曲線の長さ

(2-2)　アステロイドの全長

$x=a\cos^3 \theta$
$y=a\sin ^3\theta$
a>0 , 0≦θ≦2π

（参考）
a=1の場合のアステロイド

右図のようにx軸についても，y軸についても対称となるから，
$0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$
の区間の長さを４倍すればよい．

（答案）
$\frac{dx}{d\theta}=3a\cos^2\theta(-\sin\theta)$
$\frac{dy}{d\theta}=3a\sin^2\theta\cos\theta$
だから
$(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2=9a^2\cos^4t\sin^2 t+ 9a^2\sin^4 t\cos^2 t$
$=9a^2\sin^2 t\cos^2 t(\cos^2t + \sin^2 t)$
$=9a^2\sin^2 t\cos^2 t$
$=9a^2 \left( \frac{\sin 2t}{2} \right)^2=\frac{9}{4}a^2\sin^2 2\theta$

$0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき $0\leq 2\theta \leq \pi$ → $\sin2\theta \geq 0$
だから
$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}=\frac{3}{2}a\sin 2\theta$
$L=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{3}{2}a\sin 2\theta d\theta$
$=6a\left[-\frac{\cos 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$=6a\left( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \right)=6a$

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