二次方程式2

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※なお高校生以上向きの２次方程式，３次以上の方程式については次の教材があります．

２次方程式の解の公式（虚数解含む）

３次方程式

フリ－ソフト wxMaxima による高次,連立方程式の解き方

== ２次方程式 (x+a)²=A の解==

【解説】
■（前のページの復習）
$A\gt 0$ のとき，２次方程式

$x^2=A$

の解は

$x=\pm\sqrt{A}$

になります．

■（このページで学ぶこと）
$A\gt 0$ のとき，２次方程式

$(x+ a)^2=A$

の解は次のようにして求めることができます．

x+a=Xとおくと

$X^2=A$ の解は
$X=\pm \sqrt{A}$ だから
元に戻すと
$x+ a=\pm \sqrt{A}$
$x=-a \pm \sqrt{A}$
になります．

■要点

$A\gt 0$ のとき
$x^2=A$ の解は $x=\pm\sqrt{A}$
$(x+ a)^2=A$ の解は $x=-a\pm\sqrt{A}$

*** 正直な話：生徒に言うような話なのか迷うところ ***
　率直に言えば「このページの教材を『覚える』必要はありません」．この頁の内容は後で登場する「２次方程式の解の公式」に吸収されます．
だから，ちょうどこの箇所を詳しくやりたい事情があるなど，こういう問題が欲しくなった場合のために書いたもので，後々必ず必要になるというものではありません．
【例】
　問題1(1)の $(x+ 5)^2=6$ は $x^2+ 10x+ 19=0$ とすれば解の公式で解けます．

　問題1(3)の $2(x+ 1)^2=10$ は $2x^2+ 4x-8=0$ とすれば解の公式で解けます．
　結局，どんな２次方程式でも展開して係数を整理すると
$ax^2+ bx+ c=0$
の形になるので，すべて２次方程式の解の公式で解けるのです．

【例題１】
２次方程式 $(x+ 2)^2=3$ の解を求めてください．

（解答）

$x+ 2=X$
とおくと，２次方程式は
$X^2=3$
と書ける．
これを解くと
$X=\pm\sqrt{3}$
元に戻すと
$x+ 2=\pm\sqrt{3}$
$2$ を移項すると
$x=-2\pm\sqrt{3}$ …（答）

≪次の短縮答案でよい≫

$(x+ 2)^2=3$
より
$x+ 2=\pm\sqrt{3}$
$x=-2\pm\sqrt{3}$ …（答）

【問題１】　次の２次方程式の解を求めてください．
（下の選択肢をクリック）

(1)
$(x+ 5)^2=6$

解説やり直す

$x=5\pm\sqrt{6}$ $x=-5\pm\sqrt{6}$

$x=6\pm\sqrt{5}$ $x=-6\pm\sqrt{5}$

（解説）
$(x+ 5)^2=6$
より
$x+ 5=\pm\sqrt{6}$
$x=-5\pm\sqrt{6}$ …（答）

→閉じる←

(2)
$(x-3)^2=5$

解説やり直す

$x=3\pm\sqrt{5}$ $x=-3\pm\sqrt{5}$

$x=5\pm\sqrt{3}$ $x=-5\pm\sqrt{3}$

（解説）
$(x-3)^2=5$
より
$x-3=\pm\sqrt{5}$
$x=3\pm\sqrt{5}$ …（答）

→閉じる←

(3)
$2(x+ 1)^2=10$

解説やり直す

$x=1\pm\sqrt{5}$ $x=-1\pm\sqrt{5}$

$x=1\pm\sqrt{10}$ $x=-1\pm\sqrt{10}$

（解説）
$(x+ 1)^2=\circ\circ\circ$ の形ならすぐに解けるので，両辺を $2$ で割って形を整えておきます．
$(x+ 1)^2=5$
より
$x+ 1=\pm\sqrt{5}$
$x=-1\pm\sqrt{5}$ …（答）

→閉じる←

(4)
$(x-4)^2-2=5$

解説やり直す

$x=4\pm\sqrt{3}$ $x=-4\pm\sqrt{3}$

$x=4\pm\sqrt{7}$ $x=-4\pm\sqrt{7}$

（解説）
左辺の $-2$ を移項して形を整えておきます．
$(x-4)^2=7$
より
$x-4=\pm\sqrt{7}$
$x=4\pm\sqrt{7}$ …（答）

→閉じる←

【例題２】
２次方程式 $(x-3)^2=4$ の解を求めてください．

（解答）

$x-3=X$
とおくと，２次方程式は
$X^2=4$
と書ける．
これを解くと
$X=\pm\sqrt{4}=\pm 2$
元に戻すと
$x-3=\pm 2$
$-3$ を移項すると
$x=3\pm 2$
$x=1,\hspace{5}5$ …（答）

≪次の短縮答案でよい≫

$(x-3)^2=4$
より
$x-3=\pm\sqrt{4}=\pm 2$
$x=3\pm 2$
$x=1,\hspace{5}5$ …（答）

※ $x=3\pm 2$ のような形で，そのまま答えてはいけない．

※ $3\pm 2$ のように「分ければ簡単になる式は，必ず $1,\hspace{5}5$ のように分けて答えなければならない」

※これに対して $2\pm\sqrt{2}$ のような式は，分けても簡単にならないから分けなくてもよい．

【問題２】　次の２次方程式の解を求めてください．
（下の選択肢をクリック）

(1)
$(x-7)^2=9$

解説やり直す

$x=7\pm\sqrt{9}$ $x=-3\pm\sqrt{7}$

$x=-10,\hspace{5}-4$ $x=4,\hspace{5}10$

（解説）
$(x-7)^2=9$
より
$x-7=\pm\sqrt{9}=\pm 3$
$x=7\pm 3$
$x=4,\hspace{5}10$ …（答）

→閉じる←

(2)
$(x+ 6)^2=16$

解説やり直す

$x=\pm\sqrt{10}$ $x=6\pm\sqrt{10}$

$x=-10,\hspace{5}-2$ $x=2,\hspace{5}10$

（解説）
$(x+ 6)^2=16$
より
$x+ 6=\pm\sqrt{16}=\pm 4$
$x=-6\pm 4$
$x=-10,\hspace{5}-2$ …（答）

→閉じる←

(3)
$3(x-1)^2=12$

解説やり直す

$x=-1\pm\sqrt{12}$ $x=1\pm 2\sqrt{3}$

$x=1\pm\sqrt{4}$ $x=-1,\hspace{5}3$

（解説）
$(x-1)^2=\circ\circ\circ$ の形ならすぐに解けるので，両辺を $3$ で割って形を整えておきます．
$(x-1)^2=4$
より
$x-1=\pm\sqrt{4}=\pm 2$
$x=1\pm 2$
$x=-1,\hspace{5}3$ …（答）

→閉じる←

(4)
$(x+ 5)^2+ 2=18$

解説やり直す

$x=-5\pm 3\sqrt{2}$ $x=-5\pm 2\sqrt{5}$

$x=-9,\hspace{5}-1$ $x=-8,\hspace{5}-2$

（解説）
左辺の $2$ を移項して形を整えておきます．
$(x+ 5)^2=16$
より
$x+ 5=\pm\sqrt{16}=\pm 4$
$x=-5\pm 4$
$x=-9,\hspace{5}-1$ …（答）

→閉じる←

【例題３】
２次方程式 $(x-4)^2=12$ の解を求めてください．

（解答）
$(x-4)^2=12$
より
$x-4=\pm\sqrt{12}$

ここで
$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 3}$ のように，根号の中の数を素因数分解したときに２乗ができるときは，根号の中をもっと小さな整数に直さなければなりません．
$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 3}=2\sqrt{3}$

その結果
$x-4=\pm 2\sqrt{3}$
$x=4\pm 2\sqrt{3}$ …（答）

この解を $x=4-2\sqrt{3},\hspace{5}4+ 2\sqrt{3}$ のように２つに分けても，もとの±の式と変わらないから，分けて答える必要はない．

【問題３】　次の２次方程式の解を求めてください．
（下の選択肢をクリック）

(1)
$(x+ 2)^2=18$

解説やり直す

$x=-2\pm 2\sqrt{3}$ $x=-2\pm 3\sqrt{2}$

$x=\pm 6$ $x=\pm 4$

（解説）
$(x+ 2)^2=18$
より
$x+ 2=\pm\sqrt{18}=\pm\sqrt{2\times 3^2}$ $=\pm 3\sqrt{2}$
$x=-2\pm 3\sqrt{2}$ …（答）

→閉じる←

(2)
$(x-1)^2=24$

解説やり直す

$x=\pm 5$ $x=\pm\sqrt{23}$

$x=1\pm 6\sqrt{2}$ $x=1\pm 2\sqrt{6}$

（解説）
$(x-1)^2=24$
より
$x-1=\pm\sqrt{24}=\pm\sqrt{2^2\times 6}$ $=\pm 2\sqrt{6}$
$x=1\pm 2\sqrt{6}$ …（答）

→閉じる←

(3)
$2(x+ 5)^2=40$

解説やり直す

$x=-5\pm 2\sqrt{5}$ $x=-5\pm 2\sqrt{10}$

$x=-5\pm\sqrt{20}$ $x=-5\pm\sqrt{38}$

（解説）
$(x+ 5)^2=\circ\circ\circ$ の形ならすぐに解けるので，両辺を $2$ で割って形を整えておきます．
$(x+ 5)^2=20$
より
$x+ 5=\pm\sqrt{20}=\pm\sqrt{2^2\times 5}=\pm 2\sqrt{5}$
$x=-5\pm 2\sqrt{5}$ …（答）

→閉じる←

(4)
$2(x-3)^2-4=50$

解説やり直す

$x=3\pm 3\sqrt{3}$ $x=3\pm 3\sqrt{6}$

$x=3\pm 2\sqrt{7}$ $x=3\pm\sqrt{23}$

（解説）
左辺の $-4$ を移項して形を整えておきます．
$2(x-3)^2=54$
両辺を $2$ で割る
$(x-3)^2=27$
より
$x-3=\pm\sqrt{27}=\pm 3\sqrt{3}$
$x=3\pm 3\sqrt{3}$ …（答）

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