重要な極限値(1)

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■重要な極限値(1)

■三角関数 y=sinx，y=cosx，y=tanx　などを微分するためには，次の極限値を求めておかなければなりません。

1.この極限値が重要となる理由
2.この極限値

に分けて説明します。

1■この極限値が重要となる理由

⇒ このように，y=sinx を微分するためには

で示した極限値がどうしても必要になります．

※1

※２

⇒ このように，y=cosx を微分するためには

で示した極限値がどうしても必要になります．

⇒ y=tanxの微分はsinx，cosxの結果を用いて商の微分法で求められます。

２■
右のグラフは

のx=0付近の様子を示したものです。
・このグラフはy=±1/xの間を振動します。
・x=0のとき分母が0となるため関数値　f(0)　は存在しませんが極限値は　f(x)→1(ｘ→0)となっています。

■教科書では，もう少していねいに，次のように図を用いて証明するのが普通です。

図１において
△ＯＡＢ＜扇形ＯＡＢ＜△ＯＰＢ
0＜(1/2)１・sinx＜(1/2)１²・ｘ＜(1/2)１・ｔａｎｘ
0＜sinx＜ｘ＜tanx
0＜１＜ｘ/sinx＜1/cosx→1（ｘ→+0のとき）
ゆえに
x/sinx→1（ｘ→+0のとき）
sinx/x→1（ｘ→+0のとき）
ｘ→-0のとき（すなわちｘが負の値をとりながら0に近づくとき）はｘ＝－ｔとおくことにより
sinx/x＝sin(-ｔ)/(-ｔ)=sint/t→1
（ｘ→-0，ｔ→+0のとき）
・・・証明終わり