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== 極方程式2 ==
【極方程式とは】
　極座標(r, θ)を使って，曲線のグラフを
r=f(θ)
θ=g(r)
F(r, θ)=0
などの形で表したものを極方程式といいます．

【例１】
アルキメデスの渦巻線（アルキメデスの螺旋）
r=aθ（a>0, θ≧0）
（次のグラフは，a=1の場合，すなわちr=θのグラフです．）

（曲線の特徴）
　この曲線は，θ≧0となるθの値に対して無限に成長していきます．特に，一周すると（θ=+2π）以前の周回のときとは異なる点を通りますので，θ=0, θ=2π, θ=4π, ...はそれぞれ異なる点となり，渦巻きのように成長します．
（手書きで概形［だいたいの形］を描く方法）
(1)　主な点の(r, θ)座標を計算して，点を描きます．
θ=0のときr=0
θ=.π2nのときr=.π2n
θ=πのときr=π
θ=.3π2nnのときr=.3π2nn
θ=2πのときr=2π
(2)　なるべく滑らかに点を結びます．（θ=.π6n, .π4n, .π3nなどと細かく分ければ，さらに滑らかに描けます．）
（Excelを使って，コンピュータでこのグラフを描く方法）

※　コンピュータでグラフを描くときの考え方のポイント
○　コンピュータの画面上では，無限に細かく点や線が描けるのではなく，それぞれの画面の解像度に応じて描ける点の数は決まっています．（横1600×縦900など）
　したがって，画面上に数学的に厳密に正確な曲線を描くことは，もともとできません．画面に描けるのは，点や折れ線です．
　そこで，例えば，θ=0からθ=3π=9.43...までの部分を描くとき，θの値として0.1ずつ増やして「折れ線をつなげば」十分正確な「曲線」が描けます．0から9.5までを0.1ずつ増やしていくには，96行のデータを用意すればよいことになります．（表題分が+１行あります）
○　Excelで用意されているグラフツールは(x, y)座標向けですので，極座標(r, θ)で求めた点を直交座標(x, y)に計算し直します．
○　*** ここがポイント ***
　数学的に厳密に正確な曲線の代わりに「折れ線」で代用するといっても，グラフツールのメニューで「折れ線」を選ぶのではなく「散布図」を選ぶことが重要です．･･･「折れ線グラフ」は，データとしてy座標だけ（１次元）が与えられたときに（xの増分が１ずつに決まっているときに）グラフを描くものです．これに対して，x座標もy座標も（２次元に）指定して点を打つときは「散布図」を選びます．
　散布図は上の左側の例のように(x,y)座標に応じた点を表示するものですが，オプションとしてテータポイントを線でつなぐことが選べるようになっています．（どの点からどの点に線を引くのかは，元のデータで並び方によります．元のデータで１番目になる点から２番目の点へ，２番目の点から３番目の点へ，...と線が引かれます．）
　このときに，「点」を目立たないように，「線」だけを生かしたいとき「データポイントを平滑線でつないだマーカーなしの散布図」を選びます．

A B C D
1 θ r x y
2 0 0 0 0
3 0.1 0.1 0.100 0.010
4 0.2 0.2 0.196 0.040
5 0.3 0.3 0.287 0.089
... ... ... ... ...
(1)　図のように，θ, r, x, yというタイトル［表題］を付けます．（なくてもグラフは描けますが，自分自身が間違わないようにするために，表題がある方がよい）
(2)　セルA2にθの初期値0を書き込み，A2からA97まで選択・反転表示させて，「編集メニュー」の「フィル→連続データの作成→増分値0.1」とすると，θの欄が埋まります．
(3)　この例ではr=θのグラフを描きたいので，セルB2に=A2と書きこみます．
(4)　直交座標に直す公式はx=r cosθ, y=r sinθなので，セルC2に=B2*cos(A2)，セルD2に=B2*sin(A2)と書き込み，セルB2～D2の３列を選択・反転表示させて，コピーし，セルB3からセルB97に貼り付けると，相対参照によりすべてのデータが準備できます．
(5) *** ここがポイント ***
　タイトル［表題］を除く(x,y)座標C2～D97までを選択・反転表示させ，グラフツールを使って「散布図」の「データポイントを平滑線でつないだマーカーなしの散布図」を選びます．

【例２】
カージオイド（心臓形）
r=a(1+cosθ)（a>0）
（次のグラフは，a=1の場合，すなわちr=1+cosθのグラフです．）

（曲線の特徴）
　cos(θ+2nπ)=cosθなので，１周すれば元に戻り，同じ曲線上をたどります．したがって，0≦θ<2πの値に対してグラフを描けば全部描けます．
　また，cos(−θ)=cosθだから（右に回っても左に回ってもrが等しくなるので）グラフは上下対称になります．（cos(π−θ)=cos(π+θ)だから上下対称だと考えてもよい．）
（手書きで概形［だいたいの形］を描く方法）
(1)　主な点の(r, θ)座標を計算して，点を描きます．
θ=0のときr=2
θ=.π6nのときr=1+..√3√ni2nn=1.87...
θ=.π4nのときr=1+..√2√ni2nn=1.70...
θ=.π3nのときr=1+.12n=1.5
θ=.π2nのときr=1
θ=.2π3nnのときr=1−.12n=0.5
θ=.3π4nnのときr=1−..√2√ni2nn=0.29...
θ=.5π6nnのときr=1−..√3√ni2nn=0.13...
θ=πのときr=0
(2)　なるべく滑らかに点を結び，π≦θ<2πについては上下対称に描きます．

（Excelを使って，コンピュータでこのグラフを描く方法）

【例１】と同様の考え方で，極座標(r, θ)で求めた点を直交座標(x, y)に計算し直し，「データポイントを平滑線でつないだマーカーなしの散布図」を選べばグラフが描けます．
(1)　0≦θ<2π=6.28...まで（0.1ずつ増加させるときは64個）の値を準備すればよい．
(2)　r=1+cosθだから，セルB2に=1+cos(A2)と記入し，これをコピーしてB65まで（式を）貼り付けるとよい．
(3)　x=r cosθ, y=r sinθとすることは【例１】と同じ．

【例３】
レムニスケイト（連珠形，双眼形）
r2=2a2cos2θ（a>0, cos2θ≧0）
⇔ r=a.√2cos2θ√nnnnnni（a>0, cos2θ≧0）
（次のグラフは，a=1の場合，すなわちr=.√2cos2θ√nnnnnniのグラフです．）

（曲線の特徴）
　cos2(−θ)=cos2θなので，上下対称です．
　また，cos2(.π2n−θ)=cos(π−2θ)=−cos2θ
　　　　cos2(.π2n+θ)=cos(π+2θ)=−cos2θ
だから，cos2(.π2n−θ)=cos2(.π2n+θ)になり，左右対称です．
　したがって，0≦θ≦.π2nの値に対してグラフを描いて，上下左右対称に折り返すと全部描けます．
　この範囲のうちで，0≦θ≦.π4nのときは，cos2θ≧0となり関数は定義されますが，.π4n<θ<.π2nのときは，cos2θ<0となり関数は定義されません．
（手書きで概形［だいたいの形］を描く方法）
(1)　主な点の(r, θ)座標を計算して，点を描きます．
θ=0のときr=.√2cos0√nnnnni=.√2√ni≒1.41
θ=.π6nのときr=.√2cos.π3n√nnnnni=1
θ=.π4nのときr=.√2cos.π2n√nnnnni=0
(2)　なるべく滑らかに点を結び，上下左右対称に折り返します．

（Excelを使って，コンピュータでこのグラフを描く方法）

【例１】と同様の考え方で，極座標(r, θ)で求めた点を直交座標(x, y)に計算し直し，「データポイントを平滑線でつないだマーカーなしの散布図」を選べばグラフが描けます．
(1)　cos2θ≧0のときだけ，r=.√2cos2θ√nnnnnniだから，セルB2に=IF(cos(2*A2)>=0, SQRT(2*cos(2*A2)))と記入し，これをコピーして（式を）貼り付けるとよい．
(3)　x=r cosθ, y=r sinθとすることは【例１】と同じ．

※高校生が以下の結果を「覚える」必要はないでしょう．なんとなくパラパラと見ておいて，「作り方がわかる」，「だいたいの規則性がわかる」というくらいのことでよいと思います．
【例４】 正葉線（正葉曲線，バラ曲線）…日本では木の葉に見え，西洋ではバラの花びらに見えるということらしい．
（以下については，a=1の場合について，グラフの概形のみ示します．）
(1)r=a cosθ（a>0）…１枚の葉：円になります．

(2)r=a cos(3θ)（a>0）…３枚の葉になります．

(3)r=a cos(5θ)（a>0）…５枚の葉になります．
⇒ 一般に，r=a cos(nθ)（a>0, nは奇数）は，ｎ枚の葉になります．

(4)r=a cos(2θ)（a>0）…４枚の葉になります．（２枚ではありません）

(5)r=a cos(4θ)（a>0）…８枚の葉になります．（４枚ではありません．）

(6)r=a cos(6θ)（a>0）…12枚の葉になります．
⇒ 一般に，r=a cos(nθ)（a>0, nは偶数）は，２ｎ枚の葉になります．
(1)r=a sinθ（a>0）…１枚の葉：円になります．
a sinθ=a cos(.π2n−θ)=a cos(θ−.π2n)だから，左のグラフを+.π2nだけ回転したものになります．

(2)r=a sin(3θ)（a>0）…３枚の葉になります．
a sin(3θ)=a cos(.π2n−3θ)=a cos(3θ−.π2n)=a cos(3(θ−.π6n))だから，左のグラフを+.π6nだけ回転したものになります．

(3)r=a sin(5θ)（a>0）…５枚の葉になります．
a sin(5θ)=a cos(.π2n−5θ)=a cos(5θ−.π2n)=a cos(5(θ−.π10nn))だから，左のグラフを+.π10nnだけ回転したものになります．
⇒ 一般に，r=a sin(nθ)（a>0, nは奇数）は，ｎ枚の葉になります．

(4)r=a sin(2θ)（a>0）…４枚の葉になります．
a sin(2θ)=a cos(.π2n−2θ)=a cos(2θ−.π2n)=a cos(2(θ−.π4n))だから，左のグラフを+.π4nだけ回転したものになります．

(5)r=a sin(4θ)（a>0）…８枚の葉になります．
a sin(4θ)=a cos(.π2n−4θ)=a cos(4θ−.π2n)=a cos(4(θ−.π8n))だから，左のグラフを+.π8nだけ回転したものになります．

(6)r=a sin(6θ)（a>0）…12枚の葉になります．
a sin(6θ)=a cos(.π2n−6θ)=a cos(6θ−.π2n)=a cos(6(θ−.π12nn))だから，左のグラフを+.π12nnだけ回転したものになります．
⇒ 一般に，r=a sin(nθ)（a>0, nは偶数）は，２ｎ枚の葉になります．

【問題】次の極方程式に対応するグラフを下から選んでください．
○はじめに極方程式を選び，続いてグラフを選んでください．
○間違ったときは，極方程式を選び直してください．
○間違った後にHELPで表示されるのは方程式に対する解説です．






r=θ(θ≧0)



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