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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「三角比」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓基本的な三角比の値(図あり)
↓同(図なし)
↓基本練習
↓三角測量
↓三角比の相互関係(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓sinθ+cosθ→sinθcosθ
↓三角方程式
↓同(2)
↓同(２次)
↓三角不等式
同(２次)

　右図のような直角三角形では，辺の長さの比によって三角比の値が定義されています．
$\sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}}$…①
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}}$…②
$\tan \theta ={\displaystyle \frac{y}{x}}$…③

　逆に上記の式①において，sinθとrの値が分かっているとき，yの値は次のようにして求められます．
y=r sinθ…④
　同様にして，式②において，cosθとrの値が分かっているとき，xの値は次のようにして求められます．
x=r cosθ…⑤
　さらに，式③において，tanθとxの値が分かっているとき，yの値は次のようにして求められます．
y=x tanθ…⑥

⇒ このようにして，三角比の値sinθ, cosθ, tanθがあらかじめ分かっている場合には，これら④⑤⑥の式を使って，辺の長さを求めることができます．
　例えば，右図のような高い塔の高さ直接測るのは難しいことですが，角度θと横の長さを測れば，計算によって塔の高さを求めることができます．このような方法は三角測量と呼ばれます．

【例１】　
　右の直角三角形において，yの長さを求めてください．

　直角三角形の辺の長さを求める問題（三角測量の問題）においては，必要な三角比の値が分かっていなければなりませんが，次の３種類×3の値は問題文に書かれていなくても読者が覚えていなければなりません．

θ	sinθ	cosθ	tanθ
30°	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$
45°	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	$1$
60°	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$\sqrt{3}$

　これ以外の値，例えば sin 22°などが必要になる場合は，コンピュータを使ってあらかじめ計算した「三角比の表」が付いているのが普通です．（高校の教科書では，巻末の見開きに付いているものを使います．）
　この教材では，必要に応じて次のように示します．（ほとんどの三角比の値は無限小数になりますが，実用的な計算では有効数字3桁の小数で十分なので，小数第4位までの表が多く用いられます．）

≪三角比の表≫

θ(°)	sinθ	cosθ	tanθ
…	…	…	…
19	0.3256	0.9455	0.3443
20	0.3420	0.9397	0.3640
21	0.3584	0.9336	0.3839
22	0.3746	0.9272	0.4040
23	0.3907	0.9205	0.4245
24	0.4067	0.9135	0.4452
…	…	…	…

(1)
　右の直角三角形において，xの長さを求めてください．

解説 やり直す

0.7 1.4 7.1 14.1

${\displaystyle \frac{x}{20}}=\cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
$x=20\times {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}=20\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=10\sqrt{2}=14.14..$
14.1…（答）

(2)
　右の直角三角形において，yの長さを求めてください．

解説 やり直す

5.0 50.0 8.7 86.7

${\displaystyle \frac{y}{100}}=\sin {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$y=100\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=50$
50.0…（答）

(3)
　右の直角三角形において，xの長さを求めてください．

解説 やり直す

1.73 17.3 5.20 52.0

${\displaystyle \frac{x}{30}}=\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}$
$x=30\times \sqrt{3}=30\times 1.732...=51.96...$
52.0…（答）

(4)
　右の直角三角形において，aの長さを求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫

θ(°)	sinθ	cosθ	tanθ
24	0.4067	0.9135	0.4452
25	0.4226	0.9063	0.4663
26	0.4384	0.8988	0.4877

解説 やり直す

5.3 5.4 5.5 5.6

${\displaystyle \frac{a}{6}}=\cos {25}^{\circ }=0.9063$
$a=6\times 0.9063=5.4378$
5.4…（答）

(5)
　右の直角三角形において，cの長さを求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫

θ(°)	sinθ	cosθ	tanθ
34	0.5592	0.8290	0.6745
35	0.5736	0.8192	0.7002
36	0.5878	0.8090	0.7265

解説 やり直す

5.7 5.8 8.1 8.2

${\displaystyle \frac{c}{10}}=\sin {35}^{\circ }=0.5736$
$c=10\times 0.5736=5.736$
5.7…（答）

(6)
　右の直角三角形において，dの長さを求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫

θ(°)	sinθ	cosθ	tanθ
43	0.6820	0.7314	0.9325

解説 やり直す

9.3 13.6 14.6 18.7

${\displaystyle \frac{d}{20}}=\tan {43}^{\circ }=0.6325$
$d=20\times 0.9325=18.65$
18.7…（答）

【例２】　
　右の直角三角形において，xの長さを求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫

θ(°)	sinθ	cosθ	tanθ
18	0.3090	0.9511	0.3249

(1)
　右の直角三角形において，xの長さを求めてください．（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫

θ(°)	sinθ	cosθ	tanθ
28	0.4695	0.8829	0.5317

解説 やり直す

0.5 2.7 5.3 9.4

${\displaystyle \frac{5}{x}}=\tan {28}^{\circ }=0.5317$
$x={\displaystyle \frac{5}{0.5317}}=9.403..$
9.4…（答）

(2)
　右の直角三角形において，xの長さを求めてください．（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫

θ(°)	sinθ	cosθ	tanθ
38	0.6157	0.7880	0.7813

解説 やり直す

3.9 10.2 12.9 13.0

${\displaystyle \frac{8}{x}}=\sin {38}^{\circ }=0.6157$
$x={\displaystyle \frac{8}{0.6157}}=12.99..$
13.0…（答）

(3)
　右の直角三角形において，xの長さを求めてください．（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫

θ(°)	sinθ	cosθ	tanθ
48	0.7431	0.6691	1.1106

解説 やり直す

13.4 14.9 26.9 29.9

${\displaystyle \frac{20}{x}}=\sin {48}^{\circ }=0.7431$
$x={\displaystyle \frac{20}{0.7431}}=26.914..$
26.9…（答）

　紙の上の三角形に対しては，分度器を当てれば角度を測定することができますが，日常生活で遭遇する非常に大きなものや小さなものに対しては必ずしも分度器が使えるとは限りません．しかし，直角三角形の辺の長さの比が分かれば，それを使って角度を逆に求めることもできます．
　例えば，右図のような坂道があって，水平方向に100(m)進むと垂直方向に10(m)高くなる場合，$\tan \theta ={\displaystyle \frac{10}{100}}=0.1$となる角度θを次の表を使って度の位まで読み取ると，θ=6°になることが分かります．
（度まで求めるときは最も近い値を読み取る）

≪三角比の表≫

θ(°)	sinθ	cosθ	tanθ
…	…	…	…
0	0.0000	1.0000	0.0000
1	0.0175	0.9998	0.0175
2	0.0349	0.9994	0.0349
3	0.0523	0.9986	0.0524
4	0.0698	0.9976	0.0699
5	0.0872	0.9962	0.0875
6	0.1045	0.9945	0.1051
7	0.1219	0.9925	0.1228
8	0.1392	0.9903	0.1405
9	0.1564	0.9877	0.1584
…	…	…	…

(1)
　右の直角三角形において，角θの大きさを度の位まで求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）
表を見る表を隠す

解説 やり直す

30° 37° 53° 60°

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}=0.6$
より
$\theta ={37}^{\circ }$…（答）
（別解）
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{4}{5}}=0.8$
より
$\theta ={37}^{\circ }$などとしてもよい

(2)
　右の直角三角形において，角θの大きさを度の位まで求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）
表を見る表を隠す

解説 やり直す

30° 33° 38° 41°

$\tan \theta =0.65$
より
$\theta ={33}^{\circ }$…（答）

(3)
　右の直角三角形において，角θの大きさを度の位まで求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）
表を見る表を隠す

解説 やり直す

33° 40° 43° 50°

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{16}{25}}=0.64$
より
$\theta ={50}^{\circ }$…（答）

素晴らしい教材をありがとうございます。感謝しております。 細かいことなのですが、[問題2]-(3)の三角形に直角記号が抜けております。失礼いたしました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．加筆修正しました．

問題２の（１）（２）の解答間違ってませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにおかしいので訂正しました．

「三角形の辺の長さ」がnot found になっています! なんとかしてください!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC用に作った教材のレイアウトを縦長に直すのが無理なので，携帯用の教材がまだないためエラーになっていました．文字が小さくて見にくい場合は，iPhoneを横に持ってください．