maximaの初歩的な操作7･･･微分

== maximaの初歩的な操作7 ==
･･･微分･･･
○Xmaxima，wxMaxima のインストール方法，基本操作については［この頁］参照

○Xmaximaでは，数式がアスキーアート風に出力されることが多い．wxMaximaでは数学で通常用いる記号に近い形で結果が示される．以下ではwxMaiximaを用いた場合の微分計算の例と答を示す．

○wxMaximaで関数を微分するには，メニューから［微積分］→［微分］を選び，対話型メニューに「関数」「変数」「微分回数」を入力して「ＯＫ」ボタンを押すと
diff(4*x^3+5*x^2-6*x+7,x,1);
のように，入力すべき式が書き込まれるようになっている．画面上で (%inn) の右にある入力欄を直接書き換えてもよい．

　入力に当たっては，2xなどの書き慣れた記号を2*xと書かなければならないことに注意しましょう．

　以下はいずれも関数f(x)を変数xで微分する場合の結果

【多項式の微分】

関数f(x)	wxMaximaでの入力例	wxMaximaでの結果
4x3+5x2−6x+7	diff(4x^3+5x^2-6*x+7,x,1); 第３引数の１を省略した場合も，１回微分の結果が示される．	12x2+10x−6
(x+2)(x+3)	diff((x+2)*(x+3),x,1);	2x+5
(2x−3)4	diff((2*x-3)^4,x,1);	8(2x-3)3
(x2+3x−4)3	diff((x^2+3*x-4)^3,x,1);	3(2x+3)(x2+3x−4)2

【分数関数の微分】

関数f(x)

wxMaximaでの入力例

wxMaximaでの結果

$\frac{x+ 2}{x-3}$

diff((x+2)/(x-3),x,1);

$\frac{1}{x-3}-\frac{x+ 2}{(x-3)^2}$
(x−3)のべきを分母として表示される

$\frac{x+ 3}{(x-1)(x+ 2)}$

diff((x+3)/((x-1)*(x+2)),x,1);

$\frac{1}{(x-1)(x+ 2)}-\frac{x+ 3}{(x-1)^2(x+ 2)}-\frac{x+ 3}{(x-1)(x+ 2)^2}$
(x−1),(x+2)のべきを分母として表示される

$\frac{x^2+ a^2}{x^2-a^2}$

diff((x^2+a^2)/(x^2-a^2),x,1);

$\frac{2x}{x^2-a^2}-\frac{2x(x^2+ a^2)}{(x^2-a^2)^2}$
文字係数の場合も扱える

【無理関数の微分】

関数f(x)

wxMaximaでの入力例

wxMaximaでの結果

$\sqrt{x^2+ 1}$

diff(sqrt(x^2+1),x);
正の平方根は sqrt() または ( )^(1/2)と入力する．

$\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}}$

$(x+2)^2\sqrt{x+ 2}$

diff((x+2)^2*sqrt(x+2),x,1);
正の平方根は sqrt() または ( )^(1/2)と入力する．
累乗根 $\sqrt[n]{x^m}$ は分数指数を使って x^(m/n) で表せる．

$\frac{5(x+ 2)^{\frac{3}{2}}}{2}$
diff((x+2)^(5/2),x,1);としても同じ結果になる

$\frac{x+1}{\sqrt[3]{(x+ 2)^4}}$

diff((x+1)/(x+2)^(4/3),x);
累乗根 $\sqrt[n]{x^m}$ は分数指数を使って
x^(m/n) で表せる．
diff((x+1)/((x+2)*(x+2)^(1/3)),x);としても同じ結果になる

$\frac{1}{(x + 2)^{\frac{4}{3}}}-\frac{4(x+ 1)}{3(x+ 2)^{\frac{7}{3}}}$

【指数関数・対数関数の微分】

関数f(x)

wxMaximaでの入力例

wxMaximaでの結果

$\frac{e^{3x}+ e^{-2x}}{2}$

diff((exp(3*x)+exp(-2*x))/2,x);
または
diff((%e^(3*x)+%e^(-2*x))/2,x);
e を底とする指数関数は exp( ) または
%e^( )と入力する．

$\frac{3%e^{3x}-2 %e^{-2x}}{2}$
単なる文字ではなく自然対数の底としての e は記号 %e で表示される

$2^x$

diff(2^x,x,1);

$\log(2)2^x$

$x^x$

diff(x^x,x);

$x^x(log(x)+ 1)$

$log(x^2+ 3)$

diff(log(x^2+3),x);
Excelとは異なり，自然対数を log( )で示す．他の底を用いるときは底の変換公式 $\log_a x=\frac{\log x}{\log a}$ により底を e に直して使う

$\frac{2x}{x^2+ 3}$

$log(x+ \sqrt{x^2+ 1})$

diff(log(x+sqrt(x^2+1)),x);
このままでは右のように整理できていない形で結果が出るが，さらに有理式を展開する関数 ratexpand( );を付けると簡単になる．
ratexpand(diff(log(x+sqrt(x^2+1)),x));

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}}+ 1}{\sqrt{x^2+ 1}+ x}$

$\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

【三角関数・逆三角関数・双曲線関数の微分】

関数f(x)

wxMaximaでの入力例

wxMaximaでの結果

$\sin ^2 x$

diff(sin(x)^2,x);
数学記号でsin2xと書くものは，Maximaのコマンドではsin(x)^2と書かなければならない．

$2\cos(x)\sin(x)$
さらに三角関数を倍角を使って簡単にする関数 trigreduce( ) を使えば
$\sin(2x)$ になる

$\sqrt{\cos x}$

diff(sqrt(cos(x)),x);

$\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$

$\tan ^{-1}x$

diff(atan(x),x);
逆三角関数
arcsin x, arc cos x, arctan x
もしくはsin−1x, cos−1x, tan−1x
はMaxiamでは
asin(x), acos(x), atan(x) と入力する．

$\frac{1}{x^2+ 1}$

$cosh(x^2-1)$

diff(cosh(x^2-1),x);
双曲線関数 $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\cosh x,\tanh x$ は，ほぼそのまま $\sinh(x),\cosh(x),\tanh(x)$ と入力する

$2x\sinh(x^2-1)$

【高次導関数，陰関数の微分】

関数f(x)

wxMaximaでの入力例

wxMaximaでの結果

$e^x\cos x$
の第2次導関数

diff(%e^x*cos(x),x,2);
第 n 次導関数を求めるには，第 3 引数を 2 にする．この第 3 引数が n のような文字のときは第ｎ次導関数の形式的な記号が返される.

$-2e^xsin(x)$

$\sin x$
の第4次導関数

diff(sin(x),x,4);

$\sin x$

sinx→cosx
→−sinx→−cosx
→sinx
のように4回で1周します

$x^2+ y^2=1$ のとき $\frac{dy}{dx}$ を求めるには

depends(y,x);
diff(x^2+y^2=1,x);
陰関数f(x,y)=0で表示された関数を微分するには，depends(y,x);によって関数の依存関係を明示してから微分します．

$2y\Bigl(\frac{d}{dx}y \Bigr)+ 2x=0$

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