無理関数の導関数

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積の導関数/商,分数関数の導関数/合成関数の導関数/媒介変数表示の導関数/無理関数と分数指数(復習)/無理関数の導関数/陰関数の導関数/重要な極限値(sinx/x)/三角関数の導関数1/三角関数の導関数2/指数，対数関数の導関数/対数微分法/いろいろな関数の導関数/極大値，極小値/漸近線の方程式1/漸近線の方程式2/凹凸と変曲点/増減.極値/凹凸.変曲点/漸近線/グラフ(1)/分数関数の漸近線/グラフ(2)/グラフの概形と漸近線（一覧）/媒介変数表示…接線.法線.速度/媒介変数表示とx,y方向の変化/

■無理関数の導関数
※　前提となる事柄
・無理関数の導関数は，高校の数学IIIに登場します。
・「微分する」と「導関数を求める」とは同じ意味です。
・無理関数の導関数は，無理関数及び導関数が定義されるところでのみ考えます。通常√の中が０以上であること，(分母があるときは)分母が0でないことなどが前提ですが，特に断らずそれらの条件を満たしているところでのみ考えます。

［基本］

例題1

の導関数を求めなさい。

［答案例］

.

※以下の問題で，
「正答の場合に表示される図」⇒

「誤答の場合に表示される図」⇒

----------------
※解答すれば，解説が読めます．解答しなければ，解説は出ません．

［問題1］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

　　

　　

y = x^{- \frac{4}{3}} \to y^{'} = (- \frac{4}{3}) x^{- \frac{4}{3} - 1} = - \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}} = - \frac{4}{3} \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}

= - \frac{4}{3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{7}}} = - \frac{4}{3 x^{2} \sqrt[3]{x}}

.

［累乗根形式］

に直して微分します。解答は累乗根形式に戻します。

例題2
ｙ＝

の導関数を求めなさい。
［答案例］

・・・答

.

［問題2］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

y = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{- \frac{1}{2}}

\to y^{'} = (- \frac{1}{2}) x^{- \frac{1}{2} - 1} = (- \frac{1}{2}) x^{- \frac{3}{2}} = - \frac{1}{2} \times \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{2 x \sqrt{x}}

　　　

　　

　　

　　

.

［合成関数1］
例題3

の導関数を求めなさい。
［答案例1］　　　　合成関数は，「階段を作る」 ・・・安全確実　Step by Step

･･･答

［答案例2］・・・簡単なものは「玉ねぎ，皮むき」

･･･答

.

［問題3］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

y = \sqrt[3]{u} = u^{\frac{1}{3}}

u = 2 x

とおくと

\frac{d y}{d u} = \frac{1}{3} u^{- \frac{2}{3}}

\frac{d u}{d x} = 2

\to \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} = \frac{1}{3} u^{- \frac{2}{3}} \times 2 = \frac{2}{3} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}}

= \frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3]{(2 x)^{2}}} = \frac{2}{3 \sqrt[3]{4 x^{2}}}

　　　

　　

　　

　　

.

［合成関数2］
例題4

の導関数を求めなさい。
［答案例］　　　　「階段を作る」でやれば・・

･･･答

例題5

の導関数を求めなさい。
［答案例］　　「玉ねぎ，皮むき」でやれば・・・

･･･答

.

［問題4］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}

u = 2 x - 3

とおくと

\frac{d y}{d u} = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}

\frac{d u}{d x} = 2

\to \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} \times 2 = \frac{1}{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{u}}

= \frac{1}{\sqrt{2 x - 3}}

　　　

　　

　　

　　

.

［問題5］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}

u = x^{2} - 2 x + 3

とおくと

\frac{d y}{d u} = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{u}}

\frac{d u}{d x} = 2 x - 2

\to \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \times (2 x - 2)

= \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 3}} \times (2 x - 2) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}}

　　　

　　

.

［積の微分との組合せ］ 積の微分

例題6

の導関数を求めなさい。
［答案例］　　　　

･･･答

［商の微分との組合せ］
商の微分( ｆは負けて勝つ）　

例題7

の導関数を求めなさい。［答案例］

･･･答　　

.

※　積や商の数が多いとき（例えば3個以上）は，対数微分法によります。（後出）
例　

［問題6］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

y = (x + 1) \sqrt{3 x + 1} = y_{1} y_{2}

とおくと

y_{1} = x + 1 \to y_{1}^{'} = 1

y_{2} = \sqrt{3 x + 1} = (3 x + 1)^{\frac{1}{2}}

\to y_{2}^{'} = \frac{1}{2} (3 x + 1)^{- \frac{1}{2}} \times 3 = \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 3}}

y^{'} = y_{1}^{'} y_{2} + y_{1} y_{2}^{'} = 1 \times \sqrt{3 x + 1} + (x + 1) \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}}

= \frac{2 (3 x + 1) + 3 (x + 1)}{2 \sqrt{3 x + 1}} = \frac{9 x + 5}{2 \sqrt{3 x + 1}}

　　　

　　

.

［問題7］･････(計算用紙が必要です。)･････

の導関数を求めなさい。

(右から選びなさい。)

y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}

u = \frac{1 - x}{1 + x}

とおくと

\frac{d y}{d u} = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{u}}

\frac{d u}{d x} = \frac{- (1 + x) - (1 - x)}{(1 + x)^{2}} = \frac{- 2}{(1 + x)^{2}}

\to \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \times \frac{- 2}{(1 + x)^{2}}

= \frac{- 1}{(1 + x)^{2} \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} = \frac{- 1}{(1 + x) \sqrt{1 + x} \sqrt{1 - x}}

　　　

　　

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