曲線の長さ

== 曲線の長さ ==

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■以下の問題を全部を解く必要はない．できそうな，または，気になる問題をそれぞれの○から２題ほど解けばよい．

答を隠す　⇒　OFF
答を出す　⇒　ON

○媒介変数表示

	問題	答	詳細
(1.1)	サイクロイド $x=a(t-\sin t)$ $y=a(1-\cos t)$ a>0 , 0≦t≦2π	8a	[?]
(1.2)	アステロイド $x=a\cos^3 \theta$ $y=a\sin ^3\theta$ a>0 , 0≦t≦2π	6a	[?]
(1.3)	$x=t^2$ $y=\frac{t^3}{3}$ 0≦t≦1	$\frac{1}{3}(5\sqrt{5}-8)$	[?]
(1.4)	$x=\sqrt{3}t^2$ $y=t-t^3$ 0≦t≦1	$2$	[?]

○x ,y直交座標

	問題	答	詳細
(2.1)	懸垂曲線（カテナリ－） $y=\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$ 0≦x≦1	$\frac{1}{2}(e-\frac{1}{e})$	[?]
(2.2)	$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$ 0≦x≦1	$\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$	[?]
(2.3)	円 $x^2 + y^2=a^2$ a>0	2πa	[?]
(2.4)	放物線 $y=x^2 (0\leq x \leq 1)$ の長さを $L_1$ とし，放物線 $y=\frac{1}{2}x^2 (0\leq x \leq 2)$ の長さを $L_2$ とするとき， $L_1$ ， $L_2$ の関係は？	L2=2L1	[?]

○極座標

	問題	答	詳細
(3.1)	心臓形（カージオイド） $r=a(1+ \cos \theta)$ a>0 , 0≦θ≦2π	8a	[?]
(3.2)	半円 $r=2a\cos \theta$ $a\gt 0, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$	πa	[?]
(3.3)	対数螺旋（等角螺旋,ベルヌーイの螺旋） $r=e^{\theta}$ $0 \leq \theta \leq 2\pi$	$\sqrt{2}(e^{2\pi}-1)$	[?]
(3.4)	関数 $F(x)$ を $F(x)=\int_0^x \sqrt{1+ t^2}dt$ で定義するとき，アルキメデスの螺旋 $r=a\theta (a\gt 0, 0\leq \theta \leq 4\pi)$ の長さを $F$ で表すと？	aF(4π)	[?]