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※中学３年生向け「因数分解」について，このサイトには次の教材があります． この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です．  ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る |
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【公式】 x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b) 〇この公式を丸暗記しても，実際の問題を解けるようにはならないでしょう． ◎積がabとなる数字を先に考えて，その中から和がa+bとなる組を探すのがポイント
和を先に考えると，理論上は無限通りの組合せがあって絞りきれなくなります
〇結果を暗記するのではなく，「やり方が身に着くまで練習する」ことが重要です．
【例１】
（解答）x2+5x+6を因数分解するには 積が6となる数字(1,6),(2,3),(−1,−6),(−2,−3)を先に考えます その中から和が5となるのは2と3の組だから x2+5x+6=(x+2)(x+3)とします．
【例２】
（解答）x2−5x+6を因数分解するには 積が6となる数字は(1,6),(2,3),(−1,−6),(−2,−3)ですが その中で和が−5となるのは「負の数の組」です． だから(−1,−6),(−2,−3)の組だけを調べます． (−1)+(−6)=−7 → 合わない (−2)+(−3)=−5 → 合う x2−5x+6=(x−2)(x−3)とします．
【例３】
（解答）x2+2x−8を因数分解するには 積が−8となる数字は，符号の異なる正負の数の組です．
(1,−8),(2,−4),(4,−2),(8,−1)が考えられますが
その中で和が+2，すなわち「正の数」となるのは，正の数の方が『強い』場合です．
ここでは俗世間的に覚えやすいように『強い』と言いましたが，数学的には「絶対値」=「符号を取り除いた数」が大きいということになるのでしょう．
「符号を取り除いた数」で「正の数」が強い方を選べばよいことになります．すなわち， 2と−4では(2)+(−4)=−2となって，−4が強いから負の数になる． −2と4では(−2)+(4)=2となって，4が強いから正の数になると考えると， (4)+(−2)=2 → 合う (8)+(−1)=7 → 合わない x2+2x−8=(x+4)(x−2)とします．
【例４】
（解答）x2−2x−8を因数分解するには 積が−8となる数字は，符号の異なる正負の数の組です．
(1,−8),(2,−4),(4,−2),(8,−1)が考えられますが
その中で和が−2，すなわち「負の数」となるのは，負の数の方が『強い』場合です．「符号を取り除いた数」で「負の数」が強い方を選べばよいことになります． (1)+(−8)=−7 → 合わない (2)+(−4)=−2 → 合う x2−2x−8=(x+2)(x−4)とします．
【要約】
x2+和x+積
の形（定数項が積，１次の係数は和）から「２つの数」を求めるときの符号一覧
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この頁では，求める２数が共に整数となる基本の問題を扱っています．分数・小数が含まれる問題は，これよりも後の頁を見てください．
【問題１】 次の式を因数分解してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
(1)
x2−x−6
はじめに，積が定数項の−6に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が負の数−6になるのは，異なる符号の２つの数の組です．
次に，それらの組の中で和がxの１次の係数−1に等しくなるものを探す
1,−6組，2,−3組，3,−2組，6,−1組があります．
和が負の数になるのは，負の数の方が『強い』場合
以上により，積が−6，和が−1となる２数は2,−3の組(1)+(−6)=−5 → 等しくない (2)+(−3)=−1 → 等しい (x+2)(x−3)…（答） |
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(2)
x2+x−6
はじめに，積が定数項の−6に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が負の数−6になるのは，異なる符号の２つの数の組です．
次に，それらの組の中で和がxの１次の係数1に等しくなるものを探す
1,−6組，2,−3組，3,−2組，6,−1組があります．
和が正の数になるのは，正の数の方が『強い』場合
以上により，積が−6，和が1となる２数は3,−2の組(3)+(−2)=1 → 等しい (6)+(−1)=5 → 等しくない (x−2)(x+3)…（答） |
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(3)
x2−7x+12
はじめに，積が定数項の12に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が正の数12になるのは，同符号の２つの数の組です．そのうちで和が負の数になるのは負と負です.
次に，それらの組の中で和が−7に等しくなるものを探す
−1,−12組，−2,−6組，−3,−4組があります．
(−1)+(−12)=−13 → 等しくない
以上により，積が12，和が−7となる２数は−3,−4の組(−2)+(−6)=−8 → 等しくない (−3)+(−4)=−7 → 等しい (x−3)(x−4)…（答） |
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(4)
x2+7x+10
はじめに，積が定数項の10に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が正の数10になるのは，同符号の２つの数の組です．そのうちで和が正の数になるのは正と正です.
次に，それらの組の中で和が7に等しくなるものを探す
1,10組，2,5組があります．
1+10=11 → 等しくない
以上により，積が10，和が7となる２数は2,5の組2+5=7 → 等しい (x+2)(x+5)…（答） |
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【問題２】 次の式を因数分解してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
(1)
x2−2x−35
はじめに，積が定数項の−35に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が負の数−35になるのは，異なる符号の２つの数の組です．
次に，それらの組の中で和がxの１次の係数−2に等しくなるものを探す
1,−35組，5,−7組，7,−5組，35,−1組があります．
和が負の数になるのは，負の数の方が『強い』場合
以上により，積が−35，和が−2となる２数は5,−7の組(1)+(−35)=−34 → 等しくない (5)+(−7)=−2 → 等しい (x+5)(x−7)…（答） |
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(2)
x2−8x+12
はじめに，積が定数項の12に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が正の数12になるのは，同符号の２つの数の組です．そのうちで和が負の数になるのは負と負です.
次に，それらの組の中で和が−8に等しくなるものを探す
−1,−12組，−2,−6組，−3,−4組があります．
(−1)+(−12)=−13 → 等しくない
以上により，積が12，和が−8となる２数は−2,−6の組(−2)+(−6)=−8 → 等しい (−3)+(−4)=−7 → 等しくない (x−2)(x−6)…（答） |
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(3)
x2+2x−8
はじめに，積が定数項の−8に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が負の数−8になるのは，異なる符号の２つの数の組です．
次に，それらの組の中で和がxの１次の係数2に等しくなるものを探す
1,−8組，2,−4組，4,−2組，8,−1組があります．
和が正の数になるのは，正の数の方が『強い』場合
以上により，積が−8，和が2となる２数は4,−2の組(4)+(−2)=2 → 等しい (8)+(−1)=7 → 等しくない (x−2)(x+4)…（答） |
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(4)
x2−8x+15
はじめに，積が定数項の15に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が正の数15になるのは，同符号の２つの数の組です．そのうちで和が負の数になるのは負と負です.
次に，それらの組の中で和が−8に等しくなるものを探す
−1,−15組，−3,−5組があります．
(−1)+(−15)=−16 → 等しくない
以上により，積が15，和が−8となる２数は−3,−5の組(−3)+(−5)=−8 → 等しい (x−3)(x−5)…（答） |
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【問題３】 次の式を因数分解してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
(1)
x2+11x+28
はじめに，積が定数項の28に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が正の数28になるのは，同符号の２つの数の組です．そのうちで和が正の数になるのは正と正です.
次に，それらの組の中で和が11に等しくなるものを探す
1,28組，2,14組，4,7組があります．
1+28=29 → 等しくない
以上により，積が28，和が11となる２数は4,7の組2+14=16 → 等しくない 4+7=11 → 等しい (x+4)(x+7)…（答） |
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(2)
x2+11x−60
はじめに，積が定数項の−60に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が負の数−60になるのは，異なる符号の２つの数の組です．
次に，それらの組の中で和がxの１次の係数11に等しくなるものを探す
ただし，和が正の数になるのは，正の数の方が『強い』場合 60,−1組，30,−2組，15,−4組，12,−5組， 10,−6組があります．
(15)+(−4)=11 → 等しい
以上により，積が−60，和が11となる２数は15,−4の組他は等しくない (x−4)(x+15)…（答） |
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(3)
x2+2x−48
はじめに，積が定数項の−48に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が負の数−48になるのは，異なる符号の２つの数の組です．
次に，それらの組の中で和がxの１次の係数2に等しくなるものを探す
ただし，和が正の数になるのは，正の数の方が『強い』場合 48,−1組，24,−2組，12,−4組，8,−6組があります．
(8)+(−6)=2 → 等しい
以上により，積が−48，和が2となる２数は8,−6の組他は等しくない (x−6)(x+8)…（答） |
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(4)
x2−25x+144
はじめに，積が定数項の144に等しくなる２つの整数の組を考えます．
積が正の数144になるのは，同符号の２つの数の組です．そのうちで和が負の数になるのは負と負です.
次に，それらの組の中で和が−25に等しくなるものを探す
−1,−144組，−2,−72組，−3,−48組， −4,−36組，−6,−24組，−8,−18組， −9,−16組， −12,−12組があります．
(−9)+(−16)=−25 → 等しい
以上により，積が144，和が−25となる２数は−9,−16の組他は等しくない (x−9)(x−16)…（答） |
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