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※中学３年生向け「素数，素因数分解」について，このサイトには次の教材があります． この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です．  ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る |
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※中学３年生向け「素数，素因数分解」について，このサイトには次の教材があります． この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る |
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○最大公約数
【分数の約分】
■ 分数を約分するときは，分母と分子を同じ数で割る．  ■ このときに登場する「分母と分子の共通の約数（=公約数）」の中で「最も大きな数字（=最大）」のことを「最大公約数」という．
18 の約数は，1 , 2 , 3 , 6 , 9, 18
共通の約数（=公約数） 1 , 2 , 3 , 6 の中で最大のものは 624 の約数は，1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12, 24 ⇒ 最大公約数は 6 ■ 間違って「最小公約数」などと言わないように．最小公約数は，計算しなくても１に決まっているので「最小公約数」などという用語は使わない．（=当たり前でつまらないことだから） ■ 「最大公約数」は分数の約分のときだけでなく広く使われる重要なものである． ○２つの数の最大公約数を求めるには，
（Ａ） 小学校のときに習った「割り算（の裏向き）」のやり方で割れるだけ割っていく方法
がある．
（Ｂ） 素因数分解を利用する方法
（Ａ） 割れるだけ割っていく方法で最大公約数を求めるには
例
2 )18 , 24
3 ) 9 , 12
↓ 3 , 4
最大公約数は2×3=6
■共通に割れる数のうちで最も大きいのが最大公約数（２や３でも割れるが，これらは公約数．最大公約数は６になる．）
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■ 次の計算を参考にして，与えられた２つの数の最大公約数を求めなさい． ［問題１］ 共通に割れる数は2だけだから，最大公約数は2 ［問題２］ 共通に割れる数は3と5だから，最大公約数は3×5=15 ［問題３］ 2×2×3=12 |
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○最小公倍数
【分数の通分】
分数を通分するときは，２つの分母の「共通の倍数（=公倍数）」のなかで「最も小さい数（=最小）」のものを共通の分母にする．  ※ このときに登場する「共通の倍数（=公倍数）」の中で「最も小さい数（=最小）」のことを「最小公倍数」という．
18 の倍数は 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, ···
共通の倍数（=公倍数） 72 , 144 , ··· の中で最小のものは 7224 の倍数は 24, 48, 72, 96, 120, 144, ··· ⇒ 最小公倍数は 72 ■ 間違って「最大公倍数」などと言わないように．公倍数はいくらでも大きいものがあり，最大のものは決まらず「最大公倍数」などという用語は使わない．（=公倍数には最大のものがないから） ■ 「最小公倍数」は分数の通分のときだけでなく広く使われる重要なものである． ○２つの数の最小公倍数を求めるには，
（Ａ） 小学校のときに習った「割り算（の裏向き）」のやり方で割れるだけ割っていく方法
がある．
（Ｂ） 素因数分解を利用する方法
（Ａ） 割れるだけ割っていく方法で最小公倍数を求めるには
例
2 )18 , 24
3 ) 9 , 12
└ 3 , 4
最小公倍数は2×3×3×4=72
■最小公倍数を求めるときは「割った数」だけでなく，「割った結果」も掛ける．
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■ 次の計算を参考にして，与えられた２つの数の最小公倍数を求めなさい． ［問題４］ 2×3×5=30 ［問題５］ 3×5×2×3=90 ［問題６］ 2×2×3×2×5=120 |
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（Ｂ） 素因数分解を利用してで最大公約数を求めるには
例1
18=2×32
「最大公約数」は共通の約数（=公約数）のうちで「最大のもの」だから，「共通に入っている素因数」をさがす．
24=23×3 の形に直す．（素因数分解という）
※ 2 は 18 には1個，24 には3個入っているから，共通に入っているのは最大で1個
※ 3 は 18 には2個，24 には1個入っているから，共通に入っているのは最大で1個
最大公約数は2×3=6
例2
100=22×52
120=23×3×5 の形に直す．（素因数分解という）
「最大公約数」は共通の約数（=公約数）のうちで「最大のもの」だから，「共通に入っている素因数」をさがす．
※ 2 は 100 には2個，120 には3個入っているから，共通に入っているのは最大で2個
※ 3 は 100 には入っていない，120 には1個入っているから，共通に入っているものはない ※ 5 は 100 には2個，120 には1個入っているから，共通に入っているのは1個
最大公約数は22×5=20
【要点】
最大公約数 ⇒ 共通の素因数に最小の指数を付ける． （※ 「最大」公約数なのに「最小」の指数なのだ♪ 共通に入っているものだから低い方なのだ♪） |
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■ 次の素因数分解を参考にして，与えられた２つの数の最大公約数を求めなさい． ［問題７］ 21=2 ［問題８］ 21×31=6 |
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（Ｂ） 素因数分解を利用してで最小公倍数を求めるには
例1
18=2×32
「最小公倍数」は共通の倍数（=公倍数）のうちで「最小のもの」だから，両方の倍数になるように「全部の素因数で一番大きな指数をさがす」．
24=23×3 の形に直す．（素因数分解という）
※ 2 は 18 には1個，24 には3個入っているから，両方の倍数になるには3個必要
※ 3 は 18 には2個，24 には1個入っているから，両方の倍数になるには2個必要
最小公倍数は23×32=72
例2
100=22×52
120=23×3×5 の形に直す．（素因数分解という）
「最小公倍数」は共通の倍数（=公倍数）のうちで「最小のもの」だから，両方の倍数になるように「全部の素因数で一番大きな指数をさがす」．
※ 2 は 100 には2個，120 には3個入っているから，両方の倍数になるには3個必要
※ 3 は 100 には入っていない，120 には1個入っているから，両方の倍数になるには1個必要 ※ 5 は 100 には2個，120 には1個入っているから，両方の倍数になるには2個必要
最小公倍数は23×3×52=600
【要点】
最小公倍数 ⇒ 全部の素因数に最大の指数を付ける． （※ 「最小」公倍数なのに「最大」の指数なのだ♪ 両方の倍数にするには大きい方が必要なのだ♪） |
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■ 次の素因数分解を参考にして，与えられた２つの数の最小公倍数を求めなさい． ［問題９］ 22×31×51=60 ［問題10］ 22×32×51=180 |
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[最大公約数,最小公倍数について／17.3.19］
中3 素数·素因数分解 最大公約数·最小公倍数(2)
問題7、問題8、問題9、問題10のHELP 間違っている
＝＞［作者］：連絡ありがとう．めったにない変わったエラーでした･･･指数（肩に付ける小さい数字）が地上に降りていましたので訂正しました． |
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