三角不等式

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「三角比」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．
↓基本的な三角比の値(図あり)
↓同(図なし)
↓基本練習
↓三角測量
↓三角比の相互関係(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓sinθ+cosθ→sinθcosθ
↓三角方程式
↓同(2)
↓同(２次)
↓三角不等式
同(２次)

== 三角不等式 == ○２次以上の三角不等式は，２次以上の三角方程式と同様に因数分解してsinθ=..., cosθ=...の形にしてから解くのが基本です．

【例１】
0°≦θ≦180°のとき，次の三角不等式を解きなさい．
2cos2θ> 1+cosθ

（解答）
2cos2θ−cosθ−1>0
この式の左辺を因数分解する

2x2−x−1>0の左辺をたすき掛け因数分解すると
(2x+1)(x−1)>0となります．

(2cosθ+1)(cosθ−1)>0

２次不等式(2x+1)(x−1)>0の解は，
２次方程式(2x+1)(x−1)=0の解の「両側」です．
すなわち

x < - \frac{1}{2}

またはx>1

x < - \frac{1}{2}

またはcosθ>1

0°≦θ≦180°のとき，
(1)　

\cos θ < - \frac{1}{2}

を満たす角度は120°<θ≦180°
(2)　cosθ>1を満たす角度はない．
以上より，
120°<θ≦180°…（答）

以下の問題では，各自で計算用紙を使って計算してから，下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください．（暗算では無理でしょう）

【問題１】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
2sin2θ+3sinθ−2<0

30°<θ<150° 60°<θ<120°
0°≦θ<30°,150°<θ≦180° 0°≦θ<60°,120°<θ≦180°

解説やり直す

　因数分解して(2sinθ−1)(sinθ+2)<0…(1)と変形します．

　2次方程式
(x+2)(2x−1)=0
の解

x = - 2, \frac{1}{2}

の「間」は

- 2 < x < \frac{1}{2}

　(1)の解は

- 2 < \sin θ < \frac{1}{2}

0°≦θ≦180°のとき，右図のように0≦sinθ≦1だから

実際には

0 ≦ \sin θ < \frac{1}{2}

を解く．（sinθ=0は合格）

0°≦θ<30°,
150°<θ≦180°…（答）

【問題２】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．

\tan^{2} θ - \sqrt{3} \tan θ > 0

0°<θ<60° 60°<θ<90° 60°<θ<180°
60°<θ<90°,90°<θ<120° 60°<θ<90°,90°<θ<180°

解説やり直す

　因数分解して

\tan θ (\tan θ - \sqrt{3}) > 0

…(1)と変形します．

　2次方程式

\tan θ (\tan θ - \sqrt{3}) > 0

の解

x = 0, \sqrt{3}

の「両側」は

x < 0, \sqrt{3} < x

　(1)の解は

\tan θ < 0, \sqrt{3} < \tan θ

0°≦θ≦180°のとき，右図の値をとる

※θ=90°のときtanθは定義されないので注意

※また，90°<θ<180°のとき，tanθ<0となることに注意

(1)

\tan θ > \sqrt{3}

を満たす角度は
60°<θ<90°
(2) tanθ<0を満たす角度は
90°<θ<180°
以上より60°<θ<90°,90°<θ<180°…（答）

○sinθとcosθが混ざった式になっている場合は，一方にそろえると因数分解しやすくなります．
　文字が２種類ある因数分解よりも，文字が１種類だけある因数分解の方が解きやすいということです．

○sin2θとcosθが混ざった式では，sin2θ=1−cos2θとして，cosθにそろえます．

sin2θ+cosθ<1
という問題の場合
(1−cos2θ)+cosθ<1
とすればcosθだけの式になります．

\sin^{2} θ \pm \sqrt{1 - \sin^{2} θ} < 1

などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

○cos2θとsinθが混ざった式では，cos2θ=1−sin2θとして，sinθにそろえます．

sinθ+cos2θ>1
という問題の場合
sinθ+(1−sin2θ)>1
とすればsinθだけの式になります．

\pm \sqrt{1 - \cos^{2} θ} + \cos^{2} θ > 1

などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

【要点】
sinθとcosθが混ざった式では，１次の方に勝たせる．（２次の方を変形する）

【例２】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
cos2θ+cosθ−sin2θ≦0

cosθは１次の式があるから書き換えられない．sinθは２次の式だけだから書き換えられる．

（解答）
cos2θ+cosθ−(1−cos2θ)≦0
2cos2θ+cosθ−1≦0
たすき掛け因数分解を行う
(2cosθ−1)(cosθ+1)≦0

- 1 ≦ \cos θ ≦ \frac{1}{2}

右図より
60°≦θ≦180°…（答）

※（初歩的な注意）
角度を小さい方から並べると上半円での見かけ上の左右とは逆に並ぶ

【問題３】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
2cos2θ+3sinθ>3

0°<θ<60° 60°<θ<90° 60°<θ<180°
30°<θ<90°,90°<θ<150° 60°<θ<90°,90°<θ<120°

解説やり直す

sinθは１次の式があるから書き換えられない．cosθは２次の式だけだから書き換えられる．

2cos2θ+3sinθ>3
2(1−sin2θ)+3sinθ>3
2sin2θ−3sinθ+1<0
(2sinθ−1)(sinθ−1)<0

\frac{1}{2} < \sin θ < 1

0°≦θ≦180°のとき，sinθは右図の値をとる

30°<θ<90°
90°<θ<150°…（答）

【問題４】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．

\sin^{2} θ - \cos θ < \frac{1}{4}

0°<θ<60° 0°≦θ<60°
60°<θ<180° 60°<θ≦180°

解説やり直す

cosθは１次の式があるから書き換えられない．sinθは２次の式だけだから書き換えられる．

4sin2θ−4cosθ<1
4(1−cos2θ)−4cosθ<1
4cos2θ+4cosθ−3>0
(2cosθ−1)(2cosθ+3)>0

\cos θ < - \frac{3}{2}, \frac{1}{2} < \cos θ

0°≦θ≦180°のとき，cosθは右図の値をとる

(1)

\cos θ < - \frac{3}{2}

となる角度はない
(2)

\cos θ > \frac{1}{2}

より 0°≦θ<60°…（答）

※問題文が等号なしの不等号だから60°には等号は付かない．
他方で，0°≦θ≦180°でcos0°=1だから0°には等号が付く

○sinθもcosθも１次式になっているときは，どちらも書き換えられないので，そのままでいろいろと工夫します．

【例３】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
sinθ>cosθ

（解答）
(1)　0°≦θ<90°のときcosθ>0だから両辺をcosθで割ると
tanθ>1
これを満たす角度は
45°<θ<90°
(2)　θ=90°のときsinθ=1, cosθ=0だからsinθ>cosθは成立する
(3)　90°<θ≦180°のときsinθ≧0, cosθ<0だからsinθ>cosθは成立する
以上より45°<θ≦180°…（答）

【問題５】
0°≦θ≦180°のとき，次の不等式を解きなさい．
2sinθcosθ−4sinθ−cosθ+2<0

30°<θ<150° 30°<θ<90°
60°<θ<120° 120°<θ≦180°

解説やり直す

sinθもcosθも１次式だから書き換えられない．このまま因数分解を考えます

cosθについて整理する
cosθ(2sinθ−1)−4sinθ+2<0
cosθ(2sinθ−1)−2(2sinθ−1)<0
(cosθ−2)(2sinθ−1)<0
ここで，cosθはつねに1よりも小さいから
cosθ−2<0が成り立つ

そこで
2sinθ−1>0を解く

\sin θ > \frac{1}{2}

0°≦θ≦180°のとき，sinθは右図の値をとるから

30°<θ<150°…（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角不等式について／17.8.15］

例1の答えの書き方はあれで合っているのでしょうか？前のページでは違う書き方がしてあったのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おっと，120°と180°が逆になっていましたので訂正しました（冷汗）

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