数I／三角比の相互関係

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「三角比」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．
↓基本的な三角比の値(図あり)
↓同(図なし)
↓基本練習
↓三角測量
↓三角比の相互関係(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓sinθ+cosθ→sinθcosθ
↓三角方程式
↓同(2)
↓同(２次)
↓三角不等式
同(２次)

■解説■
○　高校数学Ｉで登場する「三角比の相互関係」とは、次の２つの公式のことです。
sin2A+cos2A=1 …(1)

tanA = .

sinAcosAnnnn …(2)

(1)の証明：
x2+y2=r2の両辺をr2で割ると

( .

xrn)2+( .

yrn)2=1

ここで.

xrn=cosA , .

yrn=sinAだから

(1)が得られる。

(2)の証明：

tanA = .

yxn , sinA = .

yrn , cosA = .

xrnだから

sinAcosAnnnn = .

yrn.

xrnn = .

yrn · .

rxn = .

yxn = tanA

　三角比sinA , cosA , tanAのうち１つ分かれば、残りはこれらの公式を使って「芋づる式に」求まります。

○　例えば、sinAが分かれば(1)を使ってcosAが求まり、さらに(2)を使ってtanAが求まります。

　しかし、例えばtanA = .

34nのように、三角比のうちでtanAだけが与えられて残りのsinA , cosAを求めるときは要注意です。
　(2)からsinA=3 , cosA=4などと間違う生徒が多いからです。（−1≦sinA , cosA≦1を満たしていないものは、三角比になりません。ここでは、比だけが与えられている場合には、

32n：.

42n、　.

33n：.

43n、　…　.

35n：.

45n

などの可能性も考えなければなりません。

正しいのは、.

35n：.

45nまたは.

−35nn：.

−45nnになります．）

　このように、tanA ⇒ cosA（またはsinA）の関係式が必要なときは、(1)の両辺をcos2A（またはsin2A）で割って次の公式(3)(4)を「その場で作ればよい」。（「公式」を覚えるのでなく、必要になったときに作るようにします･･･「公式がある」ということだけを覚えておく…覚えなければならない公式の数を減らして、公式間の関連をつかむようにする）

tan2A+1 = .

1cos2Annnnn …(3)

1+.

1tan2Annnnn = .

1sin2Annnnn …(4)

(3)の証明：

sin2A+cos2A=1の両辺をcos2Aで割ると

sin2Acos2Annnnn+1= .

1cos2Annnnn

ここで(2)を用いて左辺を変形すると

tan2A+1 = .

1cos2Annnnn

(4)の証明：
(3)と同様にして両辺をsin2Aで割ります。
このとき、
tanA= .

sinAcosAnnnn　→　.

cosAsinAnnnn= .

1tanAnnnn

cos2Asin2Annnnn= .

1tan2Annnnn

に注意します。

《問題》　次の左欄の式に等しいものを下欄の選択肢から選んでください．

［第1問 / 全10問］次の問題解説
$(\sin A + \cos A)^2$

\sin A

\cos A

\frac{1}{\sin A}

\frac{1}{\cos A}

\frac{2}{\sin A}

\frac{2}{\cos A}

1 + 2 \sin A \cos A

1 - 2 \sin A \cos A

\frac{1}{\sin A \cos A}

\frac{1}{\tan^{2} A \sin^{2} A}

(\sin A + \cos A) (1 - \sin A \cos A)

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角比の相互関係について／17.1.31］

公式2の証明、仮定の部分でsinA=y/xになっていますが、y/rの間違いではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

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