maximaの初歩的な操作9･･･無理関数の不定積分

== maximaの初歩的な操作9 ==
･･･無理関数の不定積分･･･
○Xmaxima，wxMaxima のインストール方法，基本操作については［この頁］参照

○Xmaximaでは，数式がアスキーアート風に出力されることが多い．wxMaximaでは数学で通常用いる記号に近い形で結果が示される．以下ではwxMaiximaを用いた場合の積分計算の例と答を示す．

○wxMaximaで関数の不定積分を求めるには，メニューから［微積分］→［積分］を選び，対話型メニューに「関数」「変数」を入力して（定積分にチェックを付けないで）「ＯＫ」ボタンを押すと
integrate(..., x)
のように，入力すべき式が書き込まれるようになっている．画面上で (%inn) の右にある入力欄を直接書き換えてもよい．

　入力に当たっては，2xなどの書き慣れた記号を2*xと書かなければならないことに注意しましょう．

　以下においてはいずれも積分定数は省略されている．

■教科書や問題集でよく出会う公式

【無理関数の不定積分】

(1)　 $\int \sqrt{ax+ b} dx$

○wxMaximaでの入力例
integrate(sqrt(a*x+b), x);
さらに，得られた結果(%)に対して根号を含む式を整理する関数 radcan() を実行した場合
radcan(%);
○結果
$\frac{2(ax+ b)^{\frac{3}{2}}}{3a}$ （積分定数は省略される［以下同様］）

$\frac{\sqrt{ax+ b}(2ax+ 2b)}{3a}$

(2)　 $\int x\sqrt{ax+ b} dx$

○wxMaximaでの入力例
integrate(x*sqrt(a*x+b), x);
さらに，得られた結果(%)に対して整式や分数式を整理する関数 ratsimp() を実行した場合
ratsimp(%);

筆算で行う場合は，
$\sqrt{ax+ b}=t$
または
$ax+ b=t$
による置換積分でできる．

○結果
$\frac{2(ax+ b)^{\frac{5}{2}}}{5a^2}-\frac{2b(ax+ b)^{\frac{3}{2}}}{3a^2}$

$\frac{\sqrt{ax+ b}(6a^2x^2+ 2abx-4b^2)}{15a^2}$

(3)　 $\int (x+ a)\sqrt[3]{x+ b} dx$

○wxMaximaでの入力例
integrate((x+a)*(x+b)^(1/3), x);

筆算で行う場合は，
$\sqrt[3]{ax+ b}=t$
による置換積分でできる．

○結果
$\frac{3(4(x+ b)^{\frac{7}{3}} + (7a-7b)(x+ b)^{\frac{4}{3}})}{28}$

(4)　 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$ (a>0)

○wxMaximaでの入力例
a>0の仮定は，assume( )で入力できます．
assume(a>0);
次に，不定積分のコマンドを実行します．
integrate(1/sqrt(a^2-x^2), x);

　この関数の不定積分は結果が逆三角関数になるので，高校数学で直接出題することはありませんが，定積分ではこの形の積分は出ます．
　Maximaでは逆三角関数sin−1xあるいはarcsinxを asin x で表すので，この結果を通常の表記で書くと，
$\sin^{-1}\frac{x}{a}$
になります．
　筆算で行うには，x=a×sintとおいて置換積分します．
（なお $-\frac{\pi}{2}\leq t \leq \frac{\pi}{2}$ の区間を使えばcost≧0です）
$\int \frac{1}{a\cos t}a\cos t\cdot dt=\int dt=t+ C$
となりますが，この変数tを元の変数xに戻すときに逆三角関数が登場します．
$x=a\sin t\leftarrow \rightarrow t=\sin^{-1}\frac{x}{a}$

○結果
$asin(\frac{x}{a})$

(5)　 $\int \sqrt{a^2-x^2} dx$ (a>0)

○wxMaximaでの入力例
a>0の仮定は，assume( )で入力できます．
assume(a>0);
次に，不定積分のコマンドを実行します．
integrate(sqrt(a^2-x^2), x);

　この不定積分も結果が逆三角関数になるので，高校数学で直接出題することはありませんが，定積分ではこの形の積分は出ます．
　筆算で行うには，x=asintとおいて置換積分し，半角公式を使ってまとめます．

○結果
$\frac{a^2 asin(\frac{x}{a})}{2}+ \frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}$
a と asin が紛らわしいですが，通常の書き方に直せば
$\frac{a^2 sin^{-1}(\frac{x}{a})}{2}+ \frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}$
を表しています．

●やや複雑な計算になるもの

(6)　 $\int \sqrt{x^2+ A} dx$

○wxMaximaでの入力例
integrate(sqrt(x^2+A), x);
このときAが正であるか負であるかによって結果が変わるので，次のメッセージが出ます．
Is A positive or negative?
メッセージの直後に p を入力して，Shift + Enter を押すと（ A>0 の場合の結果が得られます）
○結果
$\frac{x\sqrt{A+ x^2}}{2}+ \frac{asinh(\frac{x}{\sqrt{A}})A}{2}$

双曲線関数 $\sinh y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ の逆関数 $\sinh^{-1} y=\log(x+ \sqrt{x^2+ 1})$ は，arsinh yと書かれることもあるが,Maximaではasinh yと書かれる．したがって，上の結果は
$\frac{x\sqrt{A+ x^2}}{2}+ \frac{A\log(\frac{x}{\sqrt{A}}+ \sqrt{\frac{x^2}{A}+ 1})}{2}$
$=\frac{x\sqrt{A+ x^2}}{2}+ \frac{A\log(\frac{x+\sqrt{x^2+ A}}{\sqrt{A}})}{2}$
$=\frac{x\sqrt{A+ x^2}}{2}+ \frac{A\log(x+\sqrt{x^2+ A})-\frac{1}{2}\log A}{2}$
ここで，最後の項を積分定数に含めてしまうと，高校の数学では次の形が好まれる．
$=\frac{x\sqrt{A+ x^2}}{2}+ \frac{A\log(x+\sqrt{x^2+ A})}{2}$ …(*)

再度，積分計算を実行してIs A positive or negative?のメッセージの直後に n を入力して，Shift + Enter を押すと A<0 の場合の結果が得られます．
$\frac{A\log(2\sqrt{A + x^2}+ 2x)}{2} + \frac{x\sqrt{A+ x^2}}{2}$
が得られるが，これは上の(*)と積分定数の差のみ異なるが同じ関数を表している．

(7)　 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+ A}} dx$ (A>0)

○wxMaximaでの入力例
integrate(1/sqrt(x^2+A), x);
このときAが正であるか負であるかによって結果が変わるので，次のメッセージが出ます．
Is A positive or negative?
メッセージの直後に p を入力して，Shift + Enter を押すと（ A>0 の場合の結果が得られます）
○結果
$asinh(\frac{x}{\sqrt{A}})$

双曲線関数 $\sinh y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ の逆関数 $\sinh^{-1} y=\log(x+ \sqrt{x^2+ 1})$ は，arsinh yと書かれることもあるが,Maximaではasinh yと書かれる．したがって，上の結果は
$\log\Bigl( \frac{x}{\sqrt{A}} + \sqrt{\frac{x^2}{A}+ 1}\Bigr)=\log \frac{x+ \sqrt{x^2+ A}}{\sqrt{A}}$
$=\log (x+ \sqrt{x^2+ A})-\frac{1}{2}\log (A)$
となるから，積分定数に定数項を含めると
$=\log (x+ \sqrt{x^2+ A})$ になる．
※高校では，通常この形を使う．

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