maximaの初歩的な操作13･･･三角関数の積分

== maximaの初歩的な操作13 ==
･･･三角関数の積分･･･
○Xmaxima，wxMaxima のインストール方法，基本操作については［この頁］参照

○Xmaximaでは，数式がアスキーアート風に出力されることが多い．wxMaximaでは数学で通常用いる記号に近い形で結果が示される．以下ではwxMaiximaを用いた場合の例と答を示す．

○wxMaximaでの入力
メニューから［微積分］→［積分］を選ぶと，対話型記入欄になるので
関数，変数を入力し，定積分にチェックを付ける．積分区間の下端，上端にπや∞などの記号定数を使うときは選択肢から選ぶこともできる．

○入力に当たっては，2xなどの書き慣れた記号を2*xと書かなければならないことに注意しましょう．べき乗（指数）を2^nなどと書くのは，TeXの書き方とほぼ同じ

【wxMaximaで定積分】
○三角関数の積分

求めたい定積分	maximaでの入力	結果
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x dx$ nが3以上の奇数のとき $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n} x dx$ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx$ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx$ nが2以上の偶数のとき $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n} x dx$	integrate(sin(x), x, 0, %pi/2); integrate(sin(x)^3, x, 0, %pi/2); ｎを文字として，次のように入力した場合，ベータ関数を用いて形式的に表示されるだけで，右のような初等的な表現にはならない． integrate(sin(x)^n, x, 0, %pi/2); integrate(sin(x)^2, x, 0, %pi/2); integrate(sin(x)^4, x, 0, %pi/2); ｎを文字として，次のように入力した場合，ベータ関数を用いて形式的に表示されるだけで，右のような初等的な表現にはならない． integrate(sin(x)^n, x, 0, %pi/2); 筆算で求めるときは， $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n} x dx$ とおくと $I_0=\frac{\pi}{2},I_1=1,I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ が成り立つことから，順次次数の低いもので表す	$1$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdots (n-1)}{3 \cdot 5\cdot 7 \cdots (n)}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{3\pi}{16}$ $\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (n-1)}{2 \cdot 4\cdot 6 \cdots (n)}\cdot \frac{\pi}{2}$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n} x dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n} x dx$ が成り立つ（置換積分で示せる）ので，上記の結果は $\sin x$ を $\cos x$ に書き換えてもそのまま成り立つ．

○次の形は不定積分として計算できるので，差を取れば定積分になる．
ただし，積分区間に０が含まれると分母が０となって収束しないことがある．

求めたい不定積分	maximaでの入力	結果（※積分定数は省略）
$\int \frac{1}{\sin x} dx$	integrate(1/sin(x), x); ※あらかじめ logabs : true;	$\frac{log(\cos(x)-1)}{2}-\frac{log(\cos(x)+1)}{2}$ ※高校数学では，対数関数の真数が正の場合だけを扱う．cosx≦1に注意すると，左記の※のように対数が登場する積分計算では絶対値記号を付けるために logabs という変数の値を trueにしておくとよい．こうしておくと次の結果が得られる． $\frac{log\|\cos(x)-1\|}{2}-\frac{log\|\cos(x)+1\|}{2}$ 　筆算では次のようになる． $\frac{log(1-\cos x)}{2}-\frac{log(1+\cos x)}{2}=\frac{log(\frac{1-\cos x}{1+\cos x})}{2}$ $=\frac{log(\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2} })}{2}=\frac{1}{2}log(\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}})$ $=\frac{1}{2}\log(\tan^2\frac{x}{2})$ $=\log\|\tan\frac{x}{2}\|$
$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$	integrate(1/sin(x)^2, x);	$-\frac{1}{\tan x}$ この結果を逆に微分してみると，簡単に確かめられる．
$\int \frac{1}{\sin^3 x} dx$	integrate(1/sin(x)^3, x);	$-\frac{log\|\cos(x)+1\|}{4}+\frac{log\|\cos(x)-1\|}{4}}$ $+\frac{cos(x)}{2cos(x)^2-2}$ このあたりになると，なかなか覚えていられないが，次の漸化式において n=3 とした場合になっている．n=4,6,8,..の場合は $I_2$ に連なる． $I_n=\int \frac{1}{\sin^n x} dx$ とおくと $I_n= -\frac{1}{n-1}\cdot\frac{\cos x}{\sin ^{n-1}x}+ \frac{n-2}{n-1}I_{n-2}$
$\int \frac{1}{\cos x} dx$	logabs : true;はそれまでに一度実行してあればよい． integrate(1/cos(x), x);	$\frac{log\|\sin(x)+1\|}{2}-\frac{log\|\sin(x)-1\|}{2}$
$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx$	integrate(1/cos(x)^2, x);	$tan(x)$ これは重要公式なので，筆算でもできてほしい
$\int \frac{1}{\cos^3 x} dx$	integrate(1/cos(x)^3, x);	$\frac{log\|\sin(x)+1\|}{4}-\frac{log\|\sin(x)-1\|}{4}$ $-\frac{sin(x)}{2sin(x)^2-2}$ ※一般に次の漸化式が成り立つ． $I_n=\int \frac{1}{\cos^n x} dx$ とおくと $I_n=\frac{1}{n-1}\cdot\frac{\sin x}{\cos ^{n-1}x}+ \frac{n-2}{n-1}I_{n-2}$

$\int \frac{1}{1+\sin x} dx$	integrate(1/(1+sin(x)), x);	$-\frac{2}{\frac{sin(x)}{cos(x)+ 1}+ 1}$ 　…(*)
筆算では次のように答えるのが普通（積分定数は省略） $\int \frac{1}{1+\sin x} dx=\int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} dx$ $=\int \frac{1-\sin x}{cos^2 x} dx=\int \frac{1}{\cos^2 x}dx-\int \frac{\sin x}{cos^2 x}dx$ $=I-J$ とおく $I=\tan x$ Jはcosx=zの置換積分で求める $J=\int \frac{\sin x}{z^2 }\cdot \frac{dz}{-\sin x}=-\int \frac{dz}{z^2}$ $=\frac{1}{z}=\frac{1}{\cos x}$ $I-J=\tan x-\frac{1}{\cos x}$ 　…(*) コンピュータ計算による()と手計算による(*)は全然似ていない（積分定数の差異は一般にあり得る）．()はおそらく，内部処理として次の方法で計算されている． sinx , cosxの有理式（=分数式）を積分する場合に $\tan\frac{x}{2}=t$ とおくと $\sin x=\frac{2t}{1+ t^2}$ ， $\cos x=\frac{1-t^2}{1+ t^2}$ ， $dx=\frac{2}{1+ t^2}dt$ により，三角関数の積分が有理式（=分数式）の積分に直せる．この方法で計算した場合，()の途中経過は次のようになる $\int \frac{1}{1+\sin x} dx=\int \frac{1}{1+ \frac{2t}{1+ t^2}} \cdot \frac{2}{1+ t^2} \cdot dt=\int \frac{2}{t^2+ 2t + 1}dt$ $=\int \frac{2}{(t+ 1)^2}dt=-\frac{2}{t+1}=-\frac{2}{\tan\frac{x}{2} +1}$ ここで， $\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}}=\frac{\sin x}{\cos x+ 1}$ だから()が得られる ()と(*)は定数にして１だけ差異があるが，これを積分定数に含めると同じ結果を表している．
$\int \frac{1}{1+\cos x} dx$	integrate(1/(1+cos(x)), x);	$\frac{sin(x)}{cos(x)+ 1}$ 　…(*)
筆算では次のように答えるのが普通（積分定数は省略） $\frac{1-\cos x}{\sin x}$ 　…() また，公式集では次のように書かれている $\tan \frac{x}{2}$ 　…() ()←筆算での求め方 $\int \frac{1}{1+\cos x} dx=\int \frac{1-\cos x}{1-\cos^2 x} dx=\int \frac{1-\cos x}{\sin^2 x} dx$ $=\int \frac{1}{\sin^2 x} dx-\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}dx=I-J$ とおく $I=-\frac{1}{\tan x}$ Jはsinx=zの置換積分で求める $J=\int \frac{\cos x}{z^2 }\cdot \frac{dz}{\cos x}=\int \frac{dz}{z^2}=-\frac{1}{z}=-\frac{1}{\sin x}$ $I-J=-\frac{1}{\tan x}+ \frac{1}{\sin x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ ()と(*)が等しいこと証明 $\tan\frac{x}{2}=t$ とおくと $\sin x=\frac{2t}{1+ t^2}$ ， $\cos x=\frac{1-t^2}{1+ t^2}$ だから $\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{1-\frac{1-t^2}{1+ t^2}}{\frac{2t}{1+ t^2}}=\frac{1+ t^2-(1-t^2)}{2t}=\frac{2t^2}{2t}=t=\tan\frac{x}{2}$ ()と(***)が等しいこと証明同様にして $\tan\frac{x}{2}=t$ で表すと $\frac{\sin x}{\cos x+ 1}=\frac{\frac{2t}{1+ t^2}}{\frac{1-t^2}{1+ t^2}+ 1}=\frac{2t}{1-t^2+1+ t^2}=\frac{2t}{2}=t=\tan\frac{x}{2}$

○ここまでの結果を使うと，次のような不定積分は筆算でも求められる
（積分定数は省略されている）

$\int \frac{\sin x}{1+\sin x} dx$

integrate(sin(x)/(1+sin(x)), x);

wxMaximaから得られる結果

maxiamではtan−1xをatanxで表す．

$4\Biggl[ \frac{atan(\frac{sin(x)}{cos(x)+1})}{2}+ \frac{1}{\frac{2\sin(x)}{\cos(x)+1}+ 2} \Biggr]$ …(*)
公式集などに書かれているもの
$x-\tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})$ …(**)
筆算で求めた場合
$x-\tan x+ \frac{1}{\cos x}$ …(***)

maximaから機械的に得られる(*)の結果は，あまりうれしくないが，ここでは筆算での求め方，及び(*)(**)(***)が積分定数の差異を除いて互いに等しいことを示してみる．
（筆算***）←

$\int \frac{\sin x}{1+\sin x} dx=\int \Bigl( 1-\frac{1}{1+ \sin x}\Bigr)dx$
ここで，上記の結果から
$\int \frac{1}{1+ \sin x}dx=\tan x-\frac{1}{\cos x}$
だから
$\int \frac{\sin x}{1+\sin x} dx=x- \tan x +\frac{1}{\cos x}$

（**）←→(***)

$\tan(\alpha - \beta)=\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 +\tan \alpha \tan \beta}$
だから
$\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})=\frac{\tan \frac{x}{2} - \tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan \frac{x}{2} \tan \frac{\pi}{4}}=\frac{\tan \frac{x}{2}-1}{\tan \frac{x}{2}+ 1}$

$\tan\frac{x}{2}=t$ とおくと
(**)→ $x-\frac{t-1}{t+ 1}$

$\sin x=\frac{2t}{1+ t^2}$ ， $\cos x=\frac{1-t^2}{1+ t^2}$ ， $\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$ だから
(***)→ $x-\frac{2t}{1-t^2}+ \frac{1+ t^2}{1-t^2}=x+\frac{t^2-2t+ 1}{1-t^2}=x+ \frac{(1-t)^2}{(1-t)(1+ t)}$
$=x+ \frac{1-t}{1+ t}=x-\frac{t-1}{t+ 1}$
したがって(**)=(***)

（*）→(**)

第１項は
$\frac{\sin x}{\cos x+ 1}}=\frac{\frac{2t}{1+ t^2}}{\frac{1-t^2}{1+ t^2}+ 1}=\frac{2t}{1-t^2+ 1+ t^2}=\frac{2t}{2}=t$ $atan(\frac{\sin x}{\cos x+ 1}})=atan(t)=\frac{x}{2}$
$4\Bigl[\frac {atan( \frac{\sin x}{\cos x+ 1} )}{2}\Bigr]=4\Bigl[\frac{\frac{x}{2}}{2} \Bigr]=x$

第２項は
$\frac{1}{\frac{2\sin(x)}{\cos(x)+1}+ 2}=\frac{1}{2\Bigl(\frac{\sin(x)}{\cos(x)+1}+ 1 \Bigr)}=\frac{1}{2\Bigl(\frac{\frac{2t}{1+ t^2}}{\frac{1-t^2}{1+ t^2}+1}+ 1 \Bigr)}$
$=\frac{1}{2\Bigl(\frac{2t}{1-t^2+ 1+ t^2}+ 1 \Bigr)}=\frac{1}{2\Bigl(\frac{2t}{2}+ 1 \Bigr)}=\frac{1}{2(t+ 1)}$
$\frac{1}{\frac{2\sin(x)}{\cos(x)+1}+ 2}=\frac{1}{2\Bigl(\frac{\sin(x)}{\cos(x)+1}+ 1 \Bigr)}=\frac{1}{2\Bigl(\frac{\frac{2t}{1+ t^2}}{\frac{1-t^2}{1+ t^2}+1}+ 1 \Bigr)}$
$4\Bigl[\frac{1}{2\Bigl(\frac{2t}{1-t^2+ 1+ t^2}+ 1 \Bigr)}\Bigr]=\frac{2}{t+ 1}$
したがって
（*）→ $x+ \frac{2}{t+ 1}$
他方で
(**)→ $x-\frac{t-1}{t+ 1}=x-(1- \frac{2}{t+ 1})=x+ \frac{2}{t+ 1}-1$
(*)と(**)は定数項−１の差異を除いて等しいから，これを積分定数に含めると等しい．

○次の積分もほぼ同様にして示される

$\int \frac{\sin x}{1-\sin x} dx$

（wxMaxima） → $4\Biggl[ -\frac{atan(\frac{sin(x)}{cos(x)+1})}{2}- \frac{1}{\frac{2\sin(x)}{\cos(x)+1}- 2} \Biggr]$
（公式集など） → $-x+\tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})$
（筆算） → $-x+\tan x- \frac{1}{\cos x}$

$\int \frac{\cos x}{1+\cos x} dx$

（wxMaxima） → $2\Biggl[ atan(\frac{sin(x)}{cos(x)+1})}- \frac{\sin(x)}{2(\cos(x)+ 1)} \Biggr]$
（公式集など） → $x-\tan\frac{x}{2}$
（筆算） → $x- \frac{1-\cos x}{\sin x}$

$\int \frac{\cos x}{1-\cos x} dx$

（wxMaxima） → $2\Biggl[ -atan(\frac{sin(x)}{cos(x)+1})}- \frac{\cos(x)+ 1}{2\sin(x)} \Biggr]$
（公式集など） → $-x-\cot\frac{x}{2}$
（筆算） → $-x- \frac{1}{\tan x}-\frac{1}{\sin x}$

○次の積分は見かけはここまでの内容と似ているが，分子が分母の微分になっているので，全く別の論理で直ちに解ける．
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)| C$

（積分定数は省略）
maximaで求めるときは，あらかじめ logabs : true;を実行しておく．
$\int \frac{\sin x}{1+ \cos x}dx=-\log|\cos x + 1|$
$\int \frac{\sin x}{1- \cos x}dx=\log|\cos x - 1|$
$\int \frac{\cos x}{1+ \sin x}dx=\log|\sin x + 1|$
$\int \frac{\cos x}{1- \sin x}dx=-\log|\sin x - 1|$

○次の積分は見かけは上記に似ているが，分母が分子の微分になっているので，上記のような簡単なものではない．

（積分定数は省略）
$\int \frac{x+ \sin x}{1+ \cos x}dx=x\tan\frac{x}{2}$ …(*)
$\int \frac{x-\sin x}{1- \cos x}dx=-x\cot \frac{x}{2}$ …(**)
(*)(**)についてmaximaから出力される結果は，複雑過ぎて読みづらい．
ここでは，筆算で求める方法を示す．

(*)←

$\int \frac{x+ \sin x}{1+ \cos x}dx=\int \frac{x}{1+ \cos x}dx+ \int \frac{\sin x}{1+ \cos x}dx=I+ J$
とおく． $I$ については次の部分積分で求める

$f(x)=x$	$f'(x)=1$
$g'(x)=\frac{1}{1+ \cos x}$	$g(x)=\tan \frac{x}{2}$

$I=x\tan\frac{x}{2}-\int\tan\frac{x}{2}dx$
第２項は $\frac{x}{2}=z$ とおく置換積分を行う
$\frac{dz}{dx}=\frac{1}{2}$ だから $dx=2dz$
$\int\tan\frac{x}{2}dx=2\int \tan z dz=-2\int \frac{(\cos z)'}{\cos z}=-2\log|\cos z|$
$I=x\tan \frac{x}{2}+ \log(\cos^2\frac{x}{2})$
$J=-\log(1+ \cos x)=-\log(2\cos^2\frac{x}{2})$
$I+ J=x\tan \frac{x}{2}+ \log(\cos^2\frac{x}{2})-\log(2\cos^2\frac{x}{2})$
$=x\tan \frac{x}{2}+ \log(\frac{\cos^2\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}})=x\tan \frac{x}{2}-\log 2$
定数項の差異を積分定数に含めれば(*)が示された．

(**)についても同様

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