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高校数学 >> 高校数学Ⅲ>> 微分
== 三角関数の微分 ==
【三角関数の微分公式】
y=sinxy=cosx…(1)
y=cosxy=sinx…(2)
y=tanxy=1cos2x…(3)
y=cotxy=1sin2x…(*4)
(*4)は教科書には出ていない
習う生徒と習わない生徒がいて,よく質問がある記号
cosecx=1sinx…(5)
secx=1cosx…(6)
cotx=1tanx…(7)
【微分法で使う公式】
積の微分法
y=f(x)g(x)y=f(x)g(x)+f(x)g(x)…(8)
商の微分法
y=f(x)g(x)y=f(x)g(x)f(x)g(x){g(x)}2…(9)
合成関数の微分法
dydx=dydtdtdx…(10)
逆関数の微分法
dydx=1dxdy…(11)
(補足)
(5)~(7)については,3文字目の逆数と覚えるとよい
(セカントx) sec x=1/cos x
(コタンジェントx)  cot x=1/tan x
(コセカントx) cosec x=1/sin x
アメリカでは,小文字3字で,csc x=1/sin x
の記号が使われる.⇒ Excel,TEXなどでは cscxを用いる

【例題1】 次の関数を微分してください.
1.1)
y=sin(2x+1)
(解答)
y=sint
t=2x+1とおく
dydx=dydtdtdx←(10)合成関数の微分法を使う
dydt=cost←(1)
dtdx=2←数学Ⅱの公式
により
dydx=cost2
tを元に戻すと
dydx=2cos(2x+1)…(答)
1.2)
y=tan(4x3)
(解答)
y=tant
t=4x3とおく
dydx=dydtdtdx←(10)合成関数の微分法を使う
dydt=1cos2t←(3)
dtdx=4←数学Ⅱの公式
により
dydx=1cos2t4
tを元に戻すと
dydx=4cos2(4x3)…(答)
※(6)を用いて4sec2(4x3)と書いてもよい.

【問題1】 次の関数を微分してください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
y=3cos(4x+5)
(2)
y=4tan(3xπ2)

(3)
y=cos32x
(4)
y=sinxcos2x

【問題2】 次の関数についてdydxを求めてください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
y=1+cosx1cosx
(2)
y=cosx1+sinx

(3)
x=cosy(0<y<π2)
(4)
x=coty

大学入試問題(やさしい方)
【問題3】 次の関数を微分せよ.
(3.1)
y=cosx1sinx
(2014年宮崎大)
解説を読む
(3.2)
y=sin32x
(2011年茨城大)
解説を読む

(3.3)
y=sinx2
(2005年佐賀大)
解説を読む
※次の問題は対数微分法を学んでから行うとよい
(3.4)
y=xcosx(x>0)
(2016年岡山県立大)
解説を読む
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