曲線の長さ

(3.3)　対数螺旋（等角螺旋）

$r=e^{\theta}$
$0 \leq \theta \leq 2\pi$

（参考）
$r=ae^{b\theta}$ のグラフは対数螺旋（または等角螺旋）と呼ばれ，巻貝，ヒマワリの種，台風の渦巻き，渦状銀河など自然界の多くの渦巻き状のものにこの形が見られる．
　ただし，蚊取り線香やアナログレコードのように線が等間隔に並んでいるものはアルキメデスの螺旋と呼ばれる別の渦巻き
　この問題ではa=1 , b=1の場合を扱っている

（答案）
$\frac{dr}{d\theta}=e^\theta$
$r^2+ (\frac{dr}{d\theta})^2=e^{2\theta} + e^{2\theta}=2e^{2\theta}$
だから
$L=\int_0^{2\pi} \sqrt{2e^{2\theta}}d\theta=\sqrt{2}\int_0^{2\pi} e^{\theta}d\theta$
$=\sqrt{2}\Bigl[ e^{\theta} \Bigr]_0^{2\pi}=\sqrt{2}(e^{2\pi}-1)$ …（答）

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