累乗根

※高校数学Ⅱの「指数関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓負の指数
↓同(2)

↓指数法則
↓同(2)
↓理科における有効数字の表し方

↓累乗根

↓同(2)
↓分数の指数
↓同(2)
↓a^x+a^−xの値

↓指数関数のグラフ
↓指数と大小比較
↓ｎ乗比較

↓指数方程式
↓同(2)
↓指数不等式

指数が対数のもの

X^{n} = a (a > 0)

となる元の数Xをaのn乗根といい，

\sqrt[n]{a}

で表す．
すなわち，

［累乗根の定義］：

X^{n} = a \leftarrow\to X = \sqrt[n]{a}

（覚え方：漫才コンビの荷物）
Xが肩の荷物を降ろして楽になると，相方aの手のひらに荷物が乗る．→

\sqrt[n]{a}

(　は　　ではなく，　を表わします。)

【例】
2³=8　だから　=2
3²=9　だから　=3　(省略すれば２乗根)

　だから　

(-2)⁵=-32　だから　

【例】
(1)　

\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{6}

，

\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8}

= \sqrt[3]{2^{3}} = 2

(2)　

\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{4}{2}} = \sqrt[3]{2}

，

\frac{\sqrt[4]{96}}{\sqrt[4]{6}} = \sqrt[4]{\frac{96}{6}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^{4}} = 2

(3)　

(\sqrt[3]{2})^{6} = (\sqrt[3]{2}) (\sqrt[3]{2}) (\sqrt[3]{2}) \times (\sqrt[3]{2}) (\sqrt[3]{2}) (\sqrt[3]{2}) = 2^{2}

\sqrt[3]{2^{6}} = \sqrt[3]{2^{2} \times 2^{2} \times 2^{2}} = 2^{2}

だから

(\sqrt[3]{2})^{6} = \sqrt[3]{2^{6}}

(4)　

\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt{\sqrt[3]{4^{3}}} = \sqrt{4} = 2

\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^{6}} = 2

だから

\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64}

ここで

\sqrt{a}

は

\sqrt[2]{a}

であることに注意
(5)　

(\sqrt[6]{2^{4}})^{6} = 2^{4}

(\sqrt[3]{2^{2}})^{6} = 2^{2} \times 2^{2} = 2^{4}

だから

\sqrt[6]{2^{4}} = \sqrt[3]{2^{2}}

※重要※
上記の累乗根の性質(1)～(5)のうち単純なものは使いますが，後に登場する分数指数を用いた計算の方が楽です。
　教科書においても，累乗根の性質の練習問題は取り扱いが薄いようです。
　ただし，問題と解答は累乗根形式に指定されていることがあります。

※筆者おすすめの方法※

\sqrt[n]{a^{n}} = a

　(a>0)

X^{n} = a (a > 0)

となる元の数Xをaのn乗根といい，

\sqrt[n]{a}

で表す．
すなわち，

［累乗根の定義］：

X^{n} = a \leftarrow\to X = \sqrt[n]{a}

これを右辺が

a^{n} (a > 0)

の場合に適用すると

X^{n} = a^{n} \to X = \sqrt[n]{a^{n}}

↓

X = a

したがって

\sqrt[n]{a^{n}} = a

左から一つクリックし，続けて右から「対応するもの」をクリックすると，正答なら問題と答が消えます．
正答の場合でも誤答の場合でも，解答すれば［解説］というボタンが出ますので，答を確かめることができます．

\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^{3}} = 2

\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3

\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \sqrt[3]{(\frac{1}{4})^{3}} = \frac{1}{4}

\sqrt[5]{100000} = \sqrt[5]{10^{5}} = 10

\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \times 3^{3}} = 3 \sqrt[3]{2}

\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{2})^{4}} = \frac{3}{2}

\sqrt[3]{\frac{32}{27}} = \sqrt[3]{\frac{2^{5}}{3^{3}}} = \frac{2}{3} \sqrt[3]{2^{2}} = \frac{2}{3} \sqrt[3]{4}

→閉じる←

\sqrt[3]{x^{3} y^{2}} = x \sqrt[3]{y^{2}}

\sqrt[3]{x y^{3}} = y \sqrt[3]{x}

\sqrt[4]{x^{6} y^{3}} = x \sqrt[4]{x^{2} y^{3}}

\sqrt[4]{x^{2} y^{5}} = y \sqrt[4]{x^{2} y}

\sqrt[5]{x^{10} y^{6}} = x^{2} y \sqrt[5]{y}

\sqrt[5]{x^{5} y^{11}} = x y^{2} \sqrt[5]{y}

\sqrt[3]{x^{4} y} = x \sqrt[3]{x y}

→閉じる←

とても分かりやす方ですこの単元の問題数増やしたり、一問一答形式にしてくれたらもっとうれしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

計算問題は、一対一ではなくて、残るような設定でないと簡単ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は簡単な問題を扱っているから簡単なのです．それができるようになったら次の頁に進むのです．

髫ｨ�ｳ陋ｹ�ｺ隴ｫ螟撰ｿｽ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髯溷私�ｽ�｢驛｢�ｧ陋幢ｽｵ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ邇厄ｽｫ�｢雋企ｳｶ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｯ髯ｷ闌ｨ�ｽ�ｨ鬯ｩ蟷｢�ｽ�ｨ鬮ｫ�ｱ�ｽ�ｭ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ陝ｶ蜷ｮﾂ�ｻ驛｢�ｧ郢ｧ�ｽ�ｽ閾･�ｸ�ｺ�ｽ�｣驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｼ�ｽ�ｽ
髫ｨ�ｳ陋ｹ�ｺ隨渉髫ｲ�ｽ�ｽ�ｳ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髯ｷﾂ�ｽ�ｽ邵ｲ謚ｵ�ｿ�ｽ陟募ｨｯ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髯懶ｿｽ陜楢ｶ｣�ｽ�｡陟募ｨｯﾂ�ｲ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｩ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ邵ｲ蝣､�ｸ�ｺ郢ｧ�ｽ螟｢驍ｵ�ｺ雋�ｼ会ｽｰ驛｢�ｧ陷ｻ闌ｨ�ｽ�ｭ�ｽ�｣鬩墓慣�ｽ�ｺ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ髫ｴ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｧ髣費ｽｨ隴擾ｽｴ遶擾ｽｴ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ隨ｳ�ｽ�ｸ�ｺ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ隨ｳ�ｽ�ｬ�ｾ�ｽ�ｹ髯懈ｻゑｽｿ�ｽ�ｽ�ｦ遶擾ｽｵ隰泌調�ｸ�ｺ�ｽ�ｫ髯晢ｿｽ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ陷会ｽｱ遯ｶ�ｻ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｯ�ｽ�ｽ隰疲ｺｷ�ｺ�ｽ螯呻ｿｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ鬯ｮ�ｯ髣企ｯ会ｽｽ鬘俶ｱ橸ｿｽ�ｾ髯滂ｽ｢隲帛ｲｩ�ｽ驛｢�ｧ闕ｵ譎｢�ｽ閧ｲ�ｸ�ｺ�ｽ�ｽ遶企豪�ｸ�ｺ陷会ｽｱ遯ｶ�ｻ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｼ髮懶ｽ｣�ｽ�ｼ鬩包ｽｺ�つ�ｽ�ｻ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ驍ｵ�ｺ陞ゑｿｽ�ｽ�ｼ隴ｴ�ｧ陋ｻ�､髫ｰ�ｦ�ｽ�ｽ陜趣ｽｪ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ髫ｴ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ驍ｵ�ｺ�ｽ�｣驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ邇匁捗�ｽ�ｴ髯ｷ�ｷ陋ｹ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ陟募ｨｯ關ｽ驛｢�ｧ陟暮ｯ会ｽｽ螳壽ｦ�ｽ�ｬ鬯ｮ�｢闕ｵ譏ｶ�ｽ驛｢�ｧ闕ｵ譏ｶ�ｽ鬩包ｽｲ�ｽ�ｽ�つ�ｽ�ｽ隨�ｽ｡驍ｵ�ｺ闔会ｽ｣邵ｲ蝣､�ｸ�ｺ�ｽ�ｪ驍ｵ�ｺ陷托ｽｰ�ｽ�ｪ�ｽ�ｭ鬮｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ繧句擅�ｽ�ｭ驛｢�ｧ�つ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜷ｮ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ驛｢�ｧ驗呻ｽｫ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陷ｷ�ｶ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ隴ｴ�ｧ雎撰ｽｻ鬨ｾ蛹�ｽｽ�ｨ驍ｵ�ｺ陷会ｽｱ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陝ｶ蜻ｻ�ｽ髮｣�ｿ�ｽ髮懶ｽ｣�ｽ�ｼ�ｽ�ｽ

■要点■ $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ 　(a>0) $X^{n} = a (a > 0)$ となる元の数Xをaのn乗根といい， $\sqrt[n]{a}$ で表す．すなわち，［累乗根の定義］： $X^{n} = a \leftarrow\to X = \sqrt[n]{a}$ これを右辺が $a^{n} (a > 0)$ の場合に適用すると $X^{n} = a^{n} \to X = \sqrt[n]{a^{n}}$ $↓$ $X = a$ したがって $\sqrt[n]{a^{n}} = a$
※以下では，極簡単なものだけを取り上げています。複雑な計算問題は，上の解説でも述べたように「分数指数」で行う方が有利です。【問題１】　左の式の値に等しいものを右から選びなさい．左から一つクリックし，続けて右から「対応するもの」をクリックすると，正答なら問題と答が消えます．正答の場合でも誤答の場合でも，解答すれば［解説］というボタンが出ますので，答を確かめることができます．

解説 $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^{3}} = 2$ $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3$ $\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \sqrt[3]{(\frac{1}{4})^{3}} = \frac{1}{4}$ $\sqrt[5]{100000} = \sqrt[5]{10^{5}} = 10$ $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \times 3^{3}} = 3 \sqrt[3]{2}$ $\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{2})^{4}} = \frac{3}{2}$ $\sqrt[3]{\frac{32}{27}} = \sqrt[3]{\frac{2^{5}}{3^{3}}} = \frac{2}{3} \sqrt[3]{2^{2}} = \frac{2}{3} \sqrt[3]{4}$ →閉じる←

【問題２】　ｘ，ｙ＞0のとき，左の式の値に等しいものを右から選びなさい．左から一つクリックし，続けて右から「対応するもの」をクリックすると，正答なら問題と答が消えます．正答の場合でも誤答の場合でも，解答すれば［解説］というボタンが出ますので，答を確かめることができます．

解説 $\sqrt[3]{x^{3} y^{2}} = x \sqrt[3]{y^{2}}$ $\sqrt[3]{x y^{3}} = y \sqrt[3]{x}$ $\sqrt[4]{x^{6} y^{3}} = x \sqrt[4]{x^{2} y^{3}}$ $\sqrt[4]{x^{2} y^{5}} = y \sqrt[4]{x^{2} y}$ $\sqrt[5]{x^{10} y^{6}} = x^{2} y \sqrt[5]{y}$ $\sqrt[5]{x^{5} y^{11}} = x y^{2} \sqrt[5]{y}$ $\sqrt[3]{x^{4} y} = x \sqrt[3]{x y}$ →閉じる←