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高校数学 >> 高校数学Ⅲ>> 微分

~分数関数の極値,漸近線~
 次の関数の増減・極値,凹凸・変曲点,漸近線を調べ,グラフを描いてください
【問題1】
y=1x2+1
(解答)
y=2x(x2+1)2
y=0
y=2(x2+1)2(2x)2(x2+1)2x(x2+1)4
=2(x2+1)+8x2(x2+1)3=6x22(x2+1)3=2(3x21)(x2+1)3
y=0x=±13
x−∞←13013→∞
y’+++0
y”+00+
y0←34134→0
[記号] :増加で下に凸,:増加で上に凸
:減少で下に凸,:減少で上に凸

x=0のとき,極大値1
• 変曲点の座標(±13,34)
≒(±0.577, 0.75)
• 漸近線の方程式 y=0
 (limx±y=0)
※一般に,分数関数で(分母の次数)>(分子の次数)のときは,x→±∞のときy→0,すなわち左右ともx軸が漸近線になる.
極大値極小値変曲点横向き漸近線縦向き漸近線斜め漸近線
有りなし有り有り---なしなし
グラフは,次の図のようになる
y軸に関して対称)
13 13 34
【問題2】
y=xx2+1
(解答)
y=1(x2+1)x2x(x2+1)2=(x21)(x2+1)2=(x1)(x+1)(x2+1)2
y=0x=±1
y=2x(x2+1)2(x2+1)2(x2+1)2x(x2+1)4
=2x(x2+1)(x2+1)4x(x2+1)3
=2x32x+4x34x(x2+1)3
=2x36x(x2+1)3
=2x(x23)(x2+1)3
y=0x=±3
x−∞←3−1013→∞
y’0+++0
y”0+++00+
y0←341201234→0
[記号] :増加で下に凸,:増加で上に凸
:減少で下に凸,:減少で上に凸

x=1のとき,極大値12
x=−1のとき,極小値12
• 変曲点の座標(3,34),(0,0),(3,34)
• 漸近線の方程式 y=0
 (limx±y=0)
※一般に,分数関数で(分母の次数)>(分子の次数)のときは,x→±∞のときy→0,すなわち左右ともx軸が漸近線になる.
極大値極小値変曲点横向き漸近線縦向き漸近線斜め漸近線
有り有り有り有り---なしなし
グラフは,次の図のようになる
(原点に関して対称)
3 3

【問題3】
y=x2x2+1
(解答)
y=11x2+1
と書けるから,【問題1】の結果を利用できる
y=2x(x2+1)2
y=0x=0
y=2(3x21)(x2+1)3
y=0x=±13
x−∞←13013→∞
y’0+++
y”0+++0
y1←14014→1
[記号] :増加で下に凸,:増加で上に凸
:減少で下に凸,:減少で上に凸

x=0のとき,極小値0
• 変曲点の座標(±13,14)
• 漸近線の方程式 y=1
 (limx±y=1)
極大値極小値変曲点横向き漸近線縦向き漸近線斜め漸近線
なし有り有り有り---なしなし
グラフは,次の図のようになる
(原点に関して対称)
13 13 14
~分数関数~
 次の関数のグラフを描いてください
変曲点を求めることにすると,第2次導関数が必要となり,計算が複雑すぎるので,以下の問題では,変曲点は求めなくてもよいことにする
【問題4】
y=x1x2
(解答)
y=b+kxaのグラフは,y=kxのグラフをx軸方向にay軸方向にbだけ平行移動したもので,漸近線の方程式はx=a, y=bとなる.
※この形は超基本なので,微分するまでもなくグラフを描ける
y=x1x2=1+1x2
と変形できるから,漸近線の方程式は,x=2, y=1
※分母→0となるxの値が,y軸に平行(x軸に垂直)な漸近線を表す

 増減,極値,漸近線を調べて,次の関数のグラフを描いてください
【問題5】
y=x2(x1)(x3)
(解答)
• この問題のように,多くの式の積や商からなる関数を微分するときは「対数微分法」(←解説はこのページ)を利用すると楽になる.次のように行う.
logy∣=logx2logx1logx3
yy=1x21x11x3
=(x1)(x3)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2)(x1)(x3)
=x24x+3(x25x+6)(x23x+2)(x2)(x1)(x3)
=x2+4x5(x2)(x1)(x3)
y=x2+4x5(x2)(x1)(x3)×x2(x1)(x3)
=(x24x+5)(x1)2(x3)2={(x2)2+1}(x1)2(x3)2<0
x−∞←123→∞
y’×0×
y0←×0×→0
• 極値なし
• 漸近線の方程式 x=1, x=3, y=0
 (limx±y=0)
• 分母→0となるxの値が,y軸に平行(x軸に垂直)な漸近線を表す(---)
  x=1, x=3
x→±∞のときのyの極限値がx軸に平行な漸近線を表す(---)
  y=0
• 分子=0となるxの値が,x軸との交点を表す
  x=2
 増減,極値,漸近線を調べて,次の関数のグラフを描いてください
【問題6】
y=x1(x+1)2(x2)
(解答)
• この問題のように,多くの式の積や商からなる関数を微分するときは「対数微分法」(←解説はこのページ)を利用すると楽になる.次のように行う.
logy∣=logx12logx+1logx2
yy=1x12x+11x2
=(x+1)(x2)2(x1)(x2)(x+1)(x1)(x1)(x+1)(x2)
=(x2x2)2(x23x+2)(x21)(x1)(x+1)(x2)
=2x2+5x5(x1)(x+1)(x2)
y=(2x25x+5)(x1)(x+1)(x2)×x1(x+1)2(x2)
y=(2x25x+5)(x+1)3(x2)2
ここで,分子のカッコ内は,D=25−40=−15<0だから,(分子)はつねに負
x−∞←−12→∞
y’+××
y0←××→0
• 極値なし
• 漸近線の方程式 x=−1, x=2, y=0
 (limx±y=0)
• 分母→0となるxの値が,y軸に平行(x軸に垂直)な漸近線を表す(---)
  x=−1, x=2
x→±∞のときのyの極限値がx軸に平行な漸近線を表す(---)
  y=0
• 分子=0となるxの値が,x軸との交点を表す
  x=1

 増減,極値,漸近線を調べて,次の関数のグラフを描いてください
【問題7】
y=x2x1
(解答)
y=x+1+1x1
と変形できるから
• 斜め方向の漸近線はy=x+1
• 縦方向の漸近線はx=1
y=11(x1)2
=(x1)21(x1)2=x(x2)(x1)2
x−∞←012→∞
y’+0×0+
yx+1←0×4→x+1
x=0のとき,極大値0
x=2のとき,極小値4
• 漸近線の方程式 y=x+1, x=1
 増減,極値,漸近線を調べて,次の関数のグラフを描いてください
【問題8】
y=x3+2x
(解答)
y=x2+2x
と変形できるから,y=x2x=0が漸近線であるが,高校数学では漸近線として直線だけを考えるので,x=0を答えるとよい.
y=2x1x2=2x32x2
=2(x1)(x2+x+1)x2
y'=0x=1
x−∞←01→∞
y’×0+
y∞←×3→∞
• 極大値なし
x=1のとき,極小値3
• 漸近線の方程式 x=1

【漸近線の求め方(まとめ)】
 一般に,関数y=f(x)の漸近線は,次のように求めることができる.
y軸に平行な漸近線]
limxa+0f(x)=±またはlimxa0f(x)=±のとき,x=aが漸近線
(注1)
x軸に平行な漸近線]
limxf(x)=aまたはlimxf(x)=aのとき,y=aが漸近線
(注2)
[斜め方向の漸近線y=mx+k
この形の漸近線の方程式は,次の2段階で求めることができる(順序が重要)(注3)
1) limxf(x)x=mまたはlimxf(x)x=mのとき,傾きをmとする.
2) 1)で求めたmの値を使って,limx{f(x)mx}=kまたはlimx{f(x)mx}=kのとき,y切片をkとする.
1)2)から,y=mx+kを漸近線とする
 上記で述べたのは,一般の場合で,分母と分子がどちらも多項式の場合は,漸近線の方程式はもっと簡単に分かる.
y軸に平行な漸近線]
関数y=x2x1のように,分母が0となるxの実数値1があれば,x=1が漸近線となる.(分子のx=2x軸との交点を表し,漸近線とは関係ない)
関数y=x3(x1)2(x2)のように,分母が0となるxの実数値が複数個1, 2とあれば,複数個のx=1, x=2が漸近線となる
関数y=x2x2+1のように,分母が0となるxの実数値がないとき,y軸に平行な漸近線はない
x軸に平行な漸近線]
関数y=x2x21のように,(分子の次数)<(分母の次数)のときは,limx±y=0となるから,y=0が漸近線となる
関数y=3x222x21 のように,(分子の次数)=(分母の次数)のときは,limx±y=32 となるから,最高次の係数の比y=32が漸近線となる

[斜め方向の漸近線y=mx+k
y=x2+2x2x1 のように,(分子の次数)>(分母の次数)となっているときは,「割り算を行って,商と余りに分ける変形」=「数研の参考書で『分数式は富士の山』と呼ばれる変形方法」により
(x2+2x2)÷(x1)=x+31
x2+2x2=x+3+1x1
y=x+3+1x1
と変形すると,limx±1x1=0 となるから,y=x+3が漸近線となる
【問題8】のように,商と余りに分けたときに,商が2次以上の多項式となる場合
y=x2+2x
y=x2が漸近線になるが,「高校数学では,漸近線として直線までを扱う」ので,曲線となる漸近線は答えなくてもよい.
(注1)
右側極限limxa+0f(x) と,左側極限limxa0f(x) は,様々な組み合わせがある
「符号が逆の場合」
→ 【問題4】のx=2では
limx2+0x1x2=
limx20x1x2=
であって,x=2が漸近線になっている
「符号が同じ場合」
→ 【問題6】のx=−1では
limx1+0x1(x+1)2(x2)=
limx10x1(x+1)2(x2)=
であって,x=−1が漸近線になっている

「左右で異なる極限値になる場合」がある
→ 右図はy=e1xのグラフで
limx1+0(e1x)=
limx10(e1x)=0
左右で異なる極限値になるが,右側極限だけを見て,漸近線はx=0とする.
「一方だけ極限があるが他方はない場合」
→ 右図はy=logx のグラフで
limx+0(logx)=
x≦0のときは関数は定義されないが,右側極限だけを見て,漸近線はx=0とする.
(注2)
limxf(x)=a またはlimxf(x)=a のとき
xが正の無限大に発散するときの漸近線と,xが負の無限大に発散するときの漸近線の組合せは,様々で,
「それらの漸近線が一致する場合」
  ⇒ 【問題1】~【問題7】
「異なる漸近線になる場合」
  ⇒ 【追加問題2.1】~【追加問題2.2】
「一方だけ漸近線がある場合」
  ⇒ 【追加問題2.1】~【追加問題2.4】
「どちらも漸近線がない場合」
  ⇒ 【追加問題2.3】
があるが,関数が普通の単価関数(1つのxに対して1つのyが対応する関数)である限り「xが正の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になる」ことはない.

 これに対して,多価関数(1つのxに対して2つ以上のyが対応する関数)では,「xが正の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になる」ことがある.
 【多価関数の例】
x2+y2=9 ↓↑ y=9x2 y=9x2
y2=4x ↓↑ y=4x y=4x
x2y2=1 ↓↑ y=x21 y=x21

 上の例から分かるように,y2=f(x) の形で書かれる関数は,f(x)≧0である限り,y=±f(x)の形に変形できるので,2価関数になります.
 このような2価関数は,1つのxに対して2つのyが対応するので,「xが正の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になる」ことがある.(上記の双曲線は漸近線が2つある)
(注3)
m, kを求める手順によって,漸近線の方程式が求められることの証明
x→∞のとき,漸近線がy=mx+kになるということから,必要条件で絞り込むと
limxf(x)mxk∣=0
ならば,両辺をx(≠0)で割っても成り立つはず
limxf(x)xmkx∣=0
さらに
limxf(x)xm∣=0
そこで
limxf(x)x=m
とおく.次に
limx{f(x)mx}=k
とおくと
limx{f(x)mxk}=0
となり
limxf(x)mxk∣=0
が成り立つから,十分条件も満たされる.
よって,このようにして定めたy=mx+kが漸近線になる.

 次の関数の漸近線を調べてください
【追加問題1】
(1.1)y=2xx2+2
(1.2)y=x3(x1)(x2)
(1.3)y=x2+x3x1
(解答)
(1.1)
分母が0となる実数値xがないから,y軸に平行な漸近線はない
(分母の次数)>(分子の次数)で,x→∞のとき,y→0だから,x軸に平行な漸近線はy=0(右図青の破線)
x軸に平行な漸近線があるから,斜め方向の漸近線はない
(1.2)
分母が0となる実数値はx=1, x=2だから,y軸に平行な漸近線は,x=1, x=2(右図赤の破線)
(分母の次数)>(分子の次数)で,x→∞のとき,y→0だから,x軸に平行な漸近線はy=0(右図青の破線)
x軸に平行な漸近線があるから,斜め方向の漸近線はない
(1.3)
分母が0となる実数値はx=1だから,y軸に平行な漸近線は,x=1(右図赤の破線)
y=x+21x1と変形できるから,x→∞のとき,斜め方向の漸近線はy=x+2(右図青の破線)
 次の関数の漸近線を調べてください
【追加問題2】
(2.1)y=x+x2+1
(2.2)y=xx2+1
(2.3)y=x+x
(2.4)y=x+1logx
(解答)
(2.1)
分母が0となる実数値xがないから,y軸に平行な漸近線はない
x→∞のとき,漸近線の方程式をy=mx+kとおくと
m=limxyx
=limx{1+1+1x2}
=2
k=limx(y2x)
=limx{x2+1x}
=limx{1x2+1}=0
漸近線の方程式はy=2x(右図青の破線)
x→∞のとき,斜め方向の漸近線があるから,x軸に平行な漸近線はない
x→−∞のとき,漸近線の方程式をy=mx+kとおくと
m=limxyx
=limx{x+x2+1x}
=limt{t+t2+1t}
=limt{tt2+1t}
=limt{11+1t2}=0
k=limxy=limx(x+x2+1)
=limt(t+t2+1)
=limt1t2+1+t=0
漸近線の方程式はy=0(右図青の破線)
x→−∞のとき,x軸に平行な漸近線があるから,斜め方向の漸近線はない

(2.2)
分母が0となる実数値xがないから,y軸に平行な漸近線はない
x→∞のとき,漸近線の方程式をy=mx+kとおくと
m=limxyx
=limx{1x2+1}=0
k=limxy=limx{xx2+1}
=limx{11+1x2}=1
漸近線の方程式はy=1(右図青の破線)
x→∞のとき,x軸に平行な漸近線があるから,斜め方向の漸近線はない
x→−∞のとき,漸近線の方程式をy=mx+kとおくと
m=limxyx
=limx{1x2+1}=0
k=limxy=limx{xx2+1}
=limt{11+1t2}=1
漸近線の方程式はy=−1(右図青の破線)
x→−∞のとき,x軸に平行な漸近線があるから,斜め方向の漸近線はない
(2.3)
分母が0となる実数値xがないから,y軸に平行な漸近線はない
x→∞のとき,漸近線の方程式をy=mx+kとおくと
m=limxyx
=limx{1+1x}=1
k=limx(yx)=limxx=
(傾きはm=1に収束するが,切片が発散するので,漸近線はない)
(2.4)
• 定義域はx>0
log1=0であるから,x=1のとき,分母が0になる.
したがって,y軸に平行な漸近線はx=1(右図赤の破線)
x→∞のとき, limx1logx=0 だから,漸近線の方程式はy=x(右図青の破線)
x→∞のとき,斜め方向の漸近線があるから,x軸に平行な漸近線はない
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