x2=.

54n → $x=\pm\sqrt{\frac{5}{4}}$ = ±.

√5√ni2nnn

［問題１］採点するやり直す解説

$x^2=11 \rightarrow x=\pm \sqrt{11}$
採点するやり直す解説

$x^2=12 \rightarrow x=\pm \sqrt{12}=\pm \sqrt{2^2\times 3}=\pm 2\sqrt{3}$
採点するやり直す解説

$x^2=25 \rightarrow x=\pm \sqrt{25}=\pm \sqrt{5^2}=\pm 5$

採点するやり直す解説
$9x^2=7 \rightarrow x^2=\frac{7}{9} \rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{7}{9}}=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}$

(B)
【 x の１次の項があるもの】
______x2+5x+6=0 → (x+2)(x+3)=0
______→ x+2=0 または x+3=0 → x=−2 または x=−3

のように因数分解で解けるときは，因数分解で解く．

※因数分解の符号と解の符号が逆になる点に注意
例5
______x2+3x+2=0 → (x+1)(x+2)=0
______→ x+1=0 または x+2=0 → x=−1 または x=−2

例6
______x2+4x−12=0 → (x+6)(x−2)=0
______→ x+6=0 または x−2=0 → x=−6 または x=2

例7
______x2−4x+4=0 → (x−2)2=0
______→ x−2=0 → x=2

※次の例で，一方の解 x=0 を忘れる答案が多いので注意
例8
______x2−5x=0 → x(x−5)=0
______→ x=0 または x−5=0 → x=0 または x=5
※__x2=5x → x=±.

√5x√nni　などとすると解けなくなる．（右辺にまだ x が残っている．）
_____x2=a → x=±.

√a√ni の公式は a が定数のときに使う．
※__x2−9=0 のような問題は因数分解で解けるが，x2−8=0 のような問題を因数分解で解くことは発展学習なので，（Ａ）の方法で解く．［例外］

［問題２］
採点するやり直す解説
x2+8x+15=0 → (x+5)(x+3)=0 → x+5=0,x+3=0
→ x=−5,−3

採点するやり直す解説
x2−7x+12=0 → (x−3)(x−4)=0 → x−3=0,x−4=0
→ x=3,4

採点するやり直す解説
x2+x−42=0 → (x+7)(x−6)=0 → x+7=0,x−6=0
→ x=−7,6

採点するやり直す解説
x2+10x+25=0 → (x+5)2=0 → x+5=0
→ x=−5（重解）･･･中学校では重解と書かなくてもよい

採点するやり直す解説
x2+6x=0 → x(x+6)=0 → x=0,x+6=0
→ x=−6,0

例9
______x2+5x+2=0 → x= .

−5±.

√52−8√nnnnni2nnnnnnnnn = .

−5±.

√17√nni2nnnnnnn

例10
______3x2+5x−1=0 → x= .

−5±.

√52+12√nnnnnni6nnnnnnnnn = .

−5±.

√37√nni6nnnnnnn

根号を変形して約分できるものは，約分しなければならない．
例11
______2x2−6x+1=0 → x= .

6±.

√62−8√nnnnni4nnnnnnnn = .

6±.

√28√nni4nnnnnn

______= .

6±2.

√7√ni4nnnnnn= .

3±.

√7√ni2nnnnn （この約分は間違いやすいので注意）

根号が完全にはずれるものは，±を分けると簡単になるので分けなければならない．
例12
______2x2−5x−3=0 → x= .

5±.

√52+24√nnnnnni4nnnnnnnnn = .

5±.

√49√nni4nnnnnn

______= .

5±74nnn → x= 3 ,−.

12n

x2 の係数が負になっているとき，そのまま計算すると間違いやすいので，両辺に-1を掛けて，符号を変えてから解の公式を使う．
例13
______−5x2−6x+3=0 → 5x2+6x−3=0

______ → x= .

−6±.

√(−6)2+60√nnnnnnnni10nnnnnnnnnnnnn = .

−6±.

√96√nni10nnnnnnn

______= .

−6±4.

√6√ni10nnnnnnn= .

−3±2.

√6√ni5nnnnnnn

式が両辺にあるときや未整理になっているときは，全部左辺に移項してから解の公式を使う．
例14
______3(x+1)2=4x2+x+4 → 3x2+6x+3=4x2+x+4
______→ −x2+5x−1=0 → x2−5x+1=0

______ → x= .

5±.

√21√nni2nnnnn

［問題３］

採点するやり直す解説

$x^2 + 7x + 5=0 \rightarrow x=\frac{-7 \pm \sqrt{7^2-4\times 5}}{2}$
$\rightarrow x=\frac{-7 \pm \sqrt{29}}{2}$

採点するやり直す解説

$7x^2 + 5x - 1=0 \rightarrow x=\frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\times 7 \times (-1)}}{2\times 7}$
$\rightarrow x=\frac{-5 \pm \sqrt{53}}{14}$

採点するやり直す解説

$4x^2 + 6x - 3=0 \rightarrow x=\frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4\times 4 \times (-3)}}{2\times 4}$
$=\frac{-6 \pm \sqrt{84}}{8}=\frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{8}=\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{4}$

採点するやり直す解説

$3x^2 - 5x + 2=0 \rightarrow x=\frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2-4\times 3 \times 2}}{2\times 3}$
$=\frac{5 \pm 1}{6} \rightarrow x=\frac{2}{3},1$

採点するやり直す解説

$-4x^2 + 7x - 2=0 \rightarrow 4x^2-7x + 2=0$
$\rightarrow x=\frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2-4\times 4 \times 2}}{2\times 4}=\frac{7 \pm \sqrt{17}}{8}$

採点するやり直す解説

2(x−1)(x+1)=5(x+2)2 → 2x2−2=5x2+20x+20
→ 3x2+20x+22=0
$\rightarrow x=\frac{-20 \pm \sqrt{20^2-4\times 3 \times 22}}{2\times 3}=\frac{-20 \pm \sqrt{136}}{6}$
$\rightarrow x=\frac{-20 \pm 2\sqrt{34}}{6}=\frac{-10 \pm \sqrt{34}}{3}$

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次方程式の解き方（まとめ）について／17.3.29］

√の中が－になった場合は、どうなるんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は中学生向けの教材です．中学生向けの問題で根号の中が負の値になることはありません．もし，高校生が見ているのなら，高校生向けの教材の方を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次方程式の解き方（まとめ）について／17.3.28］

とてもわかり易かったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次方程式の解き方（まとめ）について／17.3.10］

ax2-bx-c = 0.
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解いてくださいということだと思いますが，公式が書いてあって，その文字を少し入れ換えただけで分からなくなるようではまだまだ勉強不足です．

$ax^2+ bx+ c=0\hspace{10}(a\ne 0)$ の解は $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
が公式であるとき，次の各方程式の解は「自動的に分かるはず」で，あらためて１つずつ書くようなことはしません．見本１つの形が分かれば同じ形のものは分かるというのが「公式」の使い方です．
$bx^2+ cx+ a=0\hspace{10}(b\ne 0)$ の解は $x=\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2b}$
$px^2+ qx+ r=0\hspace{10}(p\ne 0)$ の解は $x=\frac{-q\pm\sqrt{q^2-4pr}}{2p}$
$ax^2-bx+ c=0\hspace{10}(a\ne 0)$ の解は $x=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$ax^2-bx-c=0\hspace{10}(a\ne 0)$ の解は $x=\frac{b\pm\sqrt{b^2+ 4ac}}{2a}$
■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次方程式の解き方（まとめ）について／17.2.28］

例１２の式に誤字がありました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分母の2→4訂正しました．

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