曲線の長さ

(2.2)　

$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$
0≦x≦1

（答案）
$y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$
だから
$y'=\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$
したがって
$L=\int_0^1\sqrt{1 + (y')^2}dx=\int_0^1\sqrt{1 + x}dx$
$=\int_0^1(1 + x)^{\frac{1}{2}}dx=\left[\frac{2}{3}(1+ x)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1$
$=\frac{2}{3}(2^{\frac{3}{2}} -1)=\frac{2}{3}(2\sqrt{2} -1)$

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