素因数分解

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【素因数分解の例】

6=2×3
10=2×5
8=23（←2×2×2のように同じ数を3回掛けるときは，23と書く．）
18=2×32（←3×3 のように同じ数を2回掛けるときは，32と書く．）

【注意】

素因数分解は「素数の積」で表わさなければならないので，次のようにただ単に「積」にしただけでは素因数分解とはいえない．
×間違いの例　　12=4×3　（← 4 は素数でない．）
　⇒　○正しくは　　12=22×3
×間違いの例　　30=3×10　（← 10 は素数でない．）
　⇒　○正しくは　　30=2×3×5

【与えられた整数Nを素因数分解するには】

(1)　N=pq (p≦q)のように書けるとき，小さい方の因数pは必ず $\sqrt{N}$ 以下になります(*)．これを使って， $\sqrt{N}$ 以下の素数で割ってみればよい．
(2)　 $\sqrt{N}$ 以下のどの素数でも割り切れなければNは素数です．

(*)の理由
N=pq (p≦q)ならばp×p≦N≦q×q
すなわち，p2≦N≦q2です．
したがって， $p\underline{\le}\sqrt{N}$ が成り立ち，もし積の形に書ければ，小さい方の因数pは必ず $\sqrt{N}$ 以下になります．

【例】
34を素因数分解するには

52<34<62だから5までの素数で割ってみるとよい．
34=2×17…（答）

43を素因数分解するには

62<43<72だから6までの素数，2, 3, 5で割ってみるとよい．
いずれでも割り切れないから，43は素数…（答）

【問題１】

(1)
48の素因数分解について正しいものをクリックしてください．

解説やり直す

2×24 3×16 4×12 24×3

24, 16, 12は素数ではないので，これらを使って表した式は素因数分解にはなりません．（初めの３個は不可）
48を小さな素数から何度でも割れる限り2, 3, 5, 7などで割っていきます．
48÷2=24
24÷2=12
12÷2=6
6÷2=3
以上により，48=24×3…（答）

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(2)
61の素因数分解について正しいものをしてください．

解説やり直す

3×17 7×13 3×19 61は素数

72<61<82すなわち $7\lt \sqrt{61}\lt 8$ だから，もし61が素因数分解できれば，7以下の素数で割り切れなければならない．
ところが，2, 3, 5, 7のいずれでも割り切れないから61は素数…（答）

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(3)
60の素因数分解について正しいものをしてください．

解説やり直す

6×10 22×3×5 2×32×5 2×3×52

6, 10は素数ではないので，これらを使って表した式は素因数分解にはなりません．（初め選択肢は不可）
72<60<82すなわち $7\lt \sqrt{60}\lt 8$ だから，素因数2, 3, 5, 7で割れるだけ割っていきます．
60÷2=30
30÷2=15
15÷3=5
ゆえに，60=22×3×5…（答）

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(4)
87の素因数分解について正しいものをしてください．

解説やり直す

33×7 32×19 3×29 87は素数

92<87<102すなわち $9\lt \sqrt{87}\lt 10$ だから，素因数2, 3, 5, 7で割れるだけ割っていきます．
87÷3=29
ゆえに，87=3×29…（答）

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【問題２】

(1)
108の素因数分解について正しいものをクリックしてください．

解説やり直す

22×32 22×33 23×32 108は素数

102<108<112すなわち $10\lt \sqrt{108}\lt 11$ だから，10以下の素数2, 3, 5, 7で割れるだけ割っていきます．
$2\hspace{10}\underline{)\hspace{10}108}$
$2\hspace{10}\underline{)\hspace{18}54}$
$3\hspace{10}\underline{)\hspace{18}27}$
$3\hspace{10}\underline{)\hspace{26}9}$
$3$
22×33…（答）

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(2)
127の素因数分解について正しいものをクリックしてください．

解説やり直す

3×72 32×7 33×7 127は素数

112<127<122すなわち $11\lt \sqrt{127}\lt 12$ だから，もし127が素因数分解できれば，11以下の素数で割り切れなければならない．
ところが，2, 3, 5, 7, 11のいずれでも割り切れないから127は素数…（答）

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(3)
123の素因数分解について正しいものをクリックしてください．

解説やり直す

7×19 3×41 3×43 123は素数

112<123<122すなわち $11\lt \sqrt{123}\lt 12$ だから，もし123が素因数分解できれば，11以下の素数で割り切れなければならない．

ところで，3の倍数の見分け方というのがあって，各位の数を足したときに3で割り切れたら3の倍数になる．
1+2+3=6で6は3で割り切れるから，元の数123も3で割り切れるはずになっている．

123÷3=41
123=3×41…（答）

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(4)
149の素因数分解について正しいものをクリックしてください．

解説やり直す

7×19 7×29 3×72 149は素数

122<149<132すなわち $12\lt \sqrt{149}\lt 13$ だから，もし149が素因数分解できれば，12以下の素数で割り切れなければならない．
ところが，2, 3, 5, 7, 11のいずれでも割り切れないから149は素数…（答）

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