2次曲線の極方程式と媒介変数表示

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※高校数学Ⅲの「２次曲線」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓楕円の方程式
↓双曲線の方程式
↓放物線の方程式

↓接線の方程式
↓２次曲線と直線

↓媒介変数表示1
↓同(2)

↓放物線の頂点・円の中心の軌跡
↓サイクロイド,アステロイド等

↓極座標
↓極方程式
↓同(2)

2次曲線の極方程式,媒介変数表示-現在地

== 2次曲線の極方程式と媒介変数表示 ==
【１．極座標の定義】

　平面上の点Pの位置を極O（xy平面の原点にあたる）からの距離rと始線OXとOPがなす角度θ（偏角という）で表したものを極座標といいます．
　点Pの極座標はP(r, θ)の形で書きます．

【例】
右図の各点の極座標は

P (2, \frac{π}{6})

Q (3, \frac{π}{2})

です．

　角度θを1回転すると同じ位置に来るので，θ+2nπで表される点は同じ場所になります．
　必要に応じて，0≦θ<2πの範囲に制限する場合や，制限なしで使う場合もあります．
　また，rは通常r≧0を使いますが，負の値も使いたい場合は，偏角にπを加えたものを考えます．

【例】

P (- 2, \frac{π}{6})

は，

P (2, \frac{7 π}{6})

と同じです．

【２．極座標と直交座標との関係】

右図より，次の関係があります．
(r, θ)→(x, y)

x=rcosθ
y=rsinθ

(x, y)→(r, θ)

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

θは

\tan θ = \frac{y}{x}

となる角です

【３．極方程式の例】
　極方程式は，平面上の図形をr, θの関係式として表すものです．

【例1】

中心が極Oにあって，半径が1の円の方程式は
r=1
（方程式に書かれていない変数θは任意の角をとり得るものと解釈されます．したがって0≦θ<2πの1回転するすべての点を表すから，円になります．）

【例2】
偏角がαの直線の方程式は
θ=α
（方程式に書かれていない変数rは任意の角をとり得るものと解釈されます．
r≧0に制限すれば半直線になりますが，r<0のときθ=α+πとすると，右図の赤で示した部分も含まれ，直線になります．）

【例題1】
（極座標で）点A(h, α)を通り，OAに垂直な直線の方程式は
rcos(θ−α)=h

（解説）

　点P(r, θ)が題意を満たす直線上にあれば，右図の△POAは∠OAPが直角の直角三角形になり，∠POA=θ−αになるから

\frac{O A}{P O} = \cos (θ - α)

\frac{h}{r} = \cos (θ - α)

rcos(θ−α)=h…(1)
が成り立ちます．（逆も言えます）

この形の直線を(x, y)座標に直すには，三角関数の加法定理で展開します
r(cosθcosα+sinθsinα)=h
rcosθcosα+rsinθsinα=h
ここで，rcosθ=x, rsinθ=yだから
xcosα+ysinα=h
この形はヘッセの標準形と呼ばれます．

（さらに具体的に）

1) 点A(2, 0)を通り，OAに垂直な直線の方程式は
rcos(θ−0)=2
rcosθ=2

(x, y)座標で書けば
xcos0+ysin0=2
x=2

2) 点

A (2, \frac{π}{2})

を通り，OAに垂直な直線の方程式は

r \cos (θ - \frac{π}{2}) = 2

r \sin θ = 2

(x, y)座標で書けば

x \cos \frac{π}{2} + y \sin \frac{π}{2} = 2

y=2

3) 点

A (5, α)

を通り，OAに垂直な直線の方程式は
（ただし，αは

\cos α = \frac{3}{5}, \sin α = \frac{4}{5}

となる角）

r \cos (θ - α) = 5

(x, y)座標で書けば

r (\cos θ \cos α + \sin θ \sin α) = 5

r \cos θ \cos α + r \sin θ \sin α = 5

x \times \frac{3}{5} + y \times \frac{4}{5} = 5

3 x + 4 y = 25

これは，原点を中心とする半径5の円周上の点(3, 4)における円の接線の方程式というのと同じ

【問題１】　次の極方程式を(x, y)直交座標の方程式に直してください．また，そのグラフを図示してください．

(1)

r \cos (θ - \frac{π}{3}) = 2

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（解答）

r \cos θ \cos \frac{π}{3} + r \sin θ \sin \frac{π}{3} = 2

x \times \frac{1}{2} + y \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2

x + \sqrt{3} y = 4

…(答)

■ 極座標で考えれば ■
(極座標で表した)点

A (2, \frac{π}{3})

を通り，OAに垂直な直線上に点P(r, θ)をとると，△POAは∠POA=

θ - \frac{π}{3}

の直角三角形となるから

O P \cos (θ - \frac{π}{3}) = O A

すなわち

r \cos (θ - \frac{π}{3}) = 2

が成り立つ．

■ 直交座標：円の接線で考えれば ■
原点を中心とする半径2の円x2+y2=4の円周上の点

A (2 \cos \frac{π}{3}, 2 \sin \frac{π}{3})

すなわち

A (1, \sqrt{3})

における接線の方程式は

x + \sqrt{3} y = 4

（右図の黄緑色が円）

■ 直交座標：垂線の方程式で考えれば ■
(極座標の)

A (2, \frac{π}{3})

すなわち(直交座標の)

A (1, \sqrt{3})

について
OAの傾きは

\sqrt{3}

だから
OAに垂直な直線の傾きは

- \frac{1}{\sqrt{3}}

A (1, \sqrt{3})

を通り，傾き

- \frac{1}{\sqrt{3}}

の直線の方程式は

y - \sqrt{3} = - \frac{1}{\sqrt{3}} (x - 1)

\sqrt{3} y - 3 = - x + 1

x + \sqrt{3} y = 4

→閉じる←

(2)

r \sin (θ + \frac{π}{4}) = 2

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（解答）

r \sin θ \cos \frac{π}{4} + r \cos θ \sin \frac{π}{4} = 2

y \times \frac{1}{\sqrt{2}} + x \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2

x + y = 2 \sqrt{2}

…(答)

■ 極座標で考えれば ■
始線から時計回りに

\frac{π}{4}

だけ回った直線OHを考え，動点Pからこの直線OHに垂線を引くと，△POHは∠POH=

θ + \frac{π}{4}

の直角三角形となるから，

O P \sin (θ + \frac{π}{4}) = P H

そこで，始線から時計回りに

\frac{π}{4}

だけ回った直線OHからの距離が2となる直線上に点Pをとると，すなわち

r \sin (θ + \frac{π}{4}) = 2

が成り立つ．

■ cosθで考えれば ■
三角関数の公式

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

を用いると

r \cos {\frac{π}{2} - (θ + \frac{π}{4})} = 2

r \cos (\frac{π}{4} - θ) = 2

r \cos (θ - \frac{π}{4}) = 2

は，(極座標で表した)点

A (2, \frac{π}{4})

を通り，OAに垂直な直線を表す．
→閉じる←

【問題２】　次の直線の方程式を極方程式で表してください．また，そのグラフを図示してください．

(1)

y = x + 2

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三角関数の合成公式

a \sin θ + b \cos θ

= \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ + α)

ここで，角

α

は

\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

\sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

となる角

（解答）

x = r \cos θ, y = r \sin θ

を代入すると

r \sin θ - r \cos θ = 2

r (\sin θ - \cos θ) = 2

三角関数の合成を行うと

r \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = 2

r \sqrt{2} \cos {\frac{π}{2} - (θ - \frac{π}{4})} = 2

r \sqrt{2} \cos (\frac{3 π}{4} - θ) = 2

r \cos (θ - \frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}

…(答)

【例題１】を参考にすると，このグラフは，(極座標で表した)点

A (\sqrt{2}, \frac{3 π}{4})

を通り，OAに垂直な直線になる．
→閉じる←

(2)

\sqrt{3} x - y = 2

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（解答）

三角関数の合成公式（余弦版）

a \cos θ + b \sin θ

= \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (θ - α)

ここで，角

α

は

\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

\sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

となる角

x = r \cos θ, y = r \sin θ

を代入すると

\sqrt{3} r \cos θ - r \sin θ = 2

r (\sqrt{3} \cos θ - \sin θ) = 2

三角関数の合成を行うと

2 r (\cos θ \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin θ \times \frac{1}{2}) = 2

2 r \cos (θ + \frac{π}{6}) = 2

r \cos (θ + \frac{π}{6}) = 1

…(答)

【例題１】を参考にすると，このグラフは，(極座標で表した)点

A (1, - \frac{π}{6})

を通り，OAに垂直な直線になる．
→閉じる←

【４．2次曲線と焦点，準線】
　定直線lと定点Fからの距離の比が一定eである動点Pの軌跡は2次曲線と呼ばれる．

\frac{P F}{P H} = e

(が一定)

定直線lは準線，定点Fは焦点，比率eは離心率と呼ばれます

0<e<1のとき，楕円になります．
e=1のとき，放物線になります．
e>1のとき，双曲線になります．

楕円，例えばe=0.5の場合，動点Pがちょうど始線OX上に来るとき，PH:PF=2:1だから，Pは線分HFを2:1に内分する点と2:1に外分する点を通ることになります．

このように楕円（0<e<1）は，始線OXと2回交わりますが，放物線や双曲線では，1つの曲線が始線OXと交わるのは１回です．

【５．焦点を極とするときの2次曲線の極方程式】
≪１≫ 準線を焦点の左に描く場合

教科書や参考書では，この図と式で解説されていることが多い（分母のecosθの符号に関係します）

焦点から始線に垂直な直線を引き，曲線との交点をL，FL=l，焦点から準線までの距離をFA=aとおくとき

r = \frac{l}{1 - e \cos θ}

［A］楕円の図では

\frac{P F}{P H} = e

(が一定

0 < e < 1

)
より
PF=ePH…(1)
PH=FA+rcosθ…(2)
(2)を(1)に代入すると
r=e(a+rcosθ)
r=ae+ercosθ
r(1−ecosθ)=ae

r = \frac{a e}{1 - e \cos θ}

この形で使うこともありますが，PFが始線OXに垂直になるとき，すなわち右図でLに来るとき

\frac{L F}{L H^{'}} = e

l=ae
だから

r = \frac{l}{1 - e \cos θ}

※≪(x, y)直交座標(このページ)の離心率との関係≫

　右図のような楕円

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

において，極方程式で定義される離心率

\frac{P F}{P H} = \frac{A F}{A H^{'}} = e

は，

\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

に等しいことが示せます．→(*)
　すなわち，離心率

\frac{c}{a} = e

は「長軸の長さに対する焦点間の距離の比」

\frac{2 c}{2 a} = e

によって，焦点の（中心からの）離れ具合を表しています．

(*)←

\frac{a}{a + p} = \frac{q}{p} = e

のとき

\frac{a - q}{a} = \frac{a e + p e - p e}{a} = \frac{a e}{a} = e

すなわち

\frac{P F}{P H} = \frac{O F}{O A} (= \frac{F F^{'}}{A A^{'}})

が離心率になります．

結局，

e = 0

のとき，２つの焦点がくっついて円になり，

e \to 1

のとき２つの焦点がどんどん離れて行って放物線になります．

扁平率

f = \frac{a - b}{a}

　なお，類似の用語として扁平率というものがありますが，高校数学では登場しません．
　右の定義では，縦横が等しい場合（円：

a = b

のとき）に扁平率が０になり，横長になるほど（

b \to 0

のとき）扁平率が１に近付くことになりいます．

タイヤの扁平率

\frac{H}{W} \times 100 = 60

(%)など

　一層話がややこしくなりますが，日常生活で時々聞くのは「タイヤの扁平率」です．
　こちらの定義は，業界用語なのか，数学の扁平率とはまた異なり，縦÷横の百分率なので，扁平率が０に近付くほど横長になります．

［B］双曲線の図では

図も式も楕円の場合とほとんど同じです．
すなわち

r = \frac{a e}{1 - e \cos θ}

r = \frac{l}{1 - e \cos θ}

ですが，離心率がe>1なので，PFがPHよりも長い図を描きます．

　双曲線では離心率がe>1なので，ecosθ>1すなわち1−ecosθ<0となることがあります．
　双曲線には漸近線があり，漸近線の方向よりも始線側の

\cos θ > \frac{1}{e}

となる偏角θ（右図で桃色の背景色で示した範囲）では，焦点から偏角θ方向に伸ばしていっても，青で示した双曲線には当たりません．
この場合，r<0となるので，偏角がθ+πを表すと解釈して，左に描かれる赤の曲線になります．
　ちょうど

\cos θ = \frac{1}{e}

となる偏角θ（第1象限と第4象限にあります）は漸近線の方向を表しており，この角θに対しては，曲線は定義されません．

※双曲線は特別ということではありません．ずーっと前に述べた直線の方程式【例題1】の具体例として，次のような直線を考えてみます．

r \cos θ = 2

この方程式を(x, y)直交座標に直すと

x = 2

となって，右図のようなグラフになります．
この直線において，

0 ≦ θ < \frac{π}{2}

および

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

のときは，青で示した点Pになり見た目の通りですが，

\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}

のときは，

r < 0

となるので，偏角を

θ

の代わりに

θ + π

を使って，

r > 0

とします．（赤で示した点P）
※このグラフでは，θが0から2πまで１周する間に，直線は重ねて2回描かれます．

※≪(x, y)直交座標(このページ)の離心率との関係≫

　右図のような双曲線

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

において，極方程式で定義される離心率

\frac{P F}{P H} = e

は，

\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

に等しいことが示せます．→(*)
　すなわち，離心率

\frac{c}{a} = e

は「主軸の長さに対する焦点間の距離の比」

\frac{2 c}{2 a} = e

によって，焦点の（中心からの）離れ具合を表しています．（双曲線では長軸と呼ばずに主軸という）
1)

θ = 0

のとき，

r = \frac{q e}{1 - e} < 0

となるから，

r = \frac{q e}{e - 1} (> 0), θ = π

と読み替えると，図のA’の点を表す．
このとき，離心率は

\frac{A^{'} F}{A^{'} M} = \frac{2 a + q}{2 a - p} = e

…(*1)
2)

θ = π

のとき，

r = \frac{q e}{1 + e}

このとき，離心率は

\frac{A F}{A M} = \frac{q}{p} = e

…(*2)
(*)←
(*1)(*2)より

\frac{2 a + q + q}{2 a - p + p} = \frac{(2 a - p) e + p e}{2 a} = \frac{2 a e}{2 a} = e

すなわち，

\frac{F F^{'}}{A A^{'}} = \frac{2 c}{2 a} = e

［C］放物線の図では

図も式も楕円や双曲線とほとんど同じですが，離心率がe=1なので，式が少し簡単になります．

r = \frac{a}{1 - \cos θ}

r = \frac{l}{1 - \cos θ}

　放物線の極方程式では，分母1−cosθが0になって，曲線が定義されない角が１つあります．それはθ=0です．
これに対してθ=πのときは，点Pが始線上に来ます．

≪２≫ 準線を焦点の右に描く場合

分母のecosθの符号に注意してください

(楕円の場合，右側の)焦点F’から始線に垂直な直線を引き，曲線との交点をL，F’L=l，焦点から準線までの距離をF’A=aとおくとき

r = \frac{l}{1 + e \cos θ}

［A］楕円の図では

\frac{P F^{'}}{P H} = e

(が一定

0 < e < 1

)
より
PF’=ePH…(1)
PH=F’A−rcosθ…(2)
(2)を(1)に代入すると
r=e(a−rcosθ)
r=ae−ercosθ
r(1+ecosθ)=ae

r = \frac{a e}{1 + e \cos θ}

この形で使うこともありますが，PF ’が始線OXに垂直になるとき，すなわち右図でLに来るとき

\frac{L F^{'}}{L H^{'}} = e

l=ae
だから

r = \frac{l}{1 + e \cos θ}

［B］［C］双曲線，放物線も同様にecosθの符号が正になります

r = \frac{a e}{1 + e \cos θ}

r = \frac{l}{1 + e \cos θ}

【要約】
≪１≫ 準線を焦点の左に描く場合

r = \frac{l}{1 - e \cos θ}

0<e<1のとき楕円
e=1のとき放物線
e>1のとき双曲線
※双曲線の場合，

\cos θ > \frac{1}{e}

となる偏角θに対しては，グラフは準線の左に現れる．

≪２≫ 準線を焦点の右に描く場合

r = \frac{l}{1 + e \cos θ}

0<e<1のとき楕円
e=1のとき放物線
e>1のとき双曲線
※双曲線の場合，

\cos θ < - \frac{1}{e}

となる偏角θに対しては，グラフは準線の右に現れる．

【問題３】　次の極方程式で表されるグラフを図示してください．また，離心率と（ (x, y)直交座標で表した）準線の方程式を答えて下さい．

(1)

r = \frac{2}{1 - 0.5 \cos θ}

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（解答）

離心率はe=0.5（楕円）
（ (x, y)直交座標で表した）準線の方程式をx=−aとすると，
0.5a=2
より
a=4
準線の方程式はx=−4

右図の青で示した点（長軸の左端）はθ=π →

r = \frac{2}{1.5} = \frac{4}{3}

により得られる．
右図の赤で示した点（長軸の右端）はθ=0 → r=4により得られる．

→閉じる←

(2)

r = \frac{3}{2 - 4 \cos θ}

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（解答）

公式のまま読み取るためには，分母の定数項が１になっていなければなりませんので，次のように変形します．

r = \frac{1.5}{1 - 2 \cos θ}

離心率はe=2（双曲線）
（ (x, y)直交座標で表した）準線の方程式をx=−aとすると，
2a=1.5
より
a=0.75
準線の方程式はx=−0.75

右図の青で示した線（双曲線の右半分）は

\cos θ < \frac{1}{2} \to \frac{π}{3} < θ < \frac{5 π}{3}

のとき描かれる．
右図の赤で示した点（双曲線の左半分）は

\cos θ > \frac{1}{2} \to 0 ≦ θ < \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3} < 2 π

のとき描かれる．（r<0だから

θ + π

の偏角を使う）

→閉じる←

(3)

r = \frac{3}{1 - \cos θ}

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（解答）

離心率はe=1（放物線）
（ (x, y)直交座標で表した）準線の方程式をx=−aとすると，
ae=3
より
a=3
準線の方程式はx=−3

→閉じる←

(4)

r = \frac{3}{3 + \cos θ}

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（解答）

公式のまま読み取るためには，分母の定数項が１になっていなければなりませんので，次のように変形します．

r = \frac{1}{1 + \frac{1}{3} \cos θ}

離心率は

e = \frac{1}{3}

（楕円）
（ (x, y)直交座標で表した）準線の方程式をx=aとすると，
ae=1
より
a=3
準線の方程式はx=3

→閉じる←

【６．円の極方程式】

[1] 極Oを中心とする半径aの円
r=a

方程式に明示されていない偏角はθは，任意の値をとる．任意の値をとるから，指定された半径aで一周すると円になる

[2] 極Oと点

A (a, α)

を直径の両端とする円（ただし，点Aは極座標表示で，aはAの動径の長さ，

α

はAの偏角）

r = a \cos (θ - α)

OAは直径だから，∠OPAは直角で，△OPAは直角三角形
OP=OAcos∠AOP
だから

r = a \cos (θ - α)

[3] 点

A (a, α)

を中心とする半径Rの円（ただし，点Aは極座標表示で，aはAの動径の長さ，αはAの偏角）

r^{2} + a^{2} - 2 a r \cos (θ - α) = R^{2}

△OPAにおいて，∠POA=θ−αだから，余弦定理を適用すると

r^{2} + a^{2} - 2 a r \cos (θ - α) = R^{2}

が成り立つ．

【問題４】　次の極方程式で表されるグラフを図示してください．

(1)

r = 2 \cos θ

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（解答）

始線上に(極座標で)点A(2, 0)をとり，OAを直径とする円を描くと，∠APOが直角となるから

O A \cos θ = O P

2 \cos θ = r

が成り立つ．

(x, y)直交座標に直して考える場合

r^{2} = 2 r \cos θ

x^{2} + y^{2} = 2 x

(x - 1)^{2} + y^{2} = 1

は点C(1, 0)を中心とする半径１の円

※直線の方程式と円の方程式は，似ているようで似ていない！
直線→

r \cos θ = a

円→

r = a \cos θ

→閉じる←

(2)

r = 2 \cos (θ - \frac{π}{3})

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（解答）

(極座標で)点

A (2, \frac{π}{3})

をとり，OAを直径とする円を描くと，∠APOが直角となるから

O A \cos (θ - \frac{π}{3}) = O P

2 \cos (θ - \frac{π}{3}) = r

が成り立つ．

(x, y)直交座標に直して考える場合

r^{2} = 2 r \cos (θ - \frac{π}{3})

x^{2} + y^{2} = 2 (r \cos θ \cos \frac{π}{3} + r \sin θ \sin \frac{π}{3})

= 2 (x \times \frac{1}{2} + y \times \frac{\sqrt{3}}{2})

= x + \sqrt{3} y

(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{\sqrt{3}}{2})^{2} = 1

は（(x, y)直交座標で）

C (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})

，(極座標で)

C (1, \frac{π}{3})

を中心とする半径１の円

※(1)のグラフを

\frac{π}{3}

だけ回転してできるグラフの方程式は，方程式の

θ

の代わりに

θ - \frac{π}{3}

を代入したものになる

r = 2 \cos θ \to r = 2 \cos (θ - \frac{π}{3})

→閉じる←

(3)

r^{2} - 4 r \cos θ + 3 = 0

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（解答）

上記の公式[3]においてa=2, R=1, α=0を代入したものになるから，右図のグラフになる

(x, y)直交座標に直して考える場合

x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0

(x - 2)^{2} + y^{2} = 1

は（(x, y)直交座標で）

C (2, 0)

を中心とする半径１の円

→閉じる←

（(x, y)直交座標で表された次の方程式を極方程式に直し，グラフを描いてください．）
(4)

x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0

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（解答）

(x, y)直交座標のままでグラフを考えると，点C(1, 1)を中心とする半径1の円だから，右図のようになります．

極方程式に直すにはx=rcosθ, y=sinθを代入します．

(r \cos θ)^{2} + (r \sin θ)^{2} - 2 r \cos θ - 2 r \sin θ + 1 = 0

r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ - 2 r \cos θ - 2 r \sin θ + 1 = 0

r^{2} - 2 r (\cos θ + \sin θ) + 1 = 0

r^{2} - 2 \sqrt{2} r (\cos θ \times \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin θ \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + 1 = 0

r^{2} - 2 \sqrt{2} r \cos (θ - \frac{π}{4}) + 1 = 0

…(答)

図を見て直接に極方程式を書く場合は，【６．円の極方程式】[3] において，

a = \sqrt{2}, R = 1, α = \frac{π}{4}

を代入したものになるから，

r^{2} + 2 - 2 \sqrt{2} r \cos (θ - \frac{π}{4}) = 1

r^{2} - 2 \sqrt{2} r \cos (θ - \frac{π}{4}) + 1 = 0

…(答)

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【７．2次曲線の媒介変数表示】
［A］(1) 原点を中心とする円x2+y2=r2の媒介変数表示

x=rcosθ
y=rsinθ
(0≦θ<2π)

rは原点から動点Pまでの距離．θは，始線OXから動点Pまでの偏角

(2) 点(a, b)を中心とする円(x−a)2+(y−b)2=r2の媒介変数表示

x=a+rcosθ
y=b+rsinθ
(0≦θ<2π)

rは中心(a, b)から動点Pまでの距離．θは，始線方向から動点Pまでの偏角

[B] 原点を中心とする楕円

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

の媒介変数表示

x=acosθ
y=bsinθ
(0≦θ<2π)

ただし，θは，始線から動点Pまでの偏角ではないことに注意

（以下，長軸がｘ方向，短軸がｙ方向を向いている場合について述べる）
そもそも，楕円

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

上の点P(x, y)は円x2+y2=a2の周上の各点Q(X, Y)を，ｘ方向は変えず，ｙ方向だけ一定比率に拡大して得られます．
上記の角度θは，この補助として使う点Q(X, Y)が始線方向となす角です．

X 2+Y 2=a2
x=X

y = \frac{b}{a} Y

補助の変数X, Yを消去すると

x^{2} + (\frac{a}{b} y)^{2} = a^{2}

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

小さい方の円x2+y2=b2の周上の各点Q(X, Y)を，ｙ方向は変えず，ｘ方向だけ一定比率に拡大しても同じ結果が得られます．

X 2+Y 2=b2

x = \frac{a}{b} X

y=Y
補助の変数X, Yを消去すると

(\frac{b}{a} x)^{2} + y^{2} = b^{2}

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

[C] 原点を中心とする双曲線

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

の媒介変数表示

x = \frac{a}{\cos θ}

y = b \tan θ

(

0 ≦ θ < 2 π, θ \neq \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}

)

ただし，θは，始線から動点Pまでの偏角ではなく，原点を中心とする半径aの円周上の点をQとして，この補助として使う点Q(X, Y)が始線方向となす角です．

まず，三角関数の相互関係についての次の公式を思い出してください．

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

両辺を

\cos^{2} θ

で割ると

\tan^{2} θ + 1 = \frac{1}{\cos^{2} θ}

したがって

\frac{1}{\cos^{2} θ} - \tan^{2} θ = 1

そこで，上の図のように点P, Qをとると

x = O H = \frac{a}{\cos θ}

これに対して

y = P H = b \tan θ

と定めると

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{1}{\cos^{2} θ} - \tan^{2} θ = 1

が成り立つ．

[D] 頂点O(0, 0)，焦点F(p, 0)，準線x=−pの放物線y2=4pxの媒介変数表示

x = \frac{p}{\tan^{2} θ}

y = \frac{2 p}{\tan θ}

(

0 ≦ θ < 2 π, θ \neq 0, π

)

ただし，θは，始線から動点Pまでの偏角ではなく，動点Pにおける接線がｘ軸となす角(∠PQF)です．

放物線y2=4px上の動点P(x1, y1)における接線の方程式は
y1y=2p(x+x1)　（解説はこのページ）
その傾きは

\frac{2 p}{y_{1}}

また，準線上の点H(−p, y1)と焦点F(p, 0)を結ぶ直線HFの傾きは

- \frac{y_{1}}{2 p}

だから，PQ⊥HFが成り立つ．このとき，∠FHF’=θとなるから

y_{1} \tan θ = 2 p

y_{1} = \frac{2 p}{\tan θ}

y2=4pxに代入すると

(\frac{2 p}{\tan θ})^{2} = 4 p x

x = \frac{p}{\tan^{2} θ}

【８．

t = \tan \frac{θ}{2}

を用いた媒介変数表示】
三角関数の半角公式の応用として，sinθ, cosθ, tanθはいずれも

t = \tan \frac{θ}{2}

を用いて表せます．（解説はこのページ）

\sin θ = \frac{2 t}{1 + t^{2}}

\cos θ = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

\tan θ = \frac{2 t}{1 - t^{2}}

これを用いると，【７】で述べた媒介変数表示は，次の形になります．（ただし，

t = \pm \tan \frac{π}{2}

に対応する点は除外点となり，表せません．）

[A] 円x2+y2=r2

x = r \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

y = r \frac{2 t}{1 + t^{2}}

[B] 楕円

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

x = a \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

y = b \frac{2 t}{1 + t^{2}}

[C] 双曲線

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

x = a \frac{1 + t^{2}}{1 - t^{2}}

y = b \frac{2 t}{1 - t^{2}}

[*D] 放物線の方程式は，動点Pにおける接線がｘ軸となす角(θ=∠PQF)を用いて，

t = \frac{1}{\tan θ}

を使って表すので，同じ文字tを使っても意味が異なります．

x = p t^{2}

y = 2 p t

【問題５】

　次の媒介変数で表されるグラフを図示してください．
(1)

x = 3 \cos θ, y = 2 \sin θ

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（解答）

(x, y)直交座標に直すと

\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1

でグラフは右図の通り
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(2)

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1

のとき，

x + 2 y

のとり得る値の範囲を求めてください．

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（解答）

条件式から変数を代入しようとしても，このままの形では代入できないので

x = 2 \cos θ, y = \sin θ

の形で代入すると，求める関数が１変数

θ

で表せる．

2 \cos θ + 2 \sin θ = 2 (\sin θ + \cos θ)

= 2 \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4})

θ + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} \leftarrow\to θ = \frac{π}{4}

のとき，最大値

= 2 \sqrt{2}

θ + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2} \leftarrow\to θ = \frac{5 π}{4}

のとき，最小値

= - 2 \sqrt{2}

- 2 \sqrt{2} ≦ x + 2 y ≦ 2 \sqrt{2}

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(3)

x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1

のとき，

2 x^{2} - x y + y^{2}

のとり得る値の範囲を求めてください．

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（解答）
条件式から変数を代入しようとしても，このままの形では代入できないので

x = \cos θ, y = 2 \sin θ

の形で代入すると，求める関数が１変数

θ

で表せる．

2 \cos^{2} θ - 2 \cos θ \sin θ + 4 \sin^{2} θ

= 2 \frac{1 + \cos 2 θ}{2} - \sin 2 θ + 4 \frac{1 - \cos 2 θ}{2}

= 1 + \cos 2 θ - \sin 2 θ + 2 - 2 \cos 2 θ

= 3 - (\sin 2 θ + \cos 2 θ)

= 3 - \sqrt{2} \sin (2 θ + \frac{π}{4})

0 ≦ θ < 2 π

のとき

\frac{π}{4} ≦ 2 θ + \frac{π}{4} < \frac{9 π}{4}

だから

2 θ + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} \leftarrow\to θ = \frac{π}{8}

のとき，最小値

3 - \sqrt{2}

2 θ + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2} \leftarrow\to θ = \frac{5 π}{8}

のとき，最大値

3 + \sqrt{2}

3 - \sqrt{2} ≦ 2 x^{2} - x y + y^{2} ≦ 3 + \sqrt{2}

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(4)

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1

のとき，

x^{2} + 5 x y - y^{2}

のとり得る値の範囲を求めてください．

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（解答）
条件式から変数を代入しようとしても，このままの形では代入できないので

x = 2 \cos θ, y = \sin θ

の形で代入すると，求める関数が１変数

θ

で表せる．

4 \cos^{2} θ + 2 \cos θ \sin θ - \sin^{2} θ

= 4 \frac{1 + \cos 2 θ}{2} + \sin 2 θ - \frac{1 - \cos 2 θ}{2}

= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \cos 2 θ + 5 \sin 2 θ

= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} (\cos 2 θ + 2 \sin 2 θ)

= \frac{3}{2} + \frac{5 \sqrt{5}}{2} \cos (2 θ - α)

ただし，角

α

は

\cos α = \frac{1}{\sqrt{5}}

，

\sin α = \frac{2}{\sqrt{5}}

となる角

0 ≦ θ < 2 π

のとき

- α ≦ 2 θ - α < 4 π - α

だから

2 θ - α = 0, 2 π \leftarrow\to θ = \frac{α}{2}, π + \frac{α}{2}

のとき，
最大値

\frac{3 + 5 \sqrt{5}}{2}

2 θ - α = π, 3 π \leftarrow\to θ = \frac{π}{2} + \frac{α}{2}, \frac{3 π}{2} + \frac{α}{2}

のとき，
最小値

\frac{3 - 5 \sqrt{5}}{2}

\frac{3 - 5 \sqrt{5}}{2} ≦ x^{2} + 5 x y - y^{2} ≦ \frac{3 + 5 \sqrt{5}}{2}

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次曲線の極方程式と媒介変数表示について／18.8.17］

5.焦点を極とするときの二次曲線の極方程式の、''極とする''とはどういう意味なんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ある点を極とすれば，その点のｒは0になります．(x,y)座標の言い方で言えば，その点が原点になります．
一般に，座標でどの点を原点とするかは分析者が自由に選べるので，元の(x,y)座標の(1,0)を原点とするとか，元の(r,θ)座標の(1,0)を極とするというようなことは自由に定めることができます．…「とする」で質問があるのは「想定外です」．xを1とすると書いたときに，「とする」とは何かと質問するかな？
この話は，ある科目の時間に「○○とは何ですか」と質問しているのに「○○は○○じゃ」と答えている予習不足の教員の回答とは違うことに注意．そもそも，親がこの子の名前を「○○とする」と言ったときに，「とする」とは何かと質問するのは，おかしくないか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次曲線の極方程式と媒介変数表示について／18.8.17］

問題5の(4)の最大値の計算で、3/2+〈(5√5)/2〉(cos(2θ-α))を3/2+〈(5√5)/2〉(sin(2θ-α))として計算していませんか？ θ=π/4+α/2のとき最大値は3/2だと思うのですが
＝＞［作者］：連絡ありがとう．重要なところを突いていますが，結論は微妙に違います．解答の結論は変わらず，途中経過の一部を訂正しました．

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