曲線の長さ

(1.4)　

$x=\sqrt{3}t^2$
$y=t-t^3$
0≦t≦1

（首都東京大学2005年）

（答案）
$\frac{dx}{dt}=2\sqrt{3}t$
$\frac{dy}{dt}=1-3t^2$
だから
$\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2=12t^2 + 1-6t^2+ 9t^4$
$=9t^4 + 6t^2+1=(3t^2+1)^2$
$L=\int_0^1 (3t^2+1)dt=\left[t^3+t \right]_0^1=2$
…（答）

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