曲線の長さ

問題次の曲線の長さを求めてください．

(1)　 $y=\sqrt{4-x^2}$ の $0 \leq x \leq 2$ の部分の長さ．
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消す $y'=\frac{1}{2}(4-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$
$1+(y')^2=1+ \frac{x^2}{4-x^2}=\frac{4}{4-x^2}$
$L= \int_0^2 \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}dx$

$x=2\sin \theta$ とおく置換積分を行うと

x	0 → 2
θ	0 → $\frac{\pi}{2}$

$\frac{dx}{dt}=2\cos \theta$
$\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-4\sin^2 \theta}$
$=\sqrt{4(1-\sin^2 \theta)}=2\cos\theta$
（上記の範囲では $\cos\theta\geq 0$ ）

$L= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{2\cos \theta} \cdot 2\cos \theta d\theta=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta$
$=2\Bigl[ \theta \Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=2\cdot \frac{\pi}{2}=\pi$

（参考）
　この問題は，x , y座標で与えられた方程式から曲線の長さを求める問題なので，上記のように答えてもらえばＯＫです．
　図形的には，円x2+y2=4 (x≧2 , y≧2)のうちのx≧0 , y≧0の部分なので，半径２の円のうちの第１象限の部分の長さ：2π×2÷4=πになります．

(2)　極座標で表される曲線 $r=2\sin\theta(0\leq\theta\leq \pi)$ の長さ．
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2 4 π 2π 4π

消す $\frac{dr}{d\theta}=2\cos\theta$
$r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2=4\sin^2\theta + 4\cos^2\theta=4$
$L= \int_0^{\pi} 2 d\theta=\Bigl[ 2\theta \Bigr]_0^{\pi}=2\pi$
［高校の範囲で解いた場合］

x=rcosθ=2sinθcosθ=sin2θ
y=rsinθ=2sinθsinθ=1−cos2θ

（∵）cos2θ=1−2sin2より
2sin2θ=1+cos2θ

として，媒介変数表示の場合の曲線の長さを求めるとよい．
$\frac{dx}{d\theta}=2\cos2\theta$
$\frac{dy}{d\theta}=2\sin2\theta$
$(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2=4\cos^2 2\theta + 4\sin^2 2\theta=4$
$L= \int_0^{\pi} \sqrt{4} d\theta=2\int_0^{\pi} d\theta=2\Bigl[ \theta \Bigr]_0^{\pi}=2\pi$

(3)　媒介変数で表される曲線

$x=\cos\theta+\theta\sin\theta$
$y=\sin\theta-\theta\cos\theta$
$(0\leq \theta \leq \pi)$
の長さ
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$\pi$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi^2}{2}$ $\frac{\pi^2}{4}$

消す $\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta + \sin\theta + \theta \cos\theta=\theta\cos\theta$
$\frac{dy}{d\theta}=\cos\theta - \cos\theta + \theta \sin\theta=\theta\sin\theta$
$(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2=(\theta\cos\theta)^2 + (\theta\sin\theta)^2$
$=\theta^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)=\theta^2$
$0\leq \theta \leq \pi$ のとき $\theta \geq 0$
$L= \int_0^{\pi} \theta d\theta=\Bigl[ \frac{\theta^2}{2} \Bigr]_0^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}$

（参考）
　この曲線は円の伸開線（インボリュート）と呼ばれ，右図のように円にグルグルと巻き付けられた糸をピンと張りながら開いていくときの糸の一端の軌跡になっています．

(4)　極座標で表される曲線

$r=1 + \sin\theta$
$(0\leq \theta \leq \pi)$
の長さ
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$2$ $4$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $4\sqrt{2}$

消す $\frac{dr}{d\theta}=\cos\theta$
$r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2=1 + 2\sin\theta + \sin^2 \theta + \cos\theta^2$
$=2 + 2\sin\theta=2(1 + \sin \theta)$ …(1)
ここで三角関数の２倍角公式により
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
だから
$\sin \theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}$ …(2)
また三角関数の相互関係から
$\sin^2\frac{\theta}{2}+ \cos^2 \frac{\theta}{2}=1$ …(3)
(2)(3)を(1)に代入すると
$2(\sin^2\frac{\theta}{2}+ \cos^2\frac{\theta}{2} + 2\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2})$
$=2(\sin\frac{\theta}{2}+ \cos\frac{\theta}{2})^2$
$0\leq \theta \leq \pi$ のとき $\sin \frac{\theta}{2},\cos\frac{\theta}{2} \geq 0$
だから
$L= \int_0^{\pi} \sqrt{2}(\sin \frac{\theta}{2} + \cos\frac{\theta}{2}) d\theta$
$=\sqrt{2}\Bigl[ -2\cos\frac{\theta}{2}+ 2\sin\frac{\theta}{2} \Bigr]_0^{\pi}$
$=\sqrt{2}((-0+ 2)-(-2+ 0))=4\sqrt{2}$

［高校の範囲で解いた場合］

x=rcosθ=(1+sinθ)cosθ=cosθ+sinθcosθ
$=\cos\theta+\frac{\sin 2\theta}{2}$
y=rsinθ=(1+sinθ)sinθ=sinθ+sin2θ
$=\sin\theta+\frac{1-\cos 2\theta}{2}$

として，媒介変数表示の場合の曲線の長さを求めるとよい．
$(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2=\cdots =2(1+ \sin\theta)$
となり(1)以下同様になる．

（参考）

$r=1 + \sin\theta$
$=1 + \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$
$=1 + \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$
だから，このグラフはカージオイド $r=1 + \cos\theta$ のグラフを $\frac{\pi}{2}$ だけ回転したものになる．
　カージオイド $r=1 + \cos\theta$ の全長は $8$ であるが，この問題では図のようにちょうど半分ではなく，長い方を求めているので半分 $4$ よりも長い．

(5)　媒介変数で表される曲線

$x=\frac{t^2}{2}$
$y=\frac{t^3}{3}$
$(0\leq t \leq 1)$
の長さ
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$\frac{2}{3}\sqrt{2}$ $\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$ $\frac{2\sqrt{2}+1}{3}$ $3\sqrt{3}$ $\pi\sqrt{\pi}$

消す $\frac{dx}{dt}=t$
$\frac{dy}{dt}=t^2$
$(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2=t^2 + t^4$
$L= \int_0^1 \sqrt{t^2 + t^4} dt$
$= \int_0^1 t\sqrt{1 + t^2} dt$

$1 + t^2=s$ とおく置換積分を行うと

t	0 → 1
s	1 → 2

$\frac{ds}{dt}=2t$

$L= \int_1^2 t\sqrt{s} \frac{ds}{2t}=\frac{1}{2}\int_1^2 s^{\frac{1}{2}} ds$
$=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \Bigl[ s^{\frac{3}{2}} \Bigr]_1^2$ $=\frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)$

(6)　極座標で表される曲線

$r\cos\theta=2$
$(0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4})$
の長さ
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$2$ $2\sqrt{2}$ $\pi$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{4}$

消す $r=\frac{2}{\cos\theta}$
$\frac{dr}{d\theta}=\frac{2\sin\theta}{\cos^2\theta}$
$r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2=\frac{4}{\cos^2\theta}+\frac{4\sin^2\theta}{\cos^4\theta}$
$=4\frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^4\theta}=\frac{4}{\cos^4\theta}$
$L= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$

$(\tan\theta)'=\frac{1}{\cos^2\theta}$
だから
$\int\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta=\tan \theta+ C$

$L= 2 \Bigl[ \tan\theta \Bigr]_0^{\frac{\pi}{4}}=2$

［高校の範囲で解いた場合］

x=rcosθ=2
$y=r\sin\theta=\frac{2}{\cos\theta}\sin\theta=2\tan\theta$
$0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\rightarrow 0\leq y \leq 2$ 以下の計算は上記と同様（下図を参照すれば計算しなくても答は出る）

（参考）
　 $r\cos\theta=2$ となる点P(x,y)は右図のようにx=2の直線上にある．
　そのうちで， $0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ となるのは直角三角形の縦の辺で，長さは2になる．