maximaの初歩的な操作14･･･三角関数の積分(2)

== maximaの初歩的な操作14 ==
･･･三角関数の積分(2)･･･
○Xmaxima，wxMaxima のインストール方法，基本操作については［この頁］参照

○Xmaximaでは，数式がアスキーアート風に出力されることが多い．wxMaximaでは数学で通常用いる記号に近い形で結果が示される．以下ではwxMaiximaを用いた場合の例と答を示す．

○wxMaximaでの入力
メニューから［微積分］→［積分］を選ぶと，対話型記入欄になるので
関数，変数を入力し，定積分にチェックを付ける．積分区間の下端，上端にπや∞などの記号定数を使うときは選択肢から選ぶこともできる．

○入力に当たっては，2xなどの書き慣れた記号を2*xと書かなければならないことに注意しましょう．べき乗（指数）を2^nなどと書くのは，TeXの書き方とほぼ同じ

【wxMaximaで定積分】

求めたい定積分	maximaでの入力	結果
m, nを整数とするとき $\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx dx$ $\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx$ $\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx dx$	declare(m, integer), declare(n,integer); → done ここまでの入力でm, nに何らかの仮定が入っていないかどうかを確かめると compare(m,n); → unknown is(m=n); → false integrate(sin(mx)sin(nx), x, -%pi, %pi); integrate(cos(mx)cos(nx), x, -%pi, %pi); integrate(sin(mx)cos(n*x), x, -%pi, %pi);	$0$ $0$ 数学の公式としては， (1) m≠nのとき $0$ (2) m=n(≠0)のとき $\pi$ 左のis(m=n); → falseから分かるように，この入力ではm≠nの場合の結果が示されている $0$ 最後の式はm≠n，m=nのいずれの場合でも０になる．

○maximaに少し複雑な定積分を解いてもらうには

（求めたい定積分） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+ \cos x}dx$	（wxMaximaの入力） integrate(1/(sin(x)+cos(x)), x, 0, %pi/2);
（結果） ▼この入力では結果が得られない ○三角関数の合成により分母を $\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$ に変形してから integrate(1/sqrt(2)*1/sin(x+%pi/4), x, 0, %pi/2); とすると $\frac{\log \Bigl(\frac{\sqrt{2}+ 2}{2} \Bigr)-\log \Bigl(-\frac{\sqrt{2}-2}{2} \Bigr)}{\sqrt{2}}$ まで得られる． ◎数学の答案としては（分子）= $\log(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\times \frac{2}{2-\sqrt{2}})=\log(\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}})$ $=\log(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1})$ $=\log(\frac{(\sqrt{2}+ 1)^2}{2-1})=2\log(\sqrt{2}+ 1)$ だから $\sqrt{2}\log(\sqrt{2}+ 1)$ がよい．
（求めたい定積分） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{3\sin x+ 4\cos x}dx$	（wxMaximaの入力） integrate(sin(x)/(3sin(x)+4cos(x)), x, 0, %pi/2);
（結果） ▼この入力では結果が得られない ○三角関数の合成により分母を $5\sin(x+\alpha)$ に変形してからすなわち， $3\sin x+ 4\cos x=5\sin(x+ \alpha)$ ここに， $\alpha$ は $\sin \alpha=\frac{4}{5},\cos \alpha=\frac{3}{5},(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2})$ となる角すなわち， $\alpha=\sin^{-1}\frac{4}{5}$ したがって，分母を $5\sin(x+ \sin^{-1}\frac{4}{5})$ にして Maximaでの入力を integrate(sin(x)/(5*sin(x+asin(4/5))), x, 0, %pi/2); とすると $\frac{\frac{4\log(\frac{4}{\sqrt{5}})+4\log(\frac{2}{\sqrt{5}})}{5}-\frac{8\log(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}})+ 8\log(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}})-3\pi}{10}}{5}$ まで得られる． ◎数学の答案としては，この式を変形して $\frac{16\log 2-8\log 3+ 3\pi}{50}$ とするのがよい． ※筆算による吟味 $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin x}{3\sin x+ 4\cos x}dx$ …(1) $J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos x}{3\sin x+ 4\cos x}dx$ …(2) とおくと $3I+ 4J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{3\sin x+ 4\cos x}{3\sin x+ 4\cos x}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2}$ …(3) $-4I+ 3J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{-4\sin x+ 3\cos x}{3\sin x+ 4\cos x}dx$ $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(3\sin x+ 4\cos x)'}{3\sin x+ 4\cos x}dx$ $=\Bigl[\log\|3\sin x+ 4\cos x\| \Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=\log 3-\log 4$ $=\log 3-2\log 2$ …(4) (3)×3-(4)×4 $25I=\frac{3\pi}{2}-4(\log 3-2\log 2)=\frac{3\pi-8\log 3+ 16\log 2}{2}$ $I=\frac{3\pi-8\log 3+ 16\log 2}{50}$

⇒　上記２つの例から

分母が三角関数の和差になっているときは，分母を合成してからmaximaにかけるとよい

○次のような定積分は高校数学でできる

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{3}+ 2\cos x} dx=\frac{\log 3}{2}$
$\int_0^{\infty} e^{-ax}\sin(bx) dx=\frac{b}{a^2+ b^2} (a\gt 0)$

○次のような定積分は高校数学では難しいのでMaximaで確かめるとよい

$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx=\frac{\pi}{2}$ $\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx=\frac{\pi}{2}$
$\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 x}{x^3} dx=\frac{3\pi}{8}$ $\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 x}{x^4} dx=\frac{\pi}{3}$

※次の積分は，フレネル積分と呼ばれ幾何光学の回折現象に関係している．
$\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x^2) dx= \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}}$
$\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x^2) dx= \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

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