曲線の長さ

(2.1)　懸垂曲線（カテナリ－）

$y=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$
0≦x≦1

（参考）
$y=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right)$
の曲線は懸垂曲線（カテナリー）と呼ばれ，均質なロープを吊るすとこの曲線ができる．ここではa=1の簡単な場合を扱う．

（答案）
$y'=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$
だから
$1+(y')^2=1+ \frac{1}{4}(e^x-e^{-x})^2$
$=\frac{4 + (e^x)^2 -2 + (e^{-x})^2}{4}$
$=\frac{ (e^x)^2 + 2 + (e^{-x})^2}{4}$
$=\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2$
$\sqrt{1+ (y')^2}=\frac{e^x +e^{-x}}{2}$
したがって
$L=\int_0^1\frac{e^x +e^{-x}}{2}dx$
$=\left[\frac{e^x -e^{-x}}{2} \right]_0^1$
$=\frac{e^1 -e^{-1}}{2} -\frac{e^0 -e^{-0}}{2}$
$=\frac{1}{2}(e-\frac{1}{e})$

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