→ 携帯版は別頁

（参考）
半径１の円（単位円）上の動点P(x,y)を考えると
y=sint
x=cost

角度がtからdtだけ増えたとき 右図の茶色で示した点から接線に沿って（弧の長さ≒斜辺の長さ）dtの直角三角形を描くと
緑で示した角が平行線の錯角で等しいから，この直角三角形の１つの角はtになる

(1) \( \displaystyle \frac{dy}{dt}=\cos t \)　したがって　y=sint → y'=cost

(2) 次に，図のようにtが第１象限の角の場合，tが増えるとxは減少する．そこでdxの符号は負になる．

\( \displaystyle \frac{dx}{dt}=-\sin t \)　したがって　x=cost → x'=−sint
※この図は，第１象限の場合しか示せていないので，証明としてはやはり上に示した極限値を使った式で行う方がよい．

○初めに問題を選び，次に選択肢を選びなさい。正しければ消えます。
○正誤いずれの場合も，解説を読むとができます．解説を読む場合でも読まない場合でも，新たに問題を選べば解答を再開できます．

\( \displaystyle y=\cos u \)
\( \displaystyle u=3x+2 \)とおくと

\( \displaystyle \frac{dy}{du}=-\sin u \)
\( \displaystyle \frac{du}{dx}=3 \)
\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=-\sin u\times 3=-3\sin(3x+ 2) \)
\( \displaystyle y=\sin u \)
\( \displaystyle u=3x+ 2 \)とおくと

\( \displaystyle \frac{dy}{du}=\cos u \)
\( \displaystyle \frac{du}{dx}=3 \)
\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\cos u\times 3=3\cos(3x+2) \)
\( \displaystyle y=\frac{1}{u}=u^{-1} \)
\( \displaystyle u=\sin x \)とおくと

\( \displaystyle \frac{dy}{du}=-u^{-2}=\frac{-1}{u^2} \)
\( \displaystyle \frac{du}{dx}=\cos x \)
\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{-1}{u^2}\times \cos x=\frac{-\cos x}{\sin^2 x} \)
\( \displaystyle y=\frac{1}{1-u} \)
\( \displaystyle u=\tan x \)とおくと

\( \displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{1}{(1-u)^2} \)
または\( \displaystyle y=-\frac{1}{u-1}=-(u-1)^{-1} \)
\( \displaystyle \frac{dy}{du}=-1\times(-1)(u-1)^{-2}=\frac{1}{(u-1)^2} \)
\( \displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{1}{\cos ^2 x} \)
\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{(1-u)^2}\times \frac{1}{\cos ^2 x}=\frac{1}{(1-\tan x)^2}\times \frac{1}{\cos ^2 x} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{\Big\{(1-\tan x)\cos x\Big\}^2}=\frac{1}{(\cos x-\sin x)^2} \)
\( \displaystyle y=u^4 \)
\( \displaystyle u=\sin x \)とおくと

\( \displaystyle \frac{dy}{du}=4u^3 \)
\( \displaystyle \frac{dy}{du}=4u^3 \)
\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=4u^3\times \cos x=4\sin ^3 x\cos x \)
\( \displaystyle y=u^3 \)
\( \displaystyle u=\cos 2x \)とおくと

\( \displaystyle \frac{dy}{du}=3u^2 \)
\( \displaystyle \frac{du}{dx}=-\sin 2x\times 2 \)
\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=3u^2\times (-2\sin 2x)=-6\cos ^2 2x\sin 2x \)
\( \displaystyle y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}} \)
\( \displaystyle u=1+\sin x \)とおくと

\( \displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}} \)
\( \displaystyle \frac{du}{dx}=\cos x \)
\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\times \cos x=\frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}} \)
１つ前の問題の結果を利用すると
\( \displaystyle (\sqrt{1+ \sin x})'=\frac{\cos x}{2\sqrt{1+ \sin x}} \)
次に,積の微分法を用いると
\( \displaystyle y'=(x)' \sqrt{1+ \sin x}+ x(\sqrt{1+ \sin x})' \)
\( \displaystyle =\sqrt{1+ \sin x}+ x\times \frac{\cos x}{2\sqrt{1+ \sin x}}=\frac{2(1+ \sin x)+ x\cos x}{2\sqrt{1+ \sin x}} \)

拝見していて疑問がありました。 最後の問題の中で、 y=1/(1-tanx)を求める時、 y=1/(1-u)とおいて、 dy/du=1/(1-u)^2とされてるところで、 dy/duは分子が-1ではないでしょうか。 y=1/(1-u)=(1-u)^-1なので。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違いはないのですが，誤解を招きやすい表現がありましたので（←おい！）詳しく説明しました．