２次曲線と直線

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遶奇ｿｽ陷ｷ�ｽ(2)

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== 傾きや曲線外の１点が与えられたときの接線の方程式 ==

(1) 楕円

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

の接線のうちで，傾きがmに等しい接線の方程式は

y = m x \pm \sqrt{a^{2} m^{2} + b^{2}}

･･･(1)
(2) 双曲線

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

の接線のうちで，傾きがmに等しい接線の方程式は

y = m x \pm \sqrt{a^{2} m^{2} - b^{2}}

･･･(2a)

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1

の接線のうちで，傾きがmに等しい接線の方程式は

y = m x \pm \sqrt{b^{2} - a^{2} m^{2}}

･･･(2b)
(3) 放物線

y^{2} = 4 p x

の接線のうちで，傾きがm (≠0)に等しい接線の方程式は

y = m x + \frac{p}{m}

･･･(3)

（証明）

(1)←
求める接線の方程式を

y = m x + k

とおき，連立方程式

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

･･･(1)

y = m x + k

･･･(2)
がx座標について重解をもつように，判別式についてD=0となる条件を求めるとよい．
(2)を(1)に代入すると

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{(m x + k)^{2}}{b^{2}} = 1

b^{2} x^{2} + a^{2} (m^{2} x^{2} + 2 m k x + k^{2}) = a^{2} b^{2}

(a^{2} m^{2} + b^{2}) x^{2} + 2 a^{2} m k x + a^{2} k^{2} - a^{2} b^{2} = 0

D^{'} = a^{4} m^{2} k^{2} - (a^{2} m^{2} + b^{2}) (a^{2} k^{2} - a^{2} b^{2})

= a^{4} m^{2} k^{2} - a^{4} m^{2} k^{2} + a^{4} m^{2} b^{2} - a^{2} b^{2} k^{2} + a^{2} b^{4}

= a^{2} b^{2} (a^{2} m^{2} - k^{2} + b^{2}) = 0

ここで

a^{2} b^{2} \neq 0

だから

k^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}

k = \pm \sqrt{a^{2} m^{2} + b^{2}}

･･･(1)　証明終_∎

(2a)←
求める接線の方程式を

y = m x + k

とおき，連立方程式

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

･･･(3)

y = m x + k

･･･(4)
がx座標について重解をもつように，判別式についてD=0となる条件を求めるとよい．
(4)を(3)に代入すると

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{(m x + k)^{2}}{b^{2}} = 1

b^{2} x^{2} - a^{2} (m^{2} x^{2} + 2 m k x + k^{2}) = a^{2} b^{2}

(a^{2} m^{2} - b^{2}) x^{2} + 2 a^{2} m k x + a^{2} b^{2} + a^{2} k^{2} = 0

ここで，

a^{2} m^{2} - b^{2} = 0

のときは，

x

の１次方程式となって，重解をもたなくなるから，

a^{2} m^{2} - b^{2} \neq 0

の場合を考える．

D^{'} = a^{4} m^{2} k^{2} - (a^{2} m^{2} - b^{2}) (a^{2} b^{2} + a^{2} k^{2})

= a^{4} m^{2} k^{2} - a^{4} m^{2} b^{2} - a^{4} m^{2} k^{2} + a^{2} b^{4} + a^{2} b^{2} k^{2}

= a^{2} b^{2} (- a^{2} m^{2} + b^{2} + k^{2}) = 0

ここで

a^{2} b^{2} \neq 0

だから

k^{2} = a^{2} m^{2} - b^{2}

k = \pm \sqrt{a^{2} m^{2} - b^{2}}

･･･(2a)　証明終_∎

ここで，

a^{2} m^{2} - b^{2} < 0

のときは，

k

が実数でなくなるから，

a^{2} m^{2} - b^{2} > 0

が条件となる．すなわち，

∣ m ∣>∣ \frac{b}{a} ∣

の場合だけ接線が求まる．

(2b)も，同様にして証明できる．

(3)←
求める接線の方程式を

y = m x + k

とおき，連立方程式

y^{2} = 4 p x

･･･(5)

y = m x + k

･･･(6)
がx座標について重解をもつように，判別式についてD=0となる条件を求めるとよい．
(6)を(5)に代入すると

(m x + k)^{2} = 4 p x

m^{2} x^{2} + 2 (m k - 2 p) x + k^{2} = 0

D^{'} = (m k - 2 p)^{2} - m^{2} k^{2} = - 4 p (m k - p) = 0

ここで

m, p \neq 0

だから

k = \frac{p}{m}

･･･(3)証明終_∎

【例題1.1】

　楕円

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

の接線で傾きが2に等しいものの方程式を求めてください．

（解答）
公式(1)に

a = 2, b = 3, m = 2

を代入すると

y = 2 x \pm 5

･･･（答）
※公式を覚えていなくても，判別式を使って自分で計算すれば数分でできる．

【例題1.2】

　楕円

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1

の互いに垂直な２つの接線の交点の軌跡を求めてください．

（解答）

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1

の傾きmの接線の方程式を

y = m x + k

とおくと，(1)の公式により

y = m x \pm \sqrt{9 m^{2} + 16}

･･･①
が成り立つ．①を満たす２つのmの値を，m1, m2とすると，m1, m2は，mに関する２次方程式

(y - m x)^{2} = 9 m^{2} + 16

の２つの解になる．

(x^{2} - 9) m^{2} - 2 x y m + (y^{2} - 16) = 0

･･･②
②式が異なる２つの実数解m1, m2をもつとき，解と係数の関係から
ア）座標軸に平行な接線があるときは，接線の方程式は，

x = \pm 3, y = \pm 4

で，交点の座標は

(\pm 3, \pm 4)

イ）座標軸に平行な接線ではないとき，交点のx座標はx≠±3

m_{1} m_{2} = \frac{y^{2} - 16}{x^{2} - 9} = - 1

y^{2} - 16 = - x^{2} + 9

x^{2} + y^{2} = 9 + 16 = 25

ア）はイ）の円上のx=±3となる除外点を埋めているから，結局，

x^{2} + y^{2} = 25

の円全体が軌跡になる．･･･（答）

【例題1.3】

　楕円

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

と傾き2の直線が異なる２点で交わるとき，２交点の中点の軌跡を求めてください．

（解答）
　連立方程式

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

･･･(1)

y = 2 x + k

･･･(2)
が異なる２つの実数解をもつように，交点のx座標の判別式についてD>0とする．
　(2)を(1)に代入すると

\frac{x^{2}}{4} + \frac{(2 x + k)^{2}}{9} = 1

9 x^{2} + 4 (2 x + k)^{2} = 36

25 x^{2} + 16 k x + (4 k^{2} - 36) = 0

･･･(3)

D^{'} = (8 k)^{2} - 25 (4 k^{2} - 36)

= 36 (25 - k^{2}) > 0

　異なる２点で交わるのは

- 5 < k < 5

･･･(4)のとき
　このとき，２交点の座標を

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})

，その中点の座標を

(x, y)

とおくと，(3)の解と係数の関係から

x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = - \frac{8}{25} k

･･･(5)

y = 2 x + k = - \frac{16}{25} k + k = \frac{9}{25} k

･･･(6)
(5)(6)から求める軌跡の方程式は

y = - \frac{9}{8} x

ただし，(4)から，

- \frac{8}{5} < x < \frac{8}{5}

の範囲･･･（答）

【例題1.4】

　点(3, 4)から楕円

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

に引いた接線の方程式を求めてください．

（解答）
　接点(3, 0)で接する接線x=3は題意に適する．
　x軸に垂直でない接線の方程式を，(1)を使って，

y = m x \pm \sqrt{9 m^{2} + 4}

とおくと，この直線が点(3, 4)を通るには

4 = 3 m \pm \sqrt{9 m^{2} + 4}

(4 - 3 m)^{2} = 9 m^{2} + 4

16 - 24 m + 9 m^{2} = 9 m^{2} + 4

- 12 m = - 12

m = \frac{1}{2}

求める接線の方程式は

y = \frac{1}{2} x \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \frac{1}{2} x \pm \sqrt{\frac{25}{4}}

= \frac{1}{2} x \pm \frac{5}{2}

　これらのうちで，

y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}

は点(3, 4)を通るが，

y = \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}

は点(3, 4)を通らない．

x = 3, y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}

･･･（答）

【例題1.5】

　楕円

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

上の１点から，直線y=2x+6に降ろした垂線の長さの最小値を求めてください．

（解答）
傾き2で楕円

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

に接する接線の方程式を

y = 2 x \pm \sqrt{2^{2} \times 2^{2} + 9} = 2 x \pm 5

とおく．この直線上の適当な点，例えば(0, 5), (0, −5)と直線y=2x+6 ⇔ 2x−y+6=0の距離を，公式

\frac{| a x_{1} + b y_{1} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

のよって求めると

\frac{| 0 - 5 + 6 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}

\frac{| 0 + 5 + 6 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \frac{11}{\sqrt{5}}

となるから，最小値は

\frac{1}{\sqrt{5}}

･･･（答）

【例題2.1】

　双曲線

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1

の接線で傾きが2に等しいものの方程式を求めてください．

（解答）
公式(2a)を使うと

y = 2 x \pm \sqrt{2^{2} \times 2^{2} - 3^{2}} = 2 x \pm \sqrt{7}

･･･（答）

【例題2.2】

　双曲線

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1

と直線y=2x+kが共有点をもつような定数kの値の範囲を求めてください．

（解答）
　連立方程式

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1

･･･(1)

y = 2 x + k

･･･(2)
が実数解をもつように，判別式を用いてkの値の範囲を求める．
　(2)を(1)に代入すると

\frac{x^{2}}{4} - \frac{(2 x + k)^{2}}{9} = 1

9 x^{2} - 4 (2 x + k)^{2} = 36

7 x^{2} + 16 k x + (4 k^{2} + 36) = 0

･･･(3)

D^{'} = (8 k)^{2} - 7 (4 k^{2} + 36)

= 36 (k^{2} - 7) ≧ 0

k^{2} - 7 ≧ 0

k ≦ - \sqrt{7}

または

k ≧ \sqrt{7}

･･･（答）

【例題2.3】

　点(2, 4)から双曲線

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1

に引いた接線の方程式を求めてください．

（解答）
　まず，x軸に垂直な直線x=2が接線であることが明らか．
　それ以外のy=mx+kの形の接線は，公式(2a)から

y = m x \pm \sqrt{4 m^{2} - 9}

m ≦ - \frac{3}{2}

または

m ≧ \frac{3}{2}

と書ける．この接線が，点(2, 4)を通るから

4 - 2 m = \pm \sqrt{4 m^{2} - 9}

ア）

m ≧ \frac{3}{2}

かつm≧2，すなわち，m≧2のとき

4 - 2 m = - \sqrt{4 m^{2} - 9} (≦ 0)

の両辺を２乗すると

16 - 16 m + 4 m^{2} = 4 m^{2} - 9

16 m = 25

m = \frac{25}{16} (< 2)

となって，条件を満たさない
イ） (

m ≦ - \frac{3}{2}

または

m ≧ \frac{3}{2}

)かつm<2，すなわち，

m ≦ - \frac{3}{2}

または

\frac{3}{2} ≦ m < 2

のとき

4 - 2 m = \sqrt{4 m^{2} - 9} (> 0)

の両辺を２乗すると

16 - 16 m + 4 m^{2} = 4 m^{2} - 9

16 m = 25

(\frac{3}{2} ≦) m = \frac{25}{16} (< 2)

となって，条件に適する．

y - 4 = \frac{25}{16} (x - 2)

25 x - 16 y + 14 = 0

以上から，

25 x - 16 y + 14 = 0, x = 2

･･･（答）

（別解）
接点の座標を(s, t)とおくと，接線の方程式は

\frac{s x}{4} - \frac{t y}{9} = 1

･･･(1)
この直線が点(2, 4)を通るから

\frac{2 s}{4} - \frac{4 t}{9} = 1

･･･(2)
また，(s, t)は双曲線上にあるから

\frac{s^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{9} = 1

･･･(3)
(2)(3)を連立方程式として解くと［途中経過は各自で確かめてください］

s = 2, t = 0

および

s = - \frac{50}{7}, t = - \frac{72}{7}

これらを(1)に戻すと

25 x - 16 y + 14 = 0, x = 2

･･･（答）

【例題2.4】

　双曲線

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1

上の任意の点Pにおける接線が２つの漸近線と交わる点をQ, Rとするとき，PQ=PRとなることを証明してください．

（解答）
　接点をP(s, t)とおくと，接線の方程式は

\frac{s x}{4} - \frac{t y}{9} = 1

･･･(1)
ただし，接点P(s, t)は双曲線上にあるから

\frac{s^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{9} = 1

･･･(2)

9 s^{2} - 4 t^{2} = 36

(3 s - 2 t) (3 s + 2 t) = 36 (\neq 0)

･･･(2’)
が成り立つ．
　(1)と漸近線の方程式

y = \frac{3}{2} x

･･･(3)

y = - \frac{3}{2} x

･･･(4)
との交点の座標を求める．

(1)(3)から

\frac{s x}{4} - \frac{t y}{9} = 1

･･･(1)

y = \frac{3}{2} x

･･･(3)
(3)を(1)に代入

\frac{s x}{4} - \frac{t}{9} \cdot \frac{3}{2} x = 1

3 s x - 2 t x = 12

x_{1} = \frac{12}{3 s - 2 t}

･･･(5)
･･･ (2’）により分母は0にならない．
これをQのx座標とする．

同様にして，(1)(4)から

\frac{s x}{4} - \frac{t y}{9} = 1

･･･(1)

y = - \frac{3}{2} x

･･･(4)
(4)を(1)に代入

\frac{s x}{4} - \frac{t}{9} \cdot (- \frac{3}{2} x) = 1

3 s x + 2 t x = 12

x_{2} = \frac{12}{3 s + 2 t}

･･･(6)
･･･ (2’）により分母は0にならない．
これをRのx座標とする．

(5)(6)からQ, Rの中点のx座標を求めると

\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{1}{2} (\frac{12}{3 s - 2 t} + \frac{12}{3 s + 2 t})

= \frac{36 s}{9 s^{2} - 4 t^{2}}

ところで，(2’)から

9 s^{2} - 4 t^{2} = 36

だから，結局

\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = s

が成り立つ．直線であるから，Q, Rの中点のx座標がPのx座標に等しければ，y座標についても成り立つ．
　以上により，PQ=PRが成り立つ．･･･証明終■

この問題では，双曲線

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1

について示したが，この性質は一般の双曲線

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

についても示せる．

【例題2.5】

　双曲線

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1

上の1点から直線y=x+1に降ろした垂線の長さの最小値を求めてください．

（解答）
公式(4.2a)により，

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1

の接線のうちで，傾きが1に等しい接線の方程式は

y = x \pm \sqrt{9 - 4} = x \pm \sqrt{5}

（これらは右図の②③に対応する）
右図①に対応する直線y=x+1から②または③までの最短距離を求めるとよいが，②の方が短い．
そこで，y=x+1上の適当な１点，例えば(0, 1)から直線

y = x + \sqrt{5}

までの距離を求めると

\frac{| 0 - 1 + \sqrt{5} |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}

･･･（答）

【例題3.1】

　放物線

y^{2} = 8 x

の接線で傾きが2に等しいものの方程式を求めてください．

（解答）
公式(3)において，p=2, m=2とすると

y = 2 x + 1

･･･（答）

【例題3.2】

　放物線

x^{2} = 8 y

の接線で傾きが2に等しいものの方程式を求めてください．

（解答）
求める接線の方程式を

y = 2 x + k

とおき，連立方程式

x^{2} = 8 y

･･･(1)

y = 2 x + k

･･･(2)
がx座標について重解をもつように，判別式についてD=0となる条件を求めるとよい．
(2)を(1)に代入すると

x^{2} = 8 (2 x + k)

x^{2} - 16 x - 8 k = 0

D^{'} = 64 + 8 k = 0

k = - 8

したがって

y = 2 x - 8

･･･（答）

【例題3.3】

　放物線

y^{2} = 8 x

と傾き2の直線が異なる２点で交わるとき，２交点の中点の軌跡を求めてください．

（解答）
　連立方程式

y^{2} = 8 x

･･･(1)

y = 2 x + k

･･･(2)
が異なる２つの実数解をもつように，判別式を用いてkの値の範囲を求める．
　また，そのとき，解と係数の関係を用いて，２交点の中点の座標を求める．
　(2)を(1)に代入する

(2 x + k)^{2} = 8 x

4 x^{2} + 4 (k - 2) x + k^{2} = 0

･･･(3)
(3)について，判別式が正となる条件は

D^{'} = 2^{2} (k - 2)^{2} - 4 k^{2} = - 16 k + 16 > 0

k < 1

･･･(4)
　また，(3)について，解と係数の関係から，２交点の中点の座標は

x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = - \frac{4 (k - 2)}{8} = - \frac{k - 2}{2}

･･･(5)

y = 2 x + k = 2

　なお，(4)(5)から，

x > \frac{1}{2}

　以上により，

y = 2 (x > \frac{1}{2})

･･･（答）

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