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♪~分数関数の極値,漸近線~♠ 次の関数の増減・極値,凹凸・変曲点,漸近線を調べ,グラフを描いてください
【問題1】
(解答)
[記号] :増加で下に凸,:増加で上に凸
:減少で下に凸,:減少で上に凸 • x=0のとき,極大値1 • 変曲点の座標 ≒(±0.577, 0.75) • 漸近線の方程式 y=0 (
※一般に,分数関数で(分母の次数)>(分子の次数)のときは,x→±∞のときy→0,すなわち左右ともx軸が漸近線になる.
(y軸に関して対称) |
【問題2】
(解答)
[記号] :増加で下に凸,:増加で上に凸
:減少で下に凸,:減少で上に凸 • x=1のとき,極大値 • x=−1のとき,極小値 • 変曲点の座標 • 漸近線の方程式 y=0 (
※一般に,分数関数で(分母の次数)>(分子の次数)のときは,x→±∞のときy→0,すなわち左右ともx軸が漸近線になる.
(原点に関して対称) |
【問題3】
(解答)と書けるから,【問題1】の結果を利用できる
[記号] :増加で下に凸,:増加で上に凸
:減少で下に凸,:減少で上に凸 • x=0のとき,極小値0 • 変曲点の座標 • 漸近線の方程式 y=1 (
(原点に関して対称) |
♪~分数関数~♠ 次の関数のグラフを描いてください
変曲点を求めることにすると,第2次導関数が必要となり,計算が複雑すぎるので,以下の問題では,変曲点は求めなくてもよいことにする
【問題4】
(解答)※この形は超基本なので,微分するまでもなくグラフを描ける と変形できるから,漸近線の方程式は,x=2, y=1 |
増減,極値,漸近線を調べて,次の関数のグラフを描いてください
【問題5】
(解答)• この問題のように,多くの式の積や商からなる関数を微分するときは「対数微分法」(←解説はこのページ)を利用すると楽になる.次のように行う.
• 漸近線の方程式 x=1, x=3, y=0 (
• 分母→0となるxの値が,y軸に平行(x軸に垂直)な漸近線を表す(---)
x=1, x=3 • x→±∞のときのyの極限値がx軸に平行な漸近線を表す(---) y=0 • 分子=0となるxの値が,x軸との交点を表す x=2 |
増減,極値,漸近線を調べて,次の関数のグラフを描いてください
【問題6】
(解答)• この問題のように,多くの式の積や商からなる関数を微分するときは「対数微分法」(←解説はこのページ)を利用すると楽になる.次のように行う. ここで,分子のカッコ内は,D=25−40=−15<0だから,(分子)はつねに負
• 漸近線の方程式 x=−1, x=2, y=0 (
• 分母→0となるxの値が,y軸に平行(x軸に垂直)な漸近線を表す(---)
x=−1, x=2 • x→±∞のときのyの極限値がx軸に平行な漸近線を表す(---) y=0 • 分子=0となるxの値が,x軸との交点を表す x=1 |
増減,極値,漸近線を調べて,次の関数のグラフを描いてください
【問題7】
(解答)と変形できるから • 斜め方向の漸近線はy=x+1 • 縦方向の漸近線はx=1
• x=2のとき,極小値4 • 漸近線の方程式 y=x+1, x=1 |
増減,極値,漸近線を調べて,次の関数のグラフを描いてください
【問題8】
(解答)と変形できるから, y'=0 ⇔
• x=1のとき,極小値3 • 漸近線の方程式 x=1 |
【漸近線の求め方(まとめ)】 一般に,関数y=f(x)の漸近線は,次のように求めることができる.
① [y軸に平行な漸近線]
(注1)
② [x軸に平行な漸近線](注2)
③ [斜め方向の漸近線y=mx+k]この形の漸近線の方程式は,次の2段階で求めることができる(順序が重要)(注3) 1) 2) 1)で求めたmの値を使って, 1)2)から,y=mx+kを漸近線とする |
上記で述べたのは,一般の場合で,分母と分子がどちらも多項式の場合は,漸近線の方程式はもっと簡単に分かる.
① [y軸に平行な漸近線]
• 関数 • 関数 • 関数 ② [x軸に平行な漸近線] • 関数 • 関数 |
③ [斜め方向の漸近線y=mx+k]
• と変形すると, • 【問題8】のように,商と余りに分けたときに,商が2次以上の多項式となる場合 |
(注1)
右側極限「符号が逆の場合」
→ 【問題4】のx=2では
「符号が同じ場合」であって,x=2が漸近線になっている → 【問題6】のx=−1では
であって,x=−1が漸近線になっている |
「左右で異なる極限値になる場合」がある → 右図は
「一方だけ極限があるが他方はない場合」左右で異なる極限値になるが,右側極限だけを見て,漸近線はx=0とする. → 右図は
x≦0のときは関数は定義されないが,右側極限だけを見て,漸近線はx=0とする. |
(注2)
xが正の無限大に発散するときの漸近線と,xが負の無限大に発散するときの漸近線の組合せは,様々で, 「それらの漸近線が一致する場合」 ⇒ 【問題1】~【問題7】 「異なる漸近線になる場合」 ⇒ 【追加問題2.1】~【追加問題2.2】 「一方だけ漸近線がある場合」 ⇒ 【追加問題2.1】~【追加問題2.4】 「どちらも漸近線がない場合」 ⇒ 【追加問題2.3】 があるが,関数が普通の単価関数(1つのxに対して1つのyが対応する関数)である限り「xが正の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になる」ことはない. |
これに対して,多価関数(1つのxに対して2つ以上のyが対応する関数)では,「xが正の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になる」ことがある. 【多価関数の例】 上の例から分かるように, このような2価関数は,1つのxに対して2つのyが対応するので,「xが正の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が2つ以上になる」ことがある.(上記の双曲線は漸近線が2つある) |
(注3)
m, kを求める手順によって,漸近線の方程式が求められることの証明x→∞のとき,漸近線がy=mx+kになるということから,必要条件で絞り込むと ならば,両辺をx(≠0)で割っても成り立つはず さらに そこで とおく.次に とおくと となり が成り立つから,十分条件も満たされる. よって,このようにして定めたy=mx+kが漸近線になる. |
次の関数の漸近線を調べてください
【追加問題1】
(解答)(1.1) (1.2) (1.3) • 分母が0となる実数値xがないから,y軸に平行な漸近線はない • (分母の次数)>(分子の次数)で,x→∞のとき,y→0だから,x軸に平行な漸近線はy=0(右図青の破線) • x軸に平行な漸近線があるから,斜め方向の漸近線はない • 分母が0となる実数値はx=1, x=2だから,y軸に平行な漸近線は,x=1, x=2(右図赤の破線) • (分母の次数)>(分子の次数)で,x→∞のとき,y→0だから,x軸に平行な漸近線はy=0(右図青の破線) • x軸に平行な漸近線があるから,斜め方向の漸近線はない • 分母が0となる実数値はx=1だから,y軸に平行な漸近線は,x=1(右図赤の破線) • |
次の関数の漸近線を調べてください
【追加問題2】
(解答)(2.1) (2.2) (2.3) (2.4) • 分母が0となる実数値xがないから,y軸に平行な漸近線はない • x→∞のとき,漸近線の方程式をy=mx+kとおくと =2 漸近線の方程式はy=2x(右図青の破線) x→∞のとき,斜め方向の漸近線があるから,x軸に平行な漸近線はない • x→−∞のとき,漸近線の方程式をy=mx+kとおくと 漸近線の方程式はy=0(右図青の破線) x→−∞のとき,x軸に平行な漸近線があるから,斜め方向の漸近線はない |
• 分母が0となる実数値xがないから,y軸に平行な漸近線はない • x→∞のとき,漸近線の方程式をy=mx+kとおくと 漸近線の方程式はy=1(右図青の破線) x→∞のとき,x軸に平行な漸近線があるから,斜め方向の漸近線はない • x→−∞のとき,漸近線の方程式をy=mx+kとおくと 漸近線の方程式はy=−1(右図青の破線) x→−∞のとき,x軸に平行な漸近線があるから,斜め方向の漸近線はない |
• 分母が0となる実数値xがないから,y軸に平行な漸近線はない • x→∞のとき,漸近線の方程式をy=mx+kとおくと (傾きはm=1に収束するが,切片が発散するので,漸近線はない) • 定義域はx>0 • したがって,y軸に平行な漸近線はx=1(右図赤の破線) • x→∞のとき, x→∞のとき,斜め方向の漸近線があるから,x軸に平行な漸近線はない |
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