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現在地と前後の項目 積の導関数/商,分数関数の導関数/合成関数の導関数/媒介変数表示の導関数/無理関数と分数指数(復習)/無理関数の導関数/陰関数の導関数/重要な極限値(sinx/x)/三角関数の導関数1/三角関数の導関数2/指数，対数関数の導関数/対数微分法/いろいろな関数の導関数/極大値，極小値/漸近線の方程式1/漸近線の方程式2/凹凸と変曲点/増減.極値/凹凸.変曲点/漸近線/グラフ(1)/分数関数の漸近線/グラフ(2)/グラフの概形と漸近線（一覧）/媒介変数表示…接線.法線.速度/媒介変数表示とx,y方向の変化/
(1) x, y座標がそれぞれ第３の変数tを用いて
(2) x, yが媒介変数で表される関数tを用いて表されるとき，その導関数（微分）は  dydx=dydtdxdt=g’(t)f’(t)となるので，上記の媒介変数表示(*)についてt=t0のときの ［接線の方程式］は
y−g(t0)=
［法線の方程式］はg’(t0)f’(t0)(x−f(t0))
y−g(t0)=−
(4) 動点P(x, y)の座標が，上記の媒介変数表示(*)で与えられるとき，その速度のx成分vxおよびy成分vyは
f’(t0)g’(t0)(x−f(t0))
→v=(f’(t) , g’(t) )
で求められる．また，加速度→aのx成分axおよびy成分ayは
→a=(f”(t) , g”(t) )
で求められる．【解説】 (2) ← yをxで微分した導関数（微分）  dydxは，単なる分数ではないのでdだけ約分するようなことはできません． しかし，導関数（微分） dydxは，平均変化率ΔyΔxの極限として定義されており， dydx=limΔx→0ΔyΔx平均変化率 ΔyΔxの段階では，普通の分数で，掛け算・割り算や約分などができます．そこで，分母と分子をΔtで割ると ΔyΔx=ΔyΔtΔxΔtこの式において，Δx→0（このとき，同時にΔt→0となる）の極限を考えると limΔx→0 ΔyΔx=limΔt→0ΔyΔtlimΔt→0ΔxΔtとなります．この両辺を微分記号で表すと dydx=dydtdxdt |
(3) ←曲線上の点P(a, b)における微分係数は，導関数 dydx（にそのxの値を代入したもの）で求められるから，点P(a, b)における接線の方程式において 傾きはm= g’(t0)f’(t0)
またx座標はa=f(t0) y座標はb=g(t0) だから，接線の方程式はy−b=m(x−a)にこの値を代入して y−g(t0)= g’(t0)f’(t0)(x−f(t0))で求められます． 
法線は，接線に垂直（直角）な直線で，一般に傾きmの直線に垂直（直角）な直線の傾きm’は
m’=−1mになります．したがって，接線 の傾きm= g’(t0)f’(t0)に垂直な
法線の傾きはm’=−f’(t0)g’(t0)になるので，
点P(a, b)を通り，傾きm’=−f’(t0)g’(t0)の直線の方程式は
y−g(t0)=−f’(t0)g’(t0)(x−f(t0)) |
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問１媒介変数で表された次の関数について，導関数
1dydxをtの関数として表してください．
tt+2
2t+2t
3tt+1
4t+1t
HELPdxdt=2t+2, dydt=2tだから dydx=dydtdxdt=2t2t+2=tt+1 → 3
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問２媒介変数で表された次の関数について，導関数
1dydxをtの関数として表してください．
batant
2−batant
3abtant
4−abtant
HELPdxdt=acost, dydt=−bsintだから dydx=dydtdxdt=−bsintacost=−batant → 2
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問３次の媒介変数で表された曲線について，（ ）内のtの値に対応する点における接線の方程式を求めてください．
1y=x+
π2
2y=x−π2
3y=−x+π2
4y=−x−π2
HELPdxdt=1+cost, dydt=sintだから dydx=dydtdxdt=sint1+costt= π2のとき
x=π2+1y=1 dydx=1だから y−1=x−( π2+1)y=x− π2 → 2
※（参考）次の図のように，このグラフは標準的なサイクロイド曲線：［赤で示したもの］
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問４次の媒介変数で表された曲線について，（ ）内のtの値に対応する点における接線の方程式を求めてください．
1y=2x+2
2y=2x+3
3y=3x+2 4y=3x+3 HELP dxdt=2t−1, dydt=2t+1だから dydx=dydtdxdt=2t+12t−1t=1のとき x=0 y=2 dydx=3となって，接線の方程式は y−2=3x y=3x+2 ※（参考） 次の図のように，このグラフは放物線を傾けたものとなっています．  → 3
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問５次の媒介変数で表された曲線について，（ ）内のtの値に対応する点における法線の方程式を求めてください．
1y=ex−e2
2y=−ex+e2
3y= xe−1
4y=−xe+1
HELPdxdt=et, dydt=1tだから m= dydx=dydtdxdt=1tet=1tetm’=−tet t=1のとき x=e, y=0, m’=−e となって，法線の方程式は y=−e(x−e) y=−ex+e2 ※（参考） 次の図の水色が接線，赤が法線になります．  → 2
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問６次の媒介変数で表された曲線について，（ ）内のtの値に対応する点における法線の方程式を求めてください．
1y=−
43x+43
2y=−x+13y=x−1 4y= 34x+12
HELPdxdt=−4t(t2+1)2 , dydt=21−t2(t2+1)2だから m= dydx=dydtdxdt=t2−12tm’=− 2tt2−1t=2のとき x= 25, y=45, m’=−43となって，法線の方程式は y− 45=−43(x−25)y=− 43x+43 → 1
※（参考）媒介変数を消去して元のグラフをx, yの関係式で表すと， x2+y2= 4t2+1=2xすなわち， (x−1)2+y2=1 これは，点(1, 0)を中心とする半径1の円になり，法線は中心を通ります．次の図の青色が接線，赤が法線になります．  |
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問７動点の運動が時刻tの関数として次の媒介変数で表されているとき，（ ）内の時刻における速度ベクトル→vを求めてください．
1→v=(0, 1)
2→v=(0, −1)
3→v=(1, 0) 4→v=(−1, 0) HELP dxdt=log t+1, dydt=tet−ett2だから →v=(log t+1, tet−ett2)t=1のとき →v=(1, 0) → 3
※（参考）次の図の青色が軌跡，矢印が速度になります．  |
問８動点の運動が時刻tの関数として次の媒介変数で表されているとき，（ ）内の時刻における速度ベクトル→vを求めてください．
1→v=(
 √22 , √33 )
2→v=( √22 , √34 )3→v=( √23 , √34 )
4→v=( √24 , √33 )
HELPdxdt=12√t+1, dydt=t√t2+2だから →v=( 12√t+1 , t√t2+2 )t=1のとき →v=( 12√2 , 1√3 )=( √24 , √33 ) → 4
（参考）次の図の青色が軌跡，矢印が速度になります．  |
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