放物線の方程式

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== 放物線 ==
■１　放物線の方程式の標準形

※　放物線の方程式は，中学校と高校数学Iで２次関数のグラフとして習う．
　　　　中学校３年： y=ax2
　　　　高校数学I ： y=ax2+bx+c

※　高校数学Iで習う放物線のグラフ

　以下においては，さらに詳しく焦点との関係などを扱い，主に軸が x 軸に平行な形のものを学ぶ．

■　方程式 y2=4px …(1)
で表わされる曲線は，図１のような放物線になる．

図１

○　(1)を放物線の方程式の標準形という．
○　この曲線は「定点 F(p , 0) と定直線 x=−p からの距離が等しい点の軌跡」となっている．（解説は次の項目↓）
○　点 F(p , 0) を放物線の焦点といい，直線 x=−p を準線という．
○　点 O(0 , 0) を放物線の頂点という．
○　(1)の放物線は x 軸に関して対称となっている．この対称軸を放物線の軸という．すなわち，軸の方程式は y=0
■　(1)において x , y の役割を入れ換えたもの x2=4py は，図２のような放物線になる．

図２

　このとき，焦点は y 軸上にあり，焦点の座標は F(0 , p) また，準線の方程式は y=−p ，軸の方程式は x=0 ，頂点の座標は O(0 , 0) になる．

【要点1】横向きの場合
放物線

y^{2} = 4 p x

の

焦点の座標は

F (p, 0)

準線の方程式は

x = - p

である.
　このとき，動点

P (x, y)

と焦点との距離

P F = \sqrt{(x - p)^{2} + y^{2}}

動点から準線に引いた垂線の長さ

P H = | x + p |

について

P F = P H

が成り立つ
すなわち

\sqrt{(x - p)^{2} + y^{2}} = | x + p |

⟺ y^{2} = 4 p x

が成り立つ

【要点2】縦向きの場合
放物線

x^{2} = 4 p y

の

焦点の座標は

F (0, p)

準線の方程式は

y = - p

である.
　このとき，動点

P (x, y)

と焦点との距離

P F = \sqrt{x^{2} + (y - p)^{2}}

動点から準線に引いた垂線の長さ

P H = | y + p |

について

P F = P H

が成り立つ
すなわち

\sqrt{x^{2} + (y - p)^{2}} = | y + p |

⟺ x^{2} = 4 p y

が成り立つ

《基本事項のチェック》

y2=8x は，図３のような形の放物線で，

図３

y2=4·2·x と変形すると，p=2 となるから，
焦点の座標は F(2 , 0)
準線の方程式は x=−2
頂点の座標は (0 , 0)
放物線上の任意の１点を P とするとき，FP = HP となる．

　問題　

　　→閉じる←
(1)

p=3 だから，
焦点は x 軸上にあり，F(3 , 0)
準線の方程式は x=−3

(2)

x2=4·.

14n·y と変形すると，p=.

14n だから

焦点は y 軸上にあり，(0 , .

14n )

準線の方程式は y=−.

14n
(3)

y2=4·(−1)·x と変形すると，p=−1 だから
焦点は x 軸上にあり，(- 1 , 0 )
準線の方程式は x=1

■２　焦点の働きと軌跡

　「定点と定直線からの距離が等しい動点の軌跡」は放物線になる．以下にこれを示す
　定点 F(p , 0) と定直線 x=−p からの距離が等しい点 P(x , y) の軌跡の方程式は，次のように求めることができる．
FP=HP
←→ .

√(x−p)2+y2√nnnnnnnnni=|x+p|
両辺とも正だから，辺々２乗する
←→ (x−p)2+y2=(x+p)2
←→ x2−2px+p2+y2=x2+2px+p2
←→ y2=4px
図４

《要約》
焦点 F(p , 0)，準線 x=−p からの距離が等しい点 P(x , y) の軌跡の方程式は
y2=4px

○　FP は，２点間の距離の公式 .

√(x2−x1)2+(y2−y1)2√nnnnnnnnnnnnnni で計算する．
　　FP=.

√(x−p)2+y2√nnnnnnnni

○　点と直線の距離は，直線にひいた垂線の長さで定義されるので，HP は x 座標の差（の絶対値）で求める．
　　HP=|x+p|

※ (1)において x , y 座標を入替えると， x2=4py
これは次のような放物線を表わす．

《要約》
焦点 F(0 , p)，準線 y=−p からの距離が等しい点 P(x , y) の軌跡の方程式は
x2=4py

■３　定規とコンパスで放物線を描くには
　焦点 F(2 , 0) を中心に半径 1, 2, 3, 4, ...の同心円を描いておく．また，準線 x=−2 からの距離が，1, 2, 3, 4, ....の平行線 x= -1, 0, 1, 2, 3 ...を描いておく．点 O(0 , 0) は FP=HP=2 となるから，この点に印を付ける．
同心円と平行線でできる格子模様の対角線にそって点をたどり，
FP=HP=3
FP=HP=4
FP=HP=5
･･･に印を付け，これらをなめらかに結んでいくと放物線
y2=4·2·x ができる．

図５

■４　自然界にある放物線

○　[図６]
　グランドからボールを斜めに投げ上げたときに，ボールが描く軌道は放物線になる．（「物」を「放」したときにできる「線」）（正確には，空気の抵抗で少しずれるが，真空中では放物線になる．）

○　[図７]
　放物面鏡（放物線を軸の回りに回転させてできるもの）に太陽光線のような平行光線が当たると，反射光は焦点に集まる．･･･物があれば焦げる．

　問題　
(1)

→閉じる←
　ここでは上の《要約》の結果を利用する．
(1)　 p=3 だから y2=12x

(2)
p=−2 で，y 軸上に焦点があるから x2=−8y

■５　原点と異なる点に頂点がある放物線

(y−t)2=4p(x−s)　…(2)
　は，放物線
y2=4px　…(1)
を x 軸の正の向きに s，y 軸の正の向きに t だけ平行移動した放物線になる．

○　頂点の座標は (s , t)
○　焦点の座標は (p+s , t)
○　準線の方程式は x=−p+s

　【解説】
　　(1)の放物線上の点を (X , Y ) とおくと，

Y2=4pX …(A)

x=X+s …(B)
y=Y+t …(C)　が成り立つ．
　(B)(C)より，X=x−s , Y=y−t を(A)に代入すると，
　(y−t)2=4p(x−s)　…(2)　となる．

《初歩的な注意》
x 軸の正の向きに p，y 軸の正の向きに q だけ平行移動しているときに，
(y - t)2=4p(x - s)
になるので，見かけの符号と逆になる点に注意．
(y+t)2=4p(x+s)
ならば，x 軸の負の向きに s，y 軸の負の向きに t だけ平行移動したものとなる．
　これは，x=X+s , y=Y+t ←→ X=x−s , Y=y−t の関係による．
(Yy - t)2=4p(Xx - s)
のように移動前後の座標を重ねてみると，移動前の座標 X , Y についての関係式が浮かび上がる．このとき，移動前の座標は X=x−s , Y=y−t のように引き算で表わされている．

例題
y2−8x−4y−20=0 の概形を描き，頂点の座標，焦点の座標，準線の方程式を求めよ．

答案
次のように変形する．
y2−4y+4=8x+24
(y−2)2=8(x+3)

y2=8x を x 方向に −3 , y 方向に 2 だけ平行移動したものだから
　　頂点は (−3 , 2)
　　焦点は (−1 , 2)
　　準線の方程式は x=−5

　問題　
(1)
　放物線 y2=−12x を x 軸方向に 3，y 軸方向に 4 だけ平行移動してできる曲線の方程式，頂点の座標，焦点の座標，準線の方程式を求めよ．

→閉じる←
(1)

移動後の方程式は
(y−4)2=−12(x−3)
移動前　→　移動後
頂点
　　(0 , 0) → (3 , 4)
焦点
　　(−3 , 0) → (0 , 4)
準線
　　x=3 → x=6

(2)

x2+4x+4=16y−16
(x+2)2=16(y−1)
と変形する．

移動前　→　移動後
頂点
　　(0 , 0) → (- 2 , 1)
焦点
　　(0 , 4) → (- 2 , 5)
準線
　　y=−4 → y=−3

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線について／18.7.16］

コメント失礼しますm(__)m 放物線の標準形のところで、要点1要点2ともに、焦点が頂点になっています。ので、頂点を焦点に訂正お願いしますm(__)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線について／18.7.08］

X^2=4yの焦点の求め方が分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教材を書いた当時は，前から読むと公式そのものだから省略できると考えたようで，確かに直接的には書いてないようです．何らかのまとめ的なものを加筆します．
ご質問の点については

(1) 公式に当てはめる場合：
$x^2=4y=4\cdot 1\cdot y$
$p=1$ で縦横が逆だから
焦点の座標は
$F(0,\hspace{3}1)$
(2) (1)の内容を確かめるには，焦点の座標を $F(0,\hspace{3}1)$ ，準線の方程式を $l:Y=-1$ ，動点の座標を $P(x,\hspace{3}y)$ とすると，
$FP=\sqrt{x^2+(y-1)^2},\hspace{5}PH=|y+ 1|$
だから
$x^2+(y-1)^2=(y+ 1)^2$
$x^2=4y$
が成り立つ．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線について／17.10.3］

いつも参考にさせていただいております。ありがとうございます。放物線の方程式、２の焦点の働きと軌跡の説明のグラフ上のHの座標が(-p,0)になっていますが正しくはH(-p,y)ではないでしょうか？恐れ入りますが確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の方程式について／16.12.21］

面白かったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[放物線の方程式について／16.10.14］

とても良いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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鬮ｮ莨夲ｽｽ�ｪ髯懶ｿｽ闕ｳ蟯ｩ�ｽ髯晢ｿｽ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ陷ｷ�ｶ�ｽ邇匁綜隶捺慣�ｽ�ｭ隴∵腸�ｿ�ｽ髣包ｽｳ�ｽ�ｭ髯晢ｿｽ�ｽ�ｦ髴大｣ｼ迴ｾ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ鬯ｯ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ驕抵ｿｽ�ｽ�ｫ闖ｫ�ｶ�ｽ�ｽ�ｽ�｡髴大｣ｼ迴ｾ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ鬯ｯ�ｽ�ｿ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ驍ｵ�ｺ郢ｧ�ｽ�ｽ鬘費ｽｸ�ｺ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ