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高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 指数関数・対数関数

【センター試験 2006年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1]　0°≦θ<180°の範囲で関数f(θ)=3cos2θ+4sinθを考える．

sinθ=tとおけば

cos2θ=ア−イ t ウ

であるから，y=f(θ)とおくと

y=−エ t ウ+オ t +カ

である．したがって，yの最大値は.キク3nnnnであり，最小値はケである．
　また，aが0°<α<90°を満たす角度でf(α)=3のとき

sin(α+30°)=.コ.√サ√nnni+.√シ√nnniスnnnnnnnnnnnn

である．

[2]　不等式
2log3 x−4logx 27≦5 ……(*)
が成り立つようなxの値の範囲を求めよう．

(1)　不等式(*)において，xは対数の底であるから
x>セ かつ x≠ソ
を満たさなければならない．また
logx 27=.タlog3xnnnn である．

(2)　不等式(*)は
　セ<x<ソのとき
チ(log3 x)2−ツlog3 x−テト≧0
　x>ソのとき
チ(log3 x)2−ツlog3 x−テト≦0
と変形できる．したがって，求めるxの値の範囲は セ<x≦..√ナ√nnniニnnnnn, ソ<x≦ヌネ である．

【センター試験 2007年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1]　不等式
sin 2x>.√2√nicos(x+.π4n)+.12n
を満たすxの範囲を求めよう．ただし，0≦x<2πとする．
a=sin x, b=cos xとおくと，与えられた不等式は
アab+イa−ウb−1>0
となる．左辺の因数分解を利用してxの範囲を求めると
.πエnnn<x<.オカnnnπまたは.キクnnnπ<x<.ケコnnnπ である．

[2]　不等式
2+log.√y√ni3<log y81+2 log y(1−.x2n)
の表す領域を求めよう．
　yと.√y√niは対数の底であるからy>サ, y≠シである．真数は正であるからx<スである．ただし，対数logabに対し，aを底といい，bを真数という．
　また
log.√y√ni3=.セlog3ynnnn, logy81=.ソlog3ynnnn
であるから，与えられた不等式は 1<.タlog3ynnnn+.log3(1−.x2n)log3ynnnnnnnnn
となる．よって y>チのとき，log3y<log3{ ツ(1−.x2n)}
テ<y<チのとき，log3y>log3{ ツ(1−.x2n)}
となる．
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【センター試験 2008年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1]　実数x, yは
……(*)
を満たしている．このとき K=.5y3n+3−log10x
の最小値を求めよう．
　真数の条件によりx>アである．ただし，対数logabに対し，aを底といい，bを真数という．次に，(*)により
5y=イ·3log10x−1
である．z=3log10xとおくと，5y>0であるから，zのとり得る値の範囲は
z>.ウエnnn
となる．さらに K=z+.オznnn−.1カnnn
となるから，Kはz=キのとき，最小値.クケnnnをとる．このと
き，x=コ , y=logサシである．

[2]　aを正の定数とする．点Oを原点とする座標平面において，中心がOで，半径が1の円と半径が2の円をそれぞれC1 , C2とする．θ≧0を満たす実数θに対して，角aθの動径
とC1との交点をPとし，角.π2n−.θ3nの動径とC2との交点をQと
する．ここで，動径はOを中心とし，その始線はx軸の正の部分とする．

(1)　θ=πのとき，Qの座標は( .√ス√nnni, セ)である．

(2)　３点O, P, Qがこの順に一直線上にあるような最小のθの値は .ソタa+チnnnnnnnnπ である．θが
0≦θ≦.ソタa+チnnnnnnnnπ の範囲を動くとき，円C2において点Qの軌跡を弧とする扇(おうぎ)形の面積は
.ツテa+トnnnnnnnπ である．
(3)　線分PQの長さの２乗PQ2は
ナ−ニsin(.ヌa+ネノnnnnnnnnθ) である．

(4)　xの関数f(x)を f(x)=ナ−ニsin(.ヌa+ネノnnnnnnnnx) とおき，f(x)の正の周期のうち最小のものが4πであるとすると， a=.ハヒnnである．

【センター試験 2009年度：数学II・Ｂ（本試験） 第１問】
[1]　x≧2, y≧2, 8≦xy≦16のとき，z=log2.√x√ni+log2 yの最大値を求めよう．
　　s=log2x , t=log2 yとおくと，s, t, s+tのとり得る値の範囲はそれぞれ
s≧ア , t≧ア , イ≦s+t≦ウ
となる．また
z=.エオnn s+t
が成り立つから，zはs=カ , t=キのとき最大値.クケnnをとる． したがって，zはx=コ , y=サのとき最大値.クケnnをとる．

[2]　0≦θ<2πの範囲で
5 sin θ−3 cos 2θ=3 ……(*)
を満たすθについて考えよう．
　方程式(*)をsin θを用いて表すと
シsin2θ+5 sinθ−ス=0
となる．したがって，−1≦sin θ≦1より
sinθ=.セソnn
であり，0≦θ<2πの範囲での範囲でこの等式を満たすθのうち，小さい方をθ1，大きい方をθ2とすると cosθ1=..√タ√nnniソnnnn , cosθ2=.チ.√タ√nnniソnnnnnnn
である．
　θ1について不等式ツが成り立つ．ツに当てはまるものを，次の0～5のうちから一つ選べ． 0 0<θ1<.π12nn 1 .π12nn<θ1<.π6n 2 .π6n<θ1<.π5n 3 .π5n<θ1<.π4n 4 .π4n<θ1<.π3n 5 .π3n<θ1<.π2n ただし，必要ならば，次の値 cos.π5n=.1+.√5√ni4nnnn , cos.π12nn=..√6√ni+.√2√ni4nnnnnn を用いてもよい．
　さらに，不等式nθ1>θ2を満たす自然数nのうち最小のものはテである．