== 積の微分 ==
【積の導関数の公式】
(1) y=fgのとき
y'=f 'g+fg'
(2) y=fghのとき
y'=f 'gh+fg'h+fgh'
（解説）
■積で表される関数y=f(x)g(x)の導関数は，
で定義されます。
■ここで，f(x) , g(x)の導関数の定義
=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x%2B h)-f(x)}{h}) \( \displaystyle f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h} \)
=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x%2B h)-g(x)}{h}) \( \displaystyle g' (x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+ h)-g(x)}{h} \)
に当てはめて，この式をf’(x), g’(x)を用いて表したいとき，
f(x+h)g(x+h)
- f(x)g(x)
の形
では２つの関数が同時に変化しているので，f’やg’に結びつけられません。
次のイメージ図のように，一度に１つの関数だけが変化するように，「つなぎ」の材料を引いて足す(引いて足せば元の式に等しい)という操作をします。
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■図（緑）の経路を考えると，
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)
={ f(x+h)-f(x)}
g(x+h)+f(x) { g(x+h)-g(x)}
となり，h→0の極限移行により，
y=f(x)g(x)について
-f(x)}{h}g(x%2B h)%2B f(x)\frac{g(x%2B h)-g(x)}{h}\Bigr}&chs=370x37) \( \displaystyle y'=\lim_{h \rightarrow 0}\Big\{ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+ f(x)\frac{g(x+ h)-g(x)}{h}\Big\} \)
-f(x)}{h}g(x%2B h)) \( \displaystyle =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+ h)-f(x)}{h}g(x+ h) \)
\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x%2B h)-g(x)}{h}) \( \displaystyle +f(x)\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \)
ここで
-f(x)}{h}=f\apos (x)) \( \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+ h)-f(x)}{h}=f'(x) \)
=g(x)) \( \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} g(x+h)=g(x) \)
-g(x)}{h}=g\apos (x)) \( \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x) \)
だから，次の公式が得られます．
g(x)%2B f(x)g\apos (x)&chco=0000ff) \( \displaystyle y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \)
■青の経路から行けば，分子は
f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)
=f(x+h){
g(x+h)-g(x)
}
+ { f(x+h)-f(x)
} g(x)
となり，ｈ→0の極限移行により，同様にして次の公式が得られます．
\( \displaystyle y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \)
■３つ以上の関数の積になっているときは，２つのときの公式を繰り返し適用すればできます。
y = f(x)g(x)h(x)のとき→見やすくするためにy=fghと書くと
y'=(fg)'h+(fg)h'
上の公式により (fg)'=f 'g+fg 'だから
y'=(f 'g+fg ')h+(fg)h'
したがって
y'=f 'gh+fg 'h+fgh'
「こぶ」を１つずつ付けたものになります
なお，このh(x)は  のｈとは関係ありません
【積の導関数の公式】（まとめ）
(1) y=fgのとき
y'=f 'g+fg'
(2) y=fghのとき
y'=f 'gh+fg'h+fgh'
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