曲線の長さ

(2.3)　円

$x^2 + y^2=a^2$
a>0

（参考）
　右の図はa=1の場合のx≧0 , y≧0の部分（４分円）のグラフ

　この問題の結果は小学校以来既知のもので，円周の長さは2πaになるはずであるが，これを直交座標での曲線の長さの計算で確かめることになる．

（答案）
　円はx軸，y軸に関して対称だから，第１象限にある長さL1を求めて，それを４倍すればよい．
　第１象限では
$y=\sqrt{a^2-x^2}=(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}}$
$y'=\frac{1}{2}(a^2-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$
$1+(y')^2=1+\frac{x^2}{a^2-x^2}=\frac{a^2}{a^2-x^2}$
だから

x=sin θとおいて置換積分を行うと

$x$	$0\rightarrow a$
$\theta$	$0\rightarrow \frac{\pi}{2}$

$\frac{dx}{d\theta}=a\cos \theta$

$L_1=\int_0^a \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{a}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2 \theta}} a\cos \theta d\theta$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{a}{a\cos \theta} a\cos \theta d\theta$
$=a\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta = a \Bigl[ \theta \Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi a}{2}$

$L=4L_1=2\pi a$ …（答）

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