 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「２次曲線」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓楕円の方程式 ↓双曲線の方程式 ↓放物線の方程式 ↓接線の方程式-現在地 ↓２次曲線と直線 ↓媒介変数表示1 ↓同(2) ↓放物線の頂点・円の中心の軌跡 ↓サイクロイド,アステロイド等 ↓極座標 ↓極方程式 ↓同(2) 2次曲線の極方程式,媒介変数表示 |
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《要点》
【解説】■1 (1) 楕円  x2a2+y2b2=1上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は x1xa2+y1yb2=1 …(1) x2a2−y2b2=1上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は x1xa2−y1yb2=1 …(2)
y2=4px 上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は y1 y=2p(x+x1 ) …(3) 
《なんとなく規則性》
元の方程式 x2 → 接線では積にする x1x 元の方程式 2x → 接線では和にする x+x1 (1) x2a2+y2b2=1 の両辺を x で微分すると2xa2+2yb2dydx=0 より dydx=−b2xa2y となるから接線の傾きは − b2x1a2y1接点 P(x1 , y1) における接線の方程式は y−y1=− b2x1a2y1(x−x1)a2y1y−a2y12=−b2x1x+b2x12 a2y1y+b2x1x=b2x12+a2y12 x1xa2+y1yb2=x12a2+y12b2ここで，接点 P(x1 , y1) は楕円上の点だから x12a2+y12b2=1を満たす．よって， x1xa2+y1yb2=1 → (1)(2) x2a2−y2b2=1 の両辺を x で微分すると2xa2−2yb2dydx=0 より dydx=b2xa2y となるから接線の傾きは b2x1a2y1接点 P(x1 , y1) における接線の方程式は y−y1= b2x1a2y1(x−x1)a2y1y−a2y12=b2x1x−b2x12 b2x1x−a2y1y=b2x12−a2y12 x1xa2−y1yb2=x12a2−y12b2ここで，接点 P(x1 , y1) は双曲線上の点だから x12a2−y12b2=1を満たす．よって， x1xa2−y1yb2=1 → (2)(3) y2=4px の両辺を x で微分すると 2y dydx=4p より dydx=2py となるから接線の傾きは 2py1接点 P(x1 , y1) における接線の方程式は y−y1= 2py1(x−x1)y1y−y12=2px−2px1 y1y=2px+y12−2px1 ここで，接点 P(x1 , y1) は放物線上の点だから y12=4px1 を満たす．よって， y1y=2px+2px1=2p(x+x1) → (3) |
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【復習：陰関数の微分法（数学 III）】 曲線の方程式が 例えば，(A)において導関数を求めるには，そのまま両辺を x で微分するとよい．その際，y の関数 y2 を x で微分するためには，合成関数微分法を用いる： dzdx=dzdydydxこれにより， ddx(y2)=ddy(y2)dydx=2y dydx(A)の両辺を x で微分すると 2ax+2by dydx=0となり， dydx= −axbyが求まる．（このような場合，導関数は x も y も用いて表わす．） |
| 《基本事項のチェック》 (1) 楕円 x24+y23=1 上の点 P(1, 32) における接線の方程式は
1·x4+32y3=1 x+2y=4 (2) 双曲線 x29−y24=1 上の点 P(√10, 23) における接線の方程式は
√10x9−23y4=1 2 √10x−3y=18(3) 放物線 y2=4x 上の点 P(1 ,−2) における接線の方程式は −2y=2(x+1) x+y+1=0 |
| 問題 |
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(1) √7x16−94y9=1 より √7x−4y=16(2) 22 x−√33y=1 より 3x−√3y=3(3) −6y=6(x+3) より x+y+3=0 |
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■２ 極線の方程式 ※極線という用語は，高校の教科書にはない．入試問題などで，極線という用語を使わずに，その内容が問われることはある． (1) 《要約》
P(x0 , y0) が楕円
は，点 P(x0 , y0) から引いた２つの接線の接点を結ぶ直線となる．
x2a2+y2b2=1外の１点であるとき， x0xa2+y0yb2=1 …(4) （解説） 点 P(x0 , y0) が楕円外の１点であるとき， x0xa2+y0yb2=1は，接線を表わさない． この直線は，図のように点 P(x0 , y0) から引いた２つの接線の接点を結ぶ直線となり，点 P(x0 , y0) を極とする極線と呼ばれる． 《特別に円の場合》
P(x0 , y0) が円 |
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《証明》 ■1(1)で述べた通り，点 (x1 , y1) が楕円上の１点であるとき， x1xa2+y1yb2=1 …(B)は，点 (x1 , y1) における接線の方程式を表わす． 同様にして，点 (x2 , y2) が楕円上の１点であるとき， x2xa2+y2yb2=1 …(C)は，点 (x2 , y2) における接線の方程式を表わす． (B)(C)の交点を (x0 , y0) とすると， x1x0a2+y1y0b2=1 …(D)x2x0a2+y2y0b2=1 …(E)が成り立つ． ここで，直線 xx0a2+yy0b2=1 …(F)を考えると，(D)(E)は２点 (x1 , y1) , (x2 , y2) が直線 (F)上にあることを示している． したがって，(F)は２つの接点を通る直線となる． |
| 同様にして，次が成り立つ． (2) P(x0 , y0) から双曲線
は，点 P(x0 , y0) から引いた２つの接線の接点を結ぶ直線となる．x2a2−y2b2=1に２本の接線がひけるとき， x0xa2−y0yb2=1 …(5) (3) P(x0 , y0) から放物線
は，点 P(x0 , y0) から引いた２つの接線の接点を結ぶ直線となる．
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| 問題
(1) |
| →閉じる← ここでは上の《要約》の結果を利用する． (1) 3x+4y=4 (2) x4+y3=1 より 3x+4y=12
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■３ ２次曲線の接線の平行移動
■1
(1) 楕円 (x−p)2a2+(y−q)2b2=1上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は (x−p)(x1−p)a2+(y−q)(y1−q)b2=1 …(7) (x−p)2a2−(y−q)2b2=1上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は (x−p)(x1−p)a2−(y−q)(y1−q)b2=1 …(8)(3) 放物線
《なんとなく規則性》
元の方程式 (x−p)2 → 接線 (x−p)(x1−p) 元の方程式 2(x−p) → 接線 (x−p)+(x1−p) |
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【解説】･･･グラフと接点を原点を中心とするグラフに戻す→接線の方程式を求める→接線を平行移動する (1) グラフと接点を x 方向に −p， 方向に −q だけ平行移動すると， 接点 (x−p , y−q) は 楕円 x2a2+y2b2=1 上にあるから接線(1)’の方程式は (x1−p)xa2+(y1−q)yb2=1この接線を x 方向に p，y 方向に q だけ平行移動すると 接線(1)の方程式は (x1−p)(x−p)a2+(y1−q)(y−q)b2=1になる． (2)も同様に求められる． (3) グラフと接点を x 方向に −s，y 方向に −t だけ平行移動すると， 接点 (x−s , y−t) は 放物線 y2=4px 上にあるから 接線(3)’の方程式は (y1−t)y=2p(x + x1−s) この接線を x 方向に s，y 方向に t だけ平行移動すると 接線(3)の方程式は (y1−t)(y−t)=2p{ (x−s)+ (x1−s)} になる． |
| 例題 (1) 放物線 (y−2)2=4(x−3) 上の点 (4 , 4) における接線の方程式を求めよ． 答案 (4−2)(y−2)=2{ (x−3)+(4−3) } 2(y−2)=2(x−2) y=x |
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| 問題 |
| →閉じる← (1) (0+1)(x+1)4 + (72−2)(y−2)3=1(x+1)+2(y−2)=4 x+2y=7 (2) 3(x−4)3−2√2(y+1)2=−1x−4− √2(y+1)=−1x− √2y=3+√2 |
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