現在地と前後の項目 積の導関数/商,分数関数の導関数/合成関数の導関数/媒介変数表示の導関数/無理関数と分数指数(復習)/無理関数の導関数/陰関数の導関数/重要な極限値(sinx/x)/三角関数の導関数1/三角関数の導関数2/指数,対数関数の導関数/対数微分法/いろいろな関数の導関数/極大値,極小値/漸近線の方程式1/漸近線の方程式2/凹凸と変曲点/増減.極値/凹凸.変曲点/漸近線/グラフ(1)/分数関数の漸近線/グラフ(2)/グラフの概形と漸近線(一覧)/媒介変数表示…接線.法線.速度/媒介変数表示とx,y方向の変化/ このような微分法を対数微分法という. 対数をとると,積は和になり,商は差になり,累乗は積になるので,微分計算が簡単になることを利用したものです. 【函数の積.商になっているものの例】
【例1】
この程度の微分なら暗算でもできますが,結果の分かる簡単な問題を使って,対数微分法には「どんな長所があるのか」「何に気を付けるべきか」を一度は確かめておく必要があります.
となるが,右のグラフから分かるように,−1<x<2の区間で,真数(x+1)(x−2)の符号が負になるから,高校ではこの対数は定義できない.***注意点は,負になる式には対数がとれないということです*** |
そこで,はじめの y=(x+1)(x−2)において「両辺の絶対値の対数をとる」と となって,真数が負になる問題を回避できる. ***長所は,(1)が足し算に変わるということです*** 次に,両辺をxで微分するのであるが,左辺については, さて,ここで最終的に求めたいものは, また, |
(3)の解説 (3)は, となることを,変数をyにして表したものです. これに対して, これら2つのグラフを合わせたものが, となります. 変数を書き換えると, |
以上により,(2)は このようにして,対数微分法によって左辺の
【対数微分法の左辺は,いつでも】
本題に戻って,(1)の両辺をxで微分すると結局 となって,
【対数微分法の要点】
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【例2】
(解答)両辺をxで微分すると ※この問題も,直接微分しようと思えばできる. |
【例3】
(解答)両辺をxで微分すると(例2の結果が使える) |
【例4】
(解答)両辺をxで微分すると |
【問題1】 次の関数を微分してください.(やさしい問題)
(1.1)
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(1.2)
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(1.3)
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(1.4)
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【問題2】 次の関数を微分してください.(難しい問題)
(2.1)
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≪参考≫ 半世紀ほど前に,この問題を大学の先生にあてられたとき,
両辺の対数をとる≪雑学≫ 無量大数 ちなみに,3つの整数(だけ)を使って表せる最も大きな数字は さらに両辺の絶対値の対数をとる( 両辺をxで微分する そこで, 両辺に |
(2.2)
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(2.3)
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その他の類題と解答(力試しにやってみるとよい) |
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