底の変換公式

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高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 指数関数・対数関数

現在地と前後の項目

負の指数の定義1/負の指数の定義2/指数法則/指数計算(積，商) /有効数字の表し方 /累乗根1/累乗根2/分数の指数1/分数の指数2/指数と大小比較　/ｎ乗比較　/a^x+a^-xの値/指数関数のグラフ/指数方程式1/指数方程式2/指数不等式/指数が対数のもの/対数の定義/対数計算1/対数計算2　/対数計算3/底の変換公式1/底の変換公式2/対数方程式/対数不等式/常用対数/センター問題2006-2009/指数･対数（入試問題）/センター問題指数･対数(2013～)/

■底の変換公式

a,b>0, a≠1のとき，任意の底c>0, c≠1に対して

logab=.

logcblogcannnn

が成り立つ．

（証明）

（復習）
対数の定義
logay=x ←→ y=ax (y>0, a>0, a≠1)

真数の累乗⇔前に付く係数
logaMn=n logaM …(*)

logab=x …(A)(b>0, a>0, a≠1)とおくと
b=ax …(B)
(B)の両辺に底をcとする対数をとると (c>0, c≠1)
logcb=logcax
logcb=x logca ←真数の累乗
logcb=logab · logca ← (A)

したがって

logab=.

logcblogcannnn

（式は苦手：図解にしてほしいという人への解説）
○対数logabは，y=.

1xnで作られる図のような図形の面積比を表す．

　なぜかということは，数学Ⅲで習うので，ここではとりあえず「対数とは面積の比」ということだけを押さえておくとよい．

logab=.

BAn

　つまり，logabとは，図のAの
面積を基準（分母）としたときの，Bの面積を表す．

※筆者が高１のときに「なーんだ．対数なんて，ただの分数じゃん」と言ったら，当時の先生にカンカンに怒られた．先生としては，b/a ではなく，面積の比だと言いたかったようだ．俺はそう言ったつもりだが･･･

　これに対して，図のCの面積を基準として表すと，
logca=.

ACn

logcb=.

BCn

　

\frac{\frac{B}{C}}{\frac{A}{C}} = \frac{B}{A}

だから
　

\frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} = \log_{a} b

が成り立つ．例

(1)log23=.

log103log102nnnnn=.

log53log52nnnn=.

log33log32nnnn

(2)log84=.

log24log28nnnn=.

log104log108nnnnn

”対数をとる”とは，”対数を取り除くこと”ではなく
logab → b ←×

”対数を考えること”を表す．
b → logcb（底はc） ←○
ax → logcax（底はc） ←○

次の計算公式は底が等しい場合に限り成り立つ．

1.logaM+logaN=logaMN

2.logaM−logaN=loga .

MNn

3.n logaM=loga(M n)=logaM n

異なる底で表された対数について，上記のような計算を行うには，あらかじめ底が等しい対数に書き換えておかなければならない．

例次の対数を簡単にせよ．

(1)log23·log32

（解答）
log23·log32=log23 .

log22log23nnnn=log22=1

（別解）
log23·log32=.

log103log102nnnnn .

log102log103nnnnn=1

(2)log56·log67·log75

（解答）
log56·log67·log75=.

log106log105nnnnn .

log107log106nnnnn .

log105log107nnnnn=1

(3)log84

（解答）

log84=.

log24log28nnnn=.

log222log223nnnnn=.

2·log223·log22nnnnnn=.

23n

(4)log.

13n9

（解答）

log.

13n9=.

log39log3.

13nnnnn=.

log332log33−1nnnnn=.

2·log33−log33nnnnnn=−2

問題１次の対数を簡単にせよ．
（空欄を埋めよ）

対数の底と指数の底が等しいとき，次の関係が成り立つ．

指数関数を真数とする対数は，自分自身に等しい．
logaax=x …(I)

指数関数の累乗が対数となっているものは，自分自身に等しい．
alogax=x …(II)

（証明）
I ←
logaax=x logaa=x ←(*)
II ←
logax=logax ←明らか

対数の定義により
y=logax → ay=x
logax=logax → alogax=x

問題２次の対数を簡単にせよ．
（空欄を埋めよ）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[底の変換公式について／16.12.31］

log2 1/5 ×log5 1/4など分数のある場合の計算方法も教えて欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
$\log_2\frac{1}{5}=\log_2 1-\log_2 5=-\log_2 5$
$\log_5\frac{1}{4}=\log_5 1-\log_5 4=-\log_5 4$
のような変形は底の変換公式とは関係なく，それ以前に登場する対数の変形です．
この公式
$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$
の特別な場合として
$\log_a\frac{1}{N}=\log_a 1-\log_a N=-\log_a N$
もしくは，この公式
$\log_a M^n=n\log_a M$
の特別な場合として
$\log_a\frac{1}{N}=\log_a N^{-1}=-\log_a N$
と考えます．
これらの前処理を行ってから，次に底の変換公式を使うことになります．
$\log_2\frac{1}{5}\times \log_5\frac{1}{4}=(-\log_2 5)(-\log_5 4)$
$=\log_2 5\times \frac{\log_2 4}{\log_2 5}=\log_2 4=2$

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