無理関数の導関数

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■無理関数の導関数
※　前提となる事柄
・無理関数の導関数は，高校の数学IIIに登場します。
・「微分する」と「導関数を求める」とは同じ意味です。
・無理関数の導関数は，無理関数及び導関数が定義されるところでのみ考えます。通常√の中が０以上であること，(分母があるときは)分母が0でないことなどが前提ですが，特に断らずそれらの条件を満たしているところでのみ考えます。

［基本］

例題1

の導関数を求めなさい。

［答案例］

※以下の問題で，
「正答の場合に表示される図」⇒

「誤答の場合に表示される図」⇒

----------------
※解答すれば，解説が読めます．解答しなければ，解説は出ません．

［問題1］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

解説
$y=x^{-\frac{4}{3}}\rightarrow y\apos =(-\frac{4}{3})x^{-\frac{4}{3}-1}=-\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}}=-\frac{4}{3}\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$
$=-\frac{4}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x^7}}=-\frac{4}{3x^2\sqrt[3]{x}}$

［累乗根形式］

に直して微分します。解答は累乗根形式に戻します。

例題2
ｙ＝

の導関数を求めなさい。
［答案例］

・・・答

［問題2］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

解説
$y=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{-\frac{1}{2}}$
$\rightarrow y\apos=(-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1}=(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

［合成関数1］
例題3

の導関数を求めなさい。
［答案例1］　　　　合成関数は，「階段を作る」 ・・・安全確実　Step by Step

･･･答

［答案例2］・・・簡単なものは「玉ねぎ，皮むき」

･･･答

［問題3］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

解説
$y=\sqrt[3]{u}=u^{\frac{1}{3}}$
$u=2x$ とおくと

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}$
$\frac{du}{dx}=2$

$\rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}\times 2=\frac{2}{3}\frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{u^2}}$
$=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{(2x)^2}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{4x^2}}$

［合成関数2］
例題4

の導関数を求めなさい。
［答案例］　　　　「階段を作る」でやれば・・

･･･答

例題5

の導関数を求めなさい。
［答案例］　　「玉ねぎ，皮むき」でやれば・・・

･･･答

［問題4］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

解説
$y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$
$u=2x-3$ とおくと

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{du}{dx}=2$

$\rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\times 2=\frac{1}{2}\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{u}}$
$=\frac{1}{\sqrt{2x-3}}$

［問題5］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

解説
$y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$
$u=x^2-2x+ 3$ とおくと

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$
$\frac{du}{dx}=2x-2$

$\rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\times (2x-2)$
$=\frac{1}{2\sqrt{x^2-2x+ 3}}\times (2x-2)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+ 3}}$

［積の微分との組合せ］ 積の微分

例題6

の導関数を求めなさい。
［答案例］　　　　

･･･答

［商の微分との組合せ］
商の微分( ｆは負けて勝つ）　

例題7

の導関数を求めなさい。［答案例］

･･･答　　

※　積や商の数が多いとき（例えば3個以上）は，対数微分法によります。（後出）
例　

［問題6］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

解説
$y=(x+ 1)\sqrt{3x+ 1}=y_1y_2$ とおくと
$y_1=x+ 1\rightarrow y_1\apos =1$
$y_2=\sqrt{3x+ 1}=(3x+ 1)^{\frac{1}{2}}$
$\rightarrow y_2\apos =\frac{1}{2}(3x+ 1)^{-\frac{1}{2}}\times 3=\frac{3}{2\sqrt{3x+ 3}}$
$y\apos=y_1\apos y_2+ y_1y_2\apos =1\times \sqrt{3x+ 1}+ (x+ 1)\frac{3}{2\sqrt{3x+ 1}}$
$=\frac{2(3x+ 1)+ 3(x+ 1)}{2\sqrt{3x+ 1}}=\frac{9x+ 5}{2\sqrt{3x+ 1}}$

［問題7］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

解説
$y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$
$u=\frac{1-x}{1+ x}$ とおくと

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$
$\frac{du}{dx}=\frac{-(1+ x)-(1-x)}{(1+ x)^2}=\frac{-2}{(1+ x)^2}$

$\rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\times \frac{-2}{(1+ x)^2}$
$=\frac{-1}{(1+ x)^2\sqrt{\frac{1-x}{1+ x}}}=\frac{-1}{(1+ x)\sqrt{1+ x}\sqrt{1-x}}$

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