累乗根

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■累乗根
◆解説◆
■ｎ乗根の定義
　ｎ乗してａになる元の数をａのｎ乗根といい，で表わします。

X^{n} = a (a > 0)

となる元の数Xをaのn乗根といい，

\sqrt[n]{a}

で表す．
すなわち，

［累乗根の定義］：

X^{n} = a \leftarrow\to X = \sqrt[n]{a}

（覚え方：漫才コンビの荷物）
Xが肩の荷物を降ろして楽になると，相方aの手のひらに荷物が乗る．→

\sqrt[n]{a}

　特に，n=2の場合だけｎを省略してと書きます。

　(　は　　ではなく，　を表わします。)

■右のグラフから分かるように　
(1)　ｎが奇数のとき　ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値は，ａの正負によらず常にただ１つ存在し、この値を

で表わします。
(2)　ｎが偶数のときはａ＞0のとき，　ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値は，２つ存在しますので，そのうち正の値を

で，負の値を-

で表わします。ａ＜０のときは，ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値はありません。

※　ａ＞０の範囲で考える限り，ｎが奇数でも，偶数でも　ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値は，ただ１つ存在し、その値がです。
このページでは，以下においてａ＞０のみ扱います。

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■例

2³=8　だから　=2
3²=9　だから　=3　(省略すれば２乗根)
　だから　
(-2)⁵=-32　だから　

■累乗根の性質

例
(1)　2³=8　だから　
(2)　2⁴=16　だから　

※重要※
　上記の累乗根の性質(1)～(5)のうち単純なものは使いますが，後に登場する分数指数を用いた計算の方が楽です。
　教科書においても，累乗根の性質の練習問題は取り扱いが薄いように感じられます。
　ただし，問題と解答は累乗根形式に指定されていることがあります。

※筆者おすすめの方法※

■解説

■問題１　左の式の値に等しいものを右から選びなさい．
（ルール：左から一つクリックし，続けて右から「対応するもの」をクリックすると消えます．）

		■要点■ $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ 　(a>0) $X^{n} = a (a > 0)$ となる元の数Xをaのn乗根といい， $\sqrt[n]{a}$ で表す．すなわち，［累乗根の定義］： $X^{n} = a \leftarrow\to X = \sqrt[n]{a}$ これを右辺が $a^{n} (a > 0)$ の場合に適用すると $X^{n} = a^{n} \to X = \sqrt[n]{a^{n}}$ $↓$ $X = a$ したがって $\sqrt[n]{a^{n}} = a$
解説 $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^{3}} = 2$ $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3$ $\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \sqrt[3]{(\frac{1}{4})^{3}} = \frac{1}{4}$ $\sqrt[5]{100000} = \sqrt[5]{10^{5}} = 10$ $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \times 3^{3}} = 3 \sqrt[3]{2}$ $\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{2})^{4}} = \frac{3}{2}$ $\sqrt[3]{\frac{32}{27}} = \sqrt[3]{\frac{2^{5}}{3^{3}}} = \frac{2}{3} \sqrt[3]{2^{2}} = \frac{2}{3} \sqrt[3]{4}$ →閉じる←