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現在地と前後の項目 負の指数の定義1/負の指数の定義2/指数法則/指数計算(積，商) /有効数字の表し方 /累乗根1/累乗根2/分数の指数1/分数の指数2/指数と大小比較 /ｎ乗比較 /ax+a-xの値/指数関数のグラフ/指数方程式1/指数方程式2/指数不等式/指数が対数のもの/対数の定義/対数計算1/対数計算2 /対数計算3/底の変換公式1/底の変換公式2/対数方程式/対数不等式/常用対数/センター問題2006-2009/指数･対数（入試問題）/センター問題 指数･対数(2013～)/ 分数（有理数）の指数が付いている式は累乗根で表される式と同じものです．多くの場合，分数の指数を使って計算する方が累乗根のまま計算するよりも簡単になります．
■分数（有理数）の指数の定義
（解説）a>0であってm, nが正の整数であるとき a  mn=n √amと定義します．特に a 1n=n√aa 12=√a負の指数と組み合わせるときは，次のようになります． a− mn=1n√ama− 1n=1n√aa− 12=1√a≪具体例で考える≫ (ax)y=axyという指数法則が自由に使えるようにしたい．たとえば，(ax)3=a5となるxを求めたいとき
○指数法則が成り立つようにするには
(ax)3=a5→3x=5→x=  53すなわち， a 53という分数の指数を考える必要がある． このとき， (a  53)3=a5…(1)という計算を考えていることになる． ○他方で，累乗根について次の関係がある． ( 3 √a5)3=a5…(2)○(1)(2)からa 53=3√a5と定義すればよいこと分かる． ≪一般に≫ 指数法則によれば (a mn)n=am他方で，累乗根の定義によれば ( n √am)n=amしたがって a mn=n√am (>0)と定義するとよい． |
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○ 数の種類と演算の関係
≪要点≫
小学校では分数を習い，中学校では負の数，無理数（根号の付いた数）を習いましたが，このような数の種類の拡張は「割り算」や「引き算」のような演算の結果を表すために行われます．つまり，［数の種類→演算の考案］の順ではなく，［演算を自由に行う必要→数の種類の拡張］というように演算の結果を表す必要を優先的に考えて，これに応えられるように数の範囲を拡張したものです．
例 5÷3という演算の結果を表したい→分数 53を考えた．3−5という演算の結果を表したい→負の数−2を考えた． x2=3という方程式の解を表したい→無理数± √3を考えた．○ （同様にして）指数の種類と演算の関係の考え方
（中学校：指数が登場），（高校数学II：負の指数が登場），（高校数学II：分数の指数が登場）と広げていくのは指数法則を自由に行うために必要だからです．
例 a3÷a5という演算の結果を表したい→負の指数a−2を考えた． (ax)3=a5となるxを表したい→分数の指数a 53を考える． (1)8 23=3√828 23=(23)23=23×23=22=43 √82=3√(23)2=3√26=3√(22)3=4(2)32 15=5√3232 15=(25)15=25×15=21=25 √32=5√25=2(3)9 12=√99 12=(32)12=32×12=31=3√9=√32=3 |
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a, b>0であってp, qが有理数（分数または整数）のとき，次の計算法則が成り立つ．
apaq=ap+q …(1) ap÷aq=ap−q …(2) (ap)q=apq …(3) (ab)p=apbp …(4) ( ab)p=apbp …(5) |
例(2)，問題2(3)(4)，問題3(4)，問題4(2)～(5)のように問題が累乗根で書かれているときは，途中経過は分数の指数を使って行い，答を累乗根で書く必要があれば，結果を書き直すようにします．（累乗根のまま途中経過をやってしまうと計算が複雑になります．）
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例次の式を簡単にしてください．結果は負の指数や有理指数を使わずに表してください． (a, b>0) (1)a 12×a−16
=a 12+(−16)=a36−16=a13
=3√a(2)3 √9÷6√3
=(32)13÷316
=323÷316=346−16=336=312
=√3(3)(9− 32)16
=((32)−32)16=32×(−32)×16=3−12
= 1√3 |
(4)(a23b−23)−12×(a−13b23)2 =a 23×(−12)b−23×(−12)×a−13×2b23×2=a− 13b13×a−23b43
=a−13+(−23)b13+43
=a−1b53= b3√b2a |
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問題１a>0のとき，次の累乗根をaxの形で表しなさい．（正しいものを選びなさい。） |
5√a4=a45
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6
√a=a16一般に n √a=a1nが成り立ちます |
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( 3
√a2)−1=(a23)−1=a−23一般に 1n√am=a−mnが成り立ちます． |
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(
√a)−1=(a12)−1=a−12一般に 1n√a=a−1nが成り立ちます． |
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問題２次の式の値を求めなさい．（正しいものを選んでください．） |
底を素因数分解すると
(22) 32=23=8 |
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底を素因数分解すると
(24)− 34=2−3=18 |
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底を素因数分解すると
((23)2) 13=23×2×13=22=4 |
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底を素因数分解すると
((25)4) 15=25×4×15=24=16 |
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問題３次の式の値を求めなさい．（空欄を埋めてください．） |
底を素因数分解すると
3− 76×913×2712
=3−76×(32)13×(33)12
=3−76×323×332=3− 76+23+32
=3−76+46+96
=366
=31
=3
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底を素因数分解すると
6−2×27 56÷12−32
=(2×3)−2×(33)56÷(22×3)−32=(2−2×3−2)×3 52÷(2−3×3−32)=2−2+33−2+ 52+32
=2132
=18
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底を素因数分解すると
24−1×18 13÷12−73
=(23×3)−1×(2×32)13÷(22×3)−73=(2−3×3−1)×(2 13×323)÷(2−143×3−73)=2−3+ 13+1433−1+23+73
=2232=36
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有理指数に直すと
3 √53√25
=5132513底を素因数分解すると =5 13(52)13
=513523
=513+23
=51
=5
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問題４a, b>0のとき，次の式を簡単にしなさい．（正しいものを選んでください．） |
(a
14)3×(a−12)−1×a−14
=a34a12a−14=a 34+12−14
=a44=a1=a |
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累乗根を有理指数に直すと
√ab√a÷a√b
=(ab×a12)12÷ab12
=a12b12a14÷ab12=a 12+14−1b12−12
=a−14
=14√a
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累乗根を有理指数に直すと
3√a4a3√a
=a43a×a13
=a43a43=1
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累乗根を有理指数に直すと
4
√3√a2÷3√√a4
=((a2)13)14÷((a4)12)13
=a2×13×14÷a4×12×13=a 16−23
=a−12
=1√a
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累乗根を有理指数に直すと
√a√a√a×√√√a
=(a(a×a12)12)12×((a12)12)12=(a×a 12a14)12×a18
=a12a14a18×a18=a 12+14+18×a18
=a78×a18
=a78+18
=a1
=a
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