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== 三角形の辺の長さ ==(三角測量)

(1) 三角比の定義
 右図のような直角三角形では,辺の長さの比によって三角比の値が定義されています.
…@
…A
…B
(2) 直角三角形の辺の長さ
 逆に上記の式@において,の値が分かっているとき,の値は次のようにして求められます.
…C
 同様にして,式Aにおいて,の値が分かっているとき,の値は次のようにして求められます.
…D
 さらに,式Bにおいて,の値が分かっているとき,の値は次のようにして求められます.
…E
⇒ このようにして,三角比の値があらかじめ分かっている場合には,これらCDEの式を使って,辺の長さを求めることができます.
 例えば,右図のような高い塔の高さ直接測るのは難しいことですが,角度θと横の長さを測れば,計算によって塔の高さを求めることができます.このような方法は三角測量と呼ばれます.
【例1】 
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.
(解答)

だから
…(答)
 直角三角形の辺の長さを求める問題(三角測量の問題)においては,必要な三角比の値が分かっていなければなりませんが,次の3種類×3の値は問題文に書かれていなくても読者が覚えていなければなりません.
θsin θcos θtan θ
30°
45°
60°
 これ以外の値,例えば sin 22°などが必要になる場合は,コンピュータを使ってあらかじめ計算した「三角比の表」が付いているのが普通です.(高校の教科書では,巻末の見開きに付いているものを使います.)
 この教材では,必要に応じて次のように示します.(ほとんどの三角比の値は無限小数になりますが,実用的な計算では有効数字3桁の小数で十分なので,小数第4位までの表が多く用いられます.)
≪三角比の表≫
θ(°)sin θcos θtan θ
190.3256 0.9455 0.3443
200.3420 0.9397 0.3640
210.3584 0.9336 0.3839
220.3746 0.9272 0.4040
230.3907 0.9205 0.4245
240.4067 0.9135 0.4452
※この表はどのようにして作っているのか?
角度を弧度法という単位で表しておくと,



などと計算する式(テイラー級数)があって,この式の初めの幾つかまでで有効数字4桁の小数に直せます.

【問題1】 答は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください.選択肢の中から正しいものをクリック(以下の問題も同様です)
(1)
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.
(2)
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.

(3)
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.
(4)
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.
(必要に応じて次の表を使ってください)
≪三角比の表≫
θ(°)sin θcos θtan θ
240.4067 0.9135 0.4452
250.4226 0.9063 0.4663
260.4384 0.8988 0.4877


(5)
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.
(必要に応じて次の表を使ってください)
≪三角比の表≫
θ(°)sin θcos θtan θ
340.5592 0.8290 0.6745
350.5736 0.8192 0.7002
360.5878 0.8090 0.7265

(6)
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.
(必要に応じて次の表を使ってください)
≪三角比の表≫
θ(°)sin θcos θtan θ
430.68200.73140.9325


【例2】 
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.
(必要に応じて次の表を使ってください)
≪三角比の表≫
θ(°)sin θcos θtan θ
180.30900.95110.3249

(解答)

だから

64.7…(答)
【問題2】 答は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください.選択肢の中から正しいものをクリック(以下の問題も同様です)
(1)
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.(必要に応じて次の表を使ってください)
≪三角比の表≫
θ(°)sin θcos θtan θ
280.46950.88290.5317


(2)
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.(必要に応じて次の表を使ってください)
≪三角比の表≫
θ(°)sin θcos θtan θ
380.61570.78800.7813

(3)
 右の直角三角形において,の長さを求めてください.(必要に応じて次の表を使ってください)
≪三角比の表≫
θ(°)sin θcos θtan θ
480.74310.66911.1106


(3) 角度を計算する
 紙の上の三角形に対しては,分度器を当てれば角度を測定することができますが,日常生活で遭遇する非常に大きなものや小さなものに対しては必ずしも分度器が使えるとは限りません.しかし,直角三角形の辺の長さの比が分かれば,それを使って角度を逆に求めることもできます.
 例えば,右図のような坂道があって,水平方向に100(m)進むと垂直方向に10(m)高くなる場合,となる角度θを次の表を使って度の位まで読み取ると,θ=6°になることが分かります.
(度まで求めるときは最も近い値を読み取る)
≪三角比の表≫
θ(°)sin θcos θtan θ
00.0000 1.0000 0.0000
10.0175 0.9998 0.0175
20.0349 0.9994 0.0349
30.0523 0.9986 0.0524
40.0698 0.9976 0.0699
50.0872 0.9962 0.0875
60.1045 0.9945 0.1051
70.1219 0.9925 0.1228
80.1392 0.9903 0.1405
90.1564 0.9877 0.1584
【問題3】 答は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください.選択肢の中から正しいものをクリック(以下の問題も同様です)
(1)
 右の直角三角形において,角の大きさを度の位まで求めてください.
(必要に応じて次の表を使ってください)
表を見る表を隠す


(2)
 右の直角三角形において,角の大きさを度の位まで求めてください.
(必要に応じて次の表を使ってください)
表を見る表を隠す

(3)
 右の直角三角形において,角の大きさを度の位まで求めてください.
(必要に応じて次の表を使ってください)
表を見る表を隠す

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