双曲線の方程式

== 双曲線 == ■１　双曲線の方程式の標準形

※　双曲線の方程式は，中学校で反比例のグラフ

y=

において登場するが，そこでは直角双曲線だけを扱った．以下においては，必ずしも漸近線が直角に交わらない一般の場合を扱う．
※　中学校で習う反比例のグラフ

■　c>a>0 , b>0 のとき，方程式

−=1　…(1)

で表わされる曲線は，図１のような双曲線になる．

図１

○　以下の考え方において，三平方の定理（ピタゴラスの定理）を用いて「 a , b から c を求める」「 a , c から b を求める」計算がつねに登場し，この図が鍵となる．（図の意味は，■2で述べる．）

○　(1)を双曲線の方程式の標準形という．
○　この曲線は「２定点 F( , 0) , F’(− , 0) からの距離の差が一定 2a である点の軌跡」となっている．（解説は次の項目↓）
○　２点 F( , 0) , F’(− , 0) を双曲線の焦点という．
○　点 A(a , 0) , A’(−a, 0) を頂点という．
○　２つの焦点の中点を双曲線の中心という．(1)の双曲線の中心は原点 O( 0 , 0 ) にある．
○　(1)の双曲線は x 軸，y 軸，中心に関して対称となっている．
○　x が限りなく大きくなるとき，双曲線は

直線 y=±x

に限りなく近づく．この直線を双曲線の漸近線という．漸近線は２つある．
（漸近線の方程式は(1)の右辺を 0 に変えて，左辺を因数分解したものになっている．

−=0

←→(+)(−)=0

←→y=−x , y=x

■
−=−1

は，図２のような双曲線になる．

図２

このとき，焦点は y 軸上にあり，焦点の座標は
F(0 , ) , F’(0 , − )
また，主軸は y軸上にあり，頂点の座標は B(0 , b) , B’( 0 ,−b) になる．

《基本事項のチェック》

−=1 は，図３のような形の双曲線で，

焦点の座標は F(5 , 0) , F’(−5 , 0)，
頂点の座標は (4 , 0) , (−4 , 0)
中心の座標は (0 , 0) である．
双曲線の任意の１点を P とするとき，|FP−F’P|=8 となる．

図３

　問題　

　　→閉じる←
(1)

a=1 , b=2 だから，c= =
頂点は x 軸上にあり，(±1 , 0)
焦点は x 軸上にあり，(± , 0)
漸近線の方程式は y=±x=±2x

(2)

a=2 , b= だから，c= =3
頂点は y 軸上にあり，(0 , ± )
焦点は y 軸上にあり，(0 , ±3 )
漸近線の方程式は y=±x=±x

■２　焦点の働きと軌跡

　「２定点からの距離の差が一定の動点の軌跡」が双曲線になる．以下にこれを示す

図４
動点 P の所で２本の糸を輪に通しておき，２本から同じ分量の糸が出てくるようにする．頂点 A においては，F’A−FA=2a が成り立ち，P が動いても差は変らないから，F’P−FP=2a が成り立つ．

※理屈の上ではこの通りであるが，この仕掛けを作って実際に作図するのは難しい．むしろ，下記の図５の方が楽しく作図できる．

　c>a>0 のとき，F’(−c , 0) , F(c , 0)から距離の差が 2a である点 P(x , y) の軌跡の方程式は，次のように求めることができる．
（ただし，F’P > FP のときは右側に曲線ができ，F’P < FP のときは左側に曲線ができるので，曲線は２つでき，双曲線（双子の曲線）となる．これらは，左右対称（y 軸に関して対称）なので，以下は右半分だけ示す．）
F’P−FP=2a
←→ −=2a
←→ =2a+
両辺を２乗する
→ (x+c)2+y2=4a2+4a+(x−c)2+y2
←→ 4cx=4a2+4a
←→ cx−a2=a
両辺を２乗する
→ c2x2−2a2cx+a4=a2{ (x−c)2+y2}
←→ c2x2−2a2cx+a4=a2x2−2a2cx+a2c2+a2y2
←→ (c2−a2)x2−a2y2=a2(c2−a2)

←→ −=1

　そこで，b2=c2−a2 とおくと，三平方の定理（ピタゴラスの定理）により b は図の長さになる．

※FP−F’P=2a から左半分が得られる．

※ (1)において x , y 座標を入替えると，

−=1

−=−1

　（ここに，b2=c2−a2 ）
　a , b の役割を入替えると

−=−1

が図のような双曲線を表わす．

　左の変形において，→の部分は同値関係が崩れている（必要条件だけとなっている）が，これは２乗したためで，変形前の右辺が正であると言えれば，十分条件も成り立つ．
　図より，初めの→は両辺とも正だから←も成り立つ．
　a≦x だから，a2≦ax<cx になり，２つ目の→も←は成り立つ．

《要約》
F(c , 0) , F’(−c , 0)から距離の差が 2a である点 P(x , y) の軌跡の方程式は

−=1　（ここに，b2=c2−a2 ）

《要約》
F(0 , c) , F’(0 ,−c)から距離の差が 2b である点 P(x , y) の軌跡の方程式は

−=−1　（ここに，b2=c2−a2 ）

■３　コンパスで双曲線を描くには
　F(5 , 0) , F’(−5, 0) , A(3 , 0) とすると，FA=2 , F’A=8
F’A−FA=6 となる．
　F , F’ を中心に半径 1, 2, 3, 4, ....の同心円を描いておき，点 A から格子を対角方向にたどっていくと， F’P−FP=8−2=6
F’P−FP=9−3=6
F’P−FP=10−4=6
F’P−FP=11−5=6
･･･だから，２点からの差が一定（6）となり，これらをなめらかに結んでいくと双曲線

−=1
ができる．

図５

■４　自然界にある双曲線

○　[図６]
　（太陽系の中にある惑星などは太陽を１つの焦点とする楕円軌道を描くが）太陽系外から彗星などが高速に近づいて来るときには，双曲線軌道を描き，再び帰ってこない．

図６

○　[図７]
　原子核の近くを正に帯電した高速粒子が通過するとき，原子核と粒子はお互いに正に帯電しているので反発力が働き，粒子の軌道は大きく曲がる．このような場合の粒子の軌道は双曲線になる．（ラザフォード散乱）

図７

■５　漸近線に限りなく近づくことの証明
　標準形で表わされる双曲線は，x 軸，y 軸について対称なので，第１象限について双曲線が漸近線に限りなく近づくことを示せばよい．（他は x ，y の符号を変えれば示される．）
　第１象限において，変数 x に対応するする漸近線上の点の座標を y₁，双曲線上の点の座標を y₂ とおくと，y₁−y₂ が 0 に近づくことを示せばよい．
　　y1=x

また y>0 , x>a のとき，−=1 を y について解くと，
　　y2= だから

　　y1−y2=x−=(x−)

===

x → ∞ のとき，分母 → ∞ だから，(y1−y2)=0 が示される．

　問題　
(1)

→閉じる←
　ここでは上の《要約》の結果を利用する．
(1)　 c=7 , a=5 だから b2=c2−a2=24

−=1
(2)
c=4 , b=3 だから a2=16−9=7

−=−1

■６　原点と異なる点に中心がある双曲線

−=1　…(2)

　は，双曲線
−=1　…(1)

を x 軸の正の向きに p，y 軸の正の向きに q だけ平行移動した双曲線になる．
○　頂点の座標は (a+p , q) , (−a+p , q)
○　焦点の座標は
F(+p , q) , F’(−+p , q)

○　漸近線の方程式は y−q=±(x−p)

　【解説】
　　(1)の双曲線上の点を (X , Y ) とおくと，

−=1 …(A)

x=X+p …(B)
y=Y+q …(C)　が成り立つ．
　(B)(C)より，X=x−p , Y=y−q を(A)に代入すると，

　−=1　…(2)　となる．

《初歩的な注意》
x 軸の正の向きに p，y 軸の正の向きに q だけ平行移動しているときに，
−=1

になるので，見かけの符号と逆になる点に注意．

−=1

ならば，x 軸の負の向きに p，y 軸の負の向きに q だけ平行移動したものとなる．
　これは，x=X+p , y=Y+q ←→ X=x−p , Y=y−q の関係による．

−=1

のように移動前後の座標を重ねてみると，移動前の座標 X , Y についての関係式が浮かび上がる．このとき，移動前の座標は X=x−p , Y=y−q のように引き算で表わされている．

例題
x2−y2−4x−6y−6=0 の概形を描き，頂点の座標，焦点の座標，漸近線の方程式を求めよ．

答案
次のように変形する．
x2−4x+4　- (y2+6y+9)=1
(x−2)2−(y+3)2=1
(x−2)2−(y+3)2=1

対応する標準形は x2−y2=1
　　a=1 , b=1 → c=
　　頂点は (1 , 0) , (−1 , 0)
　　焦点は ( , 0) , (− , 0)
　　漸近線の方程式は y=x , y=−x

これらを x 軸の正の方向に 2 , y 軸の正の方向に −3 だけ平行移動すると，
　　頂点は (3 ,−3) , (1 ,−3)
　　焦点は (2+ ,−3) , (2− ,−3)
　　漸近線の方程式は
　　y=(x−2)−3=x−5
　　y=−(x−2)−3=−x−1

　問題　
(1)
　双曲線 −=1 を x 軸方向に −3，y 軸方向に 4 だけ

平行移動してできる曲線の方程式，頂点の座標，焦点の座標，漸近線の方程式を求めよ．

→閉じる←
(1)

移動後の方程式は

−=1

a=4 , b=3 だから
c=　=5
移動前　→　移動後
頂点
　　(4,0)→(1,4)
　　(- 4,0)→(−7,4)
焦点
　　(5,0)→(2,4)
　　(- 5,0)→(−8,4)
漸近線
　　y=x → y=(x+3)+4=x+

　　y=−x → y=−(x+3)+4=−x+
(2)

4x2+8x+4−(y2−2y+1)=−4
4(x+1)2−(y−1)2=−4
(x+1)2−=−1 と変形する．

a=1 , b=2 → c= =
移動前　→　移動後
頂点
　　(0,2)→(- 1,3)
　　(0,−2)→(−1,−1)

焦点
　　(0,)→(−1,1+)
　　(0,−)→(−1,1−)
漸近線
　　y=2x → y=2(x+1)+1=2x+3
　　y=−2x → y=- 2(x+1)+1=−2x−1

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線の方程式について／17.8.27］

中学校で習う直角双曲線ｘｙ＝ａは、一般的双曲線x2／a2－y2／b2=1の特殊解として導くことはできるのでしょうか？教えて下さい。

＝＞［作者］：連絡ありがとう．

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ …(A)の $a,b$ に特定の値を与えると， $xy=a$ …(B)の形になるかという問いでしたら，そうではないということになります．
これに対して， $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ のグラフを適当に回転すれば $xy=a$ になるかという問いでしたら，そうですということになります．
そもそも，中学校で習う直角双曲線 $xy=a$ は「２つの漸近線が直角（ $x=0,y=0$ ）」かつ「焦点が座標軸から45°回転した場所にある」ものです．これに対して，高校で習う双曲線の標準形では「２つの漸近線（ $y=\pm\frac{b}{a}x$ ）は様々な角度になる」かつ「焦点は座標軸上にある」ものです．そこで， $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ …(A)のうちで，直角双曲線のもの（ $a=b$ ）で，かつ，原点から図の緑で示した点までの距離を $\sqrt{2}a$ とすると標準形での方程式は $\frac{x^2}{2a^2}-\frac{y^2}{2a^2}=1$ すなわち $x^2-y^2=2a^2$ …(1)
このグラフ（旧グラフ）上の点の座標を $(X,Y)$ ，原点の周りに45°回転してできるグラフ（新グラフ）上の点の座標を $(x,y)$ とおくと $\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ}\\ \sin45^{\circ} & \cos 45^{\circ}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}$ すなわち $\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ} & \sin 45^{\circ}\\ sin45^{\circ} & \cos 45^{\circ}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
この変換式を(1)に代入して旧座標を消去すると新座標の関係式 $xy=a$ …(B)になります．