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【公式】 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) ◎積がabとなる数字を先に考えて,その中から和がa+bとなる組を探すのがポイント (逆にすると,理論上は無限通りの組合せがあって絞りきれなくなります) 【例】 x2+5x+6を因数分解するには 積が6となる数字(1,6),(2,3),(−1,−6),(−2,−3)を先に考えます…[順序を逆にしたものは組としては同じなので2回も数えない] その中から和が5となるのは2と3の組だから x2+5x+6=(x+2)(x+3)とします. ※もしも,和が5となる数字を先に考えると,(0,5),(1,4),(2,3)だけでは終わらず(−1,6),(−2,7),(−3,8),...のように組合せは限りなくあることになり,絞りきれません. |
この頁では,求める2数が共に正の整数となる基本の問題を扱っています.負の整数が含まれる場合や分数・小数が含まれる問題は,これよりも後の頁を見てください.
【問題1】 次の式を因数分解してください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
x2+3x+2
はじめに,積が定数項の2に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1, 2の組と−1, −2の組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数3に等しくなるものを探す
(組だけを考えればよく順序を逆にしたものは別に数えない:2, 1組や−2, −1組は上の組に入っていると考える)
1+2=3 → 等しい
以上により,積が2,和が3となる2数は1, 2の組(−1)+(−2)=−3 → 等しくない (x+1)(x+2)…(答) |
(2)
x2+4x+3
はじめに,積が定数項の3に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1, 3の組と−1, −3の組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数4に等しくなるものを探す
1+3=4 → 等しい
以上により,積が3,和が4となる2数は1, 3の組(−1)+(−3)=−4 → 等しくない (x+1)(x+3)…(答) |
(3)
x2+2x+3
はじめに,積が定数項の3に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1, 3の組と−1, −3の組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数2に等しくなるものを探す
1+3=4 → 等しくない
以上により,積が3,和が2となる2数は見つからないから(−1)+(−3)=−4 → 等しくない 因数分解できない…(答) (※このような場合,中学では因数分解できないということまでで終わりですが,高校では虚数を使って因数分解します.) (※中学生として覚えておくべきことは,因数分解できない式もあるということです.他の例:x2+1) |
(4)
x2+5x+4
はじめに,積が定数項の4に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1,4組,2,2組,−1, −4組,−2, −2組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数5に等しくなるものを探す
1+4=5 → 等しい
以上により,積が4,和が5となる2数は1, 4の組2+2=4 → 等しくない (−1)+(−4)=−5 → 等しくない (−2)+(−2)=−4 → 等しくない (x+1)(x+4)…(答) |
【問題2】 次の式を因数分解してください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
x2+5x+6
はじめに,積が定数項の6に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1,6組,2,3組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数5に等しくなるものを探す
(2数とも負の数にした組もあるが,それらの和は負の数になって,次に和で合わなくなるから,ここでは除外する)
1+6=7 → 等しくない
以上により,積が6,和が5となる2数は2,3の組2+3=5 → 等しい (x+2)(x+3)…(答) |
(2)
x2+6x+5
はじめに,積が定数項の5に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1,5の組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数6に等しくなるものを探す
(2数とも負の数にした組もあるが,それらの和は負の数になって,次に和で合わなくなるから,ここでは除外する)
1+5=6 → 等しい
以上により,積が5,和が6となる2数は1,5の組(x+1)(x+5)…(答) |
(3)
x2+4x+5
はじめに,積が定数項の5に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1,5の組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数4に等しくなるものを探す
(2数とも負の数にした組もあるが,それらの和は負の数になって,次に和で合わなくなるから,ここでは除外する)
1+5=6 → 等しくない
以上により,積が5,和が4となる2数は見つからないから因数分解できない…(答) (※このような場合,中学では因数分解できないということまでで終わりですが,高校では虚数を使って因数分解します.) (※中学生として覚えておくべきことは,因数分解できない式もあるということです.他の例:x2+5) |
(4)
x2+6x+8
はじめに,積が定数項の8に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1,8組,2,4組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数6に等しくなるものを探す
(2数とも負の数にした組もあるが,それらの和は負の数になって,次に和で合わなくなるから,ここでは除外する)
1+8=9 → 等しくない
以上により,積が8,和が6となる2数は2,4の組2+4=6 → 等しい (x+2)(x+4)…(答) |
【問題3】 次の式を因数分解してください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
x2+15x+54
はじめに,積が定数項の54に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1,54組,2,27組,3,18組,6,9組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数15に等しくなるものを探す
(2数とも負の数にした組もあるが,それらの和は負の数になって,次に和で合わなくなるから,ここでは除外する)
1+54=55 → 等しくない
以上により,積が54,和が15となる2数は6,9の組2+27=29 → 等しくない 3+18=21 → 等しくない 6+9=15 → 等しい (x+6)(x+9)…(答) |
(2)
x2+15x+56
はじめに,積が定数項の56に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1,56組,2,28組,4,14組,7,8組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数15に等しくなるものを探す
(2数とも負の数にした組もあるが,それらの和は負の数になって,次に和で合わなくなるから,ここでは除外する)
1+56=57 → 等しくない
以上により,積が56,和が15となる2数は7,8の組2+28=30 → 等しくない 4+14=18 → 等しくない 7+8=15 → 等しい (x+7)(x+8)…(答) |
(3)
x2+13x+12
はじめに,積が定数項の12に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1,12組,2,6組,3,4組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数13に等しくなるものを探す
(2数とも負の数にした組もあるが,それらの和は負の数になって,次に和で合わなくなるから,ここでは除外する)
1+12=13 → 等しい
以上により,積が12,和が13となる2数は1,12の組2+6=8 → 等しくない 3+4=7 → 等しくない (x+1)(x+12)…(答) |
(4)
x2+20x+36
はじめに,積が定数項の36に等しくなる2つの整数の組を考えます.
1,36組,2,18組,3,12組,4,9組,6,6組があります.
次に,それらの組の中で和がxの1次の係数20に等しくなるものを探す
(2数とも負の数にした組もあるが,それらの和は負の数になって,次に和で合わなくなるから,ここでは除外する)
1+36=37 → 等しくない
以上により,積が36,和が20となる2数は2,18の組2+18=20 → 等しい 3+12=15 → 等しくない 4+9=13 → 等しくない 6+6=12 → 等しくない (x+2)(x+18)…(答) |
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