→ 携帯版は別頁

高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 指数関数・対数関数

例
32=9 → .√9√ni=3 …(*)
53=125 → .3√125√nnni=5
24=16 → .4√16√nni=2

.√√niは２乗根と呼ばれます．
.3√√niは３乗根と呼ばれます．
…
.n√√niはｎ乗根と呼ばれます．

※中学校のときには，平方根はプラスとマイナスの２つあるということを強調するために，aの平方根は±.√a√ni，aのルートは.√a√niというように厳格に区別しましたが，高校では単に.n√√niをｎ乗根というだけです．

　これは，中学校で習ったとき以来の約束事ですが，ここでは，.√a√niのように省略されたら， .0√9√niでもなく .1√9√niでもなく .2√9√niを表すということが重要．

　すぐ後で述べるように，この数字は「分数の指数」に直したときに分母になります．

xn=a →２つの実数xがこの方程式の解になります．
そのうちの正の実数は.n√a√niで表されます．
負の値の方は−.n√a√niで表されます．

xn=a →ただ１つの正の実数xがこの方程式の解になります．
この正の実数は.n√a√niで表されます．

xn=−a →この方程式には実数解xはありません．

xn=−a →ただ１つの負の実数xがこの方程式の解になります．
この負の実数は.n√−a√nniで表されます．

以下においては，累乗根の根号内は正の数だけを考え，その正の累乗根だけを考えます．
したがって，nが偶数でも奇数でも各々のa, nに対して.n√a√niは，ただ１つの正の実数を表します．
（右図の青で示した○の部分）

.n√an√nni=a
bが整数のｎ乗の形に書けないとき
.n√anb√nnni=a .n√b√ni

学習意欲をそぐような気の利かない発言で申し訳ないことですが，累乗根の計算規則に深入りする必要はなく，以下の例題程度が分かればＯＫです．
というのは，学校で教えるときでも，卒業してからでも，累乗根に力を入れることはまれで，別の頁で述べるように，分数（有理数）の指数が使えたら累乗根は不要だからです．

a>0, b>0であってm, n, pは正の整数とする
(1).n√a√ni.n√b√ni=.n√ab√nni …(1)
ｎ乗根をまとめたり分けたりしてよい
(2)..n√a√ni.n√b√ninnn=.n√.abn√ni …(2)
ｎ乗根をまとめたり分けたりしてよい
(3)( .n√a√ni)m=.n√am√nni …(3)
ｎ乗根と根号内のｍ乗はどちらを先に計算してもよい
(4).m√.n√a√ni√nni=.mn√a√ni …(4)
ｎ乗根のｍ乗根は１つのｍｎ乗根で書ける
(5).np√amp√nnni=.n√am√nni …(5)
ｎ乗根と根号内のｍ乗は「約分」と同様の扱いができる

x=.n√a√ni.n√b√niとおく
このとき xn=(.n√a√ni.n√b√ni)n=ab
累乗根の定義によりxn=a → x=.n√a√ni
x=.n√ab√nni
したがって.n√a√ni.n√b√ni=.n√ab√nni

x=(.n√a√ni)mとおく
このとき xn=(.n√a√ni)mn=((.n√a√ni)n)m=am
累乗根の定義により xn=a → x=.n√a√ni
x=.n√am√nni
したがって ( .n√a√ni)m=.n√am√nni

x=.m√.n√a√ni√nniとおく
このとき xmn=(.m√.n√a√ni√nni)mn=((.m√.n√a√ni√nni)m)n
(.m√.n√a√ni√nni)m=.n√a√niだから
xmn=(.n√a√ni)n=a
y=.mn√a√niとおく
このとき ymn=(.mn√a√ni)mn=a
したがって x=y (x, y>0)
.m√.n√a√ni√nni=.mn√a√ni

x=.np√amp√nnniとおく
このとき xnp=(.np√amp√nnni)np=amp
y=.n√am√nniとおく
このとき ynp=(.n√am√nni)np=((.n√am√nni)n)p=(am)p=amp
したがって x=y (x, y>0)
.np√amp√nnni=.n√am√nni