曲線の長さ

(3.2)　半円

$r=2a\cos \theta$
$a\gt 0, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$

（参考）
　右の図はa=1の場合のグラフ

　円周角の定理を思い出すと，直径の上に立つ円周角は90°になるから，直径2aにcosθを掛けた2acosθ=OPとなればPは円周上にある．
　したがって，この問題の結果は小学校以来学んでいる半円の長さπaになるはずであるが，これを極座標での曲線の長さの計算で確かめることになる．

（答案）
$\frac{dr}{d\theta}=-2a\sin \theta$
$r^2+ (\frac{dr}{d\theta})^2=4a^2 \cos \theta^2 + 4a^2\sin^2\theta$
$r^2+ (\frac{dr}{d\theta})^2=4a^2 (\cos \theta^2 + \sin^2\theta)=4a^2$
だから
$L=\int_0^{ \frac{\pi}{2}} \sqrt{4a^2} d\theta=\int_0^{ \frac{\pi}{2}} 2a d\theta$
$=\Bigl[ 2a \Bigr] _0^{\frac{\pi}{2}}=\pi a$

←例と答に戻る