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中学3年生向け「2次方程式」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.


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※なお高校生以上向きの2次方程式,3次以上の方程式については次の教材があります.

2次方程式の解の公式(虚数解含む) 3次方程式

フリ-ソフトwxMaximaによる高次,連立方程式の解き方

2次方程式の解き方(まとめ)

○ 2次方程式の解の公式を用いればどんな2次方程式でも解くことができますが,通常「簡単な方法でも解ける問題は,簡単な方法で解く」ようにし,複雑な方法は必要なときだけ使うようにします.
(たとえ話:植木鉢をいじるには移植ゴテがあれば十分で,スコップやブルドーザーはいりません.山を削るにはスコップでは無理でブルードーザーがよい.)
(雑談)
 西日本と東日本で,スコップとシャベルの大きさが逆ということは,数年前まで気が付かなかった.上のたとえ話は,東日本の生徒でも困らないように,移植ゴテに書き換えています.
○ このように,
______(A) x2=ax=±.a√ni で解ける問題は,これで解く.
(A)で解けない問題は
______(B) 因数分解で解く.
(B)でも解けない問題は
______(C) 解の公式で解く.
______(中学校の教科書に登場する (x+a)2=b の形の方程式は,解の公式に吸収されると考えればよく,特に覚える必要はない.)

○ 実際に2次方程式を解くときは,以上の(A)→(B)→(C)の順に検討し,なるべく楽な方法で解くようにします.

(A)
x の1次の項がないもの 】
______x2=ax=±.a√ni のように変形する.
例1
________x2=6x=±.6√ni

次の例のように根号が簡単になるときは,簡単にしなければならない.
例2
________x2=18x=±.18√nni = ±3.2√ni

次の例のように根号がはずれて整数になるときは,整数にしなければならない.
例3
________x2=4x=±.4√ni = ±2

次の例のように x2 の係数が1でないときは,その係数で割ってから考える.
例4
________4x2=5x2=.54n= ±..5√ni2nnn

[問題1]
(1)______x2=11x=±.√nnnni

採点する やり直す


(2)______x2=12x=±.√nnni
採点する やり直す


(3)______x2=25x=±
採点する やり直す



(4)______9x2=7x=±..√nnninnnn

採点する やり直す



(B)
x の1次の項があるもの 】
______x2+5x+6=0(x+2)(x+3)=0
______x+2=0 または x+3=0x=−2 または x=−3

のように因数分解で解けるときは,因数分解で解く.
※因数分解の符号と解の符号が逆になる点に注意
例5
______x2+3x+2=0(x+1)(x+2)=0
______x+1=0 または x+2=0x=−1 または x=−2

例6
______x2+4x−12=0(x+6)(x−2)=0
______x+6=0 または x−2=0x=−6 または x=2

例7
______x2−4x+4=0(x−2)2=0
______x−2=0x=2

※次の例で,一方の解 x=0 を忘れる答案が多いので注意
例8
______x2−5x=0x(x−5)=0
______x=0 または x−5=0x=0 または x=5
__x2=5xx=±.5x√nni などとすると解けなくなる.(右辺にまだ x が残っている.)
_____x2=ax=±.a√ni の公式は a が定数のときに使う.
__x2−9=0 のような問題は因数分解で解けるが,x2−8=0 のような問題を因数分解で解くことは発展学習なので,(A)の方法で解く.[例外]
[問題2]
(1)______x2+8x+15=0x=
(ただし,小さい順とする)

採点する やり直す



(2)______x2−7x+12=0x=
(ただし,小さい順とする)

採点する やり直す



(3)______x2+x−42=0x=
(ただし,小さい順とする)

採点する やり直す



(4)______x2+10x+25=0x=

採点する やり直す



(5)______x2+6x=0x=
(ただし,小さい順とする)

採点する やり直す




(C)
x の1次の項があるもので,因数分解できないものは解の公式で解く.

__ax2+bx+c=0 ( a0
例9
______x2+5x+2=0x= .−5±.52−8√nnnnni2nnnnnnnnn = .−5±.17√nni2nnnnnnn

例10
______3x2+5x−1=0x= .−5±.52+12√nnnnnni6nnnnnnnnn = .−5±.37√nni6nnnnnnn

根号を変形して約分できるものは,約分しなければならない.
例11
______2x2−6x+1=0x= .6±.62−8√nnnnni4nnnnnnnn = .6±.28√nni4nnnnnn

______= .6±2.7√ni4nnnnnn= .3±.7√ni2nnnnn (この約分は間違いやすいので注意)

根号が完全にはずれるものは,±を分けると簡単になるので分けなければならない.
例12
______2x2−5x−3=0x= .5±.52+24√nnnnnni4nnnnnnnnn = .5±.49√nni4nnnnnn

______= .5±74nnnx= 3 ,−.12n

x2 の係数が負になっているとき,そのまま計算すると間違いやすいので,両辺に-1を掛けて,符号を変えてから解の公式を使う.
例13
______−5x2−6x+3=05x2+6x−3=0

______x= .−6±.(−6)2+60√nnnnnnnni10nnnnnnnnnnnnn = .−6±.96√nni10nnnnnnn

______= .−6±4.6√ni10nnnnnnn= .−3±2.6√ni5nnnnnnn

式が両辺にあるときや未整理になっているときは,全部左辺に移項してから解の公式を使う.
例14
______3(x+1)2=4x2+x+43x2+6x+3=4x2+x+4
______−x2+5x−1=0x2−5x+1=0

______x= .5±.21√nni2nnnnn


[問題3]

(1)______x2+7x+5=0x= .±.√nnninnnnnnnnn

採点する やり直す




(2)______7x2+5x−1=0x= .±.√nnninnnnnnnn

採点する やり直す




(3)______4x2+6x−3=0x= .±.√nnninnnnnnnn

採点する やり直す




(4)______3x2−5x+2=0x= .nnn ,

採点する やり直す




(5)______−4x2+7x−2=0x= .±.√nnninnnnnnnn

採点する やり直す




(6)______2(x−1)(x+1)=5(x+2)2x= .±.√nnninnnnnnnnn

採点する やり直す





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■[個別の頁からの質問に対する回答][2次方程式の解き方(まとめ)について/17.3.29]
√の中が-になった場合は、どうなるんですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.この教材は中学生向けの教材です.中学生向けの問題で根号の中が負の値になることはありません.もし,高校生が見ているのなら,高校生向けの教材の方を見てください.
■[個別の頁からの質問に対する回答][2次方程式の解き方(まとめ)について/17.3.28]
とてもわかり易かったです。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][2次方程式の解き方(まとめ)について/17.3.10]
ax2-bx-c = 0.
=>[作者]:連絡ありがとう.解いてくださいということだと思いますが,公式が書いてあって,その文字を少し入れ換えただけで分からなくなるようではまだまだ勉強不足です.
の解は
が公式であるとき,次の各方程式の解は「自動的に分かるはず」で,あらためて1つずつ書くようなことはしません.見本1つの形が分かれば同じ形のものは分かるというのが「公式」の使い方です.
の解は
の解は
の解は
の解は
■[個別の頁からの質問に対する回答][2次方程式の解き方(まとめ)について/17.2.28]
例12の式に誤字がありました
=>[作者]:連絡ありがとう.分母の2→4訂正しました.

鬯ョ�ォ�ス�ィ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス鬯ゥ謳セ�ス�オ�ス�ス�ス�コ鬯ョ�ヲ�ス�ョ髯キ�サ�ス�サ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス鬯ゥ蟷「�ス�「�ス�ス�ス�ァ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�オ鬯ゥ蟷「�ス�「�ス�ス�ス�ァ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�、鬯ゥ蟷「�ス�「髫エ荵暦ソス�ス�ス�ス�コ�ス�ス�ス�・�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬯ゥ謳セ�ス�オ�ス�ス�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ョGoogle鬯ョ�ォ�ス�カ�ス縺、ツ€鬮ォ�イ陝キ�「�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�エ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�「鬯ョ�ォ�ス�ィ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス

鬯ョ�ォ�ス�ィ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ウ鬯ゥ謳セ�ス�オ�ス�ス�ス�コ鬯ョ�ヲ�ス�ョ髯キ�サ�ス�サ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス鬯ゥ蟷「�ス�「髫エ蜿門セ暦ソス�ス�ス�」�ス�ス�ス�ケ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬯ゥ蟷「�ス�「�ス�ス�ス�ァ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ク鬯ゥ謳セ�ス�オ�ス�ス�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ョ鬯ョ�ッ�ス�キ鬮「�ァ�ス�イ�ス�ス�ス�」�ス�ス�ス�ッ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ュ鬯ゥ謳セ�ス�オ�ス�ス�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ォ鬯ョ�ォ�ス�ー鬯イ�ス�シ螟イ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�サ鬯ゥ蟷「�ス�「�ス�ス�ス�ァ鬯ッ�ゥ�ス�ォ�ス縺、ツ€鬮エ蜿厄スサ繧托スス�ス�ス�。
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