１次不等式（基本問題）

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「不等式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は，他の頁を先に見てください．　が現在地です．

↓不等式の基本-現在地
↓１次不等式の解き方
↓連立不等式

↓絶対値付き不等式
不等式の証明

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== １次不等式（基本問題） ==

　次の不等式の解を求めて，選択肢の中から，正しいものをクリック（タップ）してください．
　解答を選べば「採点結果が〇，Ｘで表示され」「解説を読む」というボタンが表示されます．
　解答しなければ，解説・解答は出ません．

「まぐれ当たり」では力は付きません．必ず計算用紙などを使って十分考えてから答えてください．

■整数係数の1次不等式■

【問題1-1】
　

4 x + 3 > 2 x + 9

【選択肢】

x > 2

x > 3

x < 2

x < 3

［解説を読む］

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

4 x - 2 x > 9 - 3

2 x > 6

両辺をxの係数2で割る．xの係数が正の数だから，不等号の向きは変えない．

x > 3

･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-2】
　

2 x - 3 > 4 x + 1

【選択肢】

x > - 2

x < 2

x < - 2

x > 2

［解説を読む］

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

2 x - 4 x > 1 + 3

- 2 x > 4

両辺をxの係数−2で割る．xの係数が負の数だから，不等号の向きを変える．

x < - 2

･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-3】
　

- 3 x + 8 ≦ 4 x - 6

【選択肢】

x ≦ - 2

x ≧ - 2

x ≦ 2

x ≧ 2

［解説を読む］

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

- 3 x - 4 x ≦ - 6 - 8

- 7 x ≦ - 14

両辺をxの係数−7で割る．xの係数が負の数だから，等号付き不等号の向きを変える．

x ≧ 2

･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-4】
　

2 x - 6 ≦ 5 (x - 1)

【選択肢】

x ≧ \frac{1}{3}

x ≧ - \frac{1}{3}

x ≦ \frac{1}{3}

x ≦ - \frac{1}{3}

［解説を読む］

右辺のかっこを外して，展開する

2 x - 6 ≦ 5 x - 5

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

2 x - 5 x ≦ - 5 + 6

- 3 x ≦ 1

両辺をxの係数−3で割る．xの係数が負の数だから，等号付き不等号の向きを変える．

x ≧ - \frac{1}{3}

･･･（答） →解説を隠す←

■小数係数の1次不等式■

【問題2-1】
　

0.1 x < 0.4 - 0.5 x

【選択肢】

x > 1

x > \frac{2}{3}

x < 1

x < \frac{2}{3}

［解説を読む］

係数が小数になっているときは，両辺を10倍(100倍)などして整数係数に直して解く方法［以下A］と小数係数のまま解く方法［以下B］が考えられます

［A］
両辺を10倍する

x < 4 - 5 x

xの項を左辺に移項する

x + 5 x < 4

6 x < 4

両辺をxの係数6で割る．xの係数が正の数だから，不等号の向きを変えない．

x < \frac{2}{3}

･･･（答）

［B］
xの項を左辺に移項する

0.1 x + 0.5 x < 0.4

0.6 x < 0.4

両辺をxの係数0.6で割る．xの係数が正の数だから，不等号の向きを変えない．

x < \frac{2}{3}

･･･（答）

→解説を隠す←

【問題2-2】
　

0.6 x - 0.5 ≧ 0.2 (x - 3)

【選択肢】

x > \frac{1}{8}

x ≦ \frac{1}{4}

x < \frac{1}{8}

x ≧ - \frac{1}{4}

［解説を読む］

係数が小数になっているときは，両辺を10倍(100倍)などして整数係数に直して解く方法［以下A］と小数係数のまま解く方法［以下B］が考えられます

［A］
両辺を10倍する

6 x - 5 ≧ 2 (x - 3)

（※0.2に10を掛けたら，(x−3)には10を掛けない！）
右辺を展開する

6 x - 5 ≧ 2 x - 6

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

6 x - 2 x ≧ - 6 + 5

4 x ≧ - 1

両辺をxの係数4で割る．xの係数が正の数だから，等号付き不等号の向きを変えない．

x ≧ - \frac{1}{4}

･･･（答）

［B］
右辺を展開する

0.6 x - 0.5 ≧ 0.2 x - 0.6

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

0.6 x - 0.2 x ≧ - 0.6 + 0.5

0.4 x ≧ - 0.1

両辺をxの係数0.4で割る．xの係数が正の数だから，等号付き不等号の向きを変えない．

x ≧ - \frac{1}{4}

･･･（答）

→解説を隠す←

【問題2-3】
　

- 0.7 x + 2.3 > - 0.62 x - 0.1

【選択肢】
x<30 x>30 x<−3 x>−3

［解説を読む］

係数が小数になっているときは，両辺を10倍(100倍)などして整数係数に直して解く方法［A］と小数係数のまま解く方法［B］が考えられます
以下はAの方法の答案

［A］
両辺を100倍する
−70x+230>−62x−10
xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
−70x+62x> −10−230
−8x>−240
両辺をxの係数−8で割る．xの係数が負の数だから，不等号の向きを変える．
x<30･･･（答）

→解説を隠す←

【問題2-4】
　

- 0.3 (x - 0.2) ≦ 0.2 (x - 0.1)

【選択肢】

x ≦ \frac{4}{25}

x ≧ \frac{4}{25}

x ≦ - \frac{4}{25}

x ≧ - \frac{4}{25}

［解説を読む］

係数が小数になっているときは，両辺を10倍(100倍)などして整数係数に直して解く方法［A］と小数係数のまま解く方法［B］が考えられます
以下はBの方法の答案

［B］
左辺と右辺を展開する

- 0.3 x + 0.06 ≦ 0.2 x - 0.02

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

- 0.3 x - 0.2 x ≦ - 0.02 - 0.06

- 0.5 x ≦ - 0.08

両辺をxの係数−0.5で割る．xの係数が負の数だから，等号付き不等号の向きを変える．

x ≧ \frac{4}{25}

･･･（答）

→解説を隠す←

■分数係数の1次不等式■

【問題3-1】
　

\frac{1}{2} + \frac{2}{3} x ≧ \frac{3 x}{4} + \frac{2}{5}

【選択肢】

x ≦ - \frac{6}{5}

x ≧ - \frac{6}{5}

x ≦ \frac{6}{5}

x ≧ \frac{6}{5}

［解説を読む］

係数が分数になっているときは，分母の最小公倍数を掛けて整数係数に直して解く方法［A］と分数のまま解く方法［B］が考えられます
以下はAの方法の答案

［A］
両辺に各々60を掛けて整数係数にする

30 + 40 x ≧ 45 x + 24

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

40 x - 45 x ≧ 24 - 30

- 5 x ≧ - 6

両辺をxの係数−5で割る．xの係数が負の数だから，等号付き不等号の向きを変える．

x ≦ \frac{6}{5}

･･･（答）

→解説を隠す←

【問題3-2】
　

x - \frac{1}{2} < \frac{1}{3} (x - 1)

【選択肢】

x > \frac{1}{4}

x < \frac{1}{4}

x > - \frac{1}{4}

x < - \frac{1}{4}

［解説を読む］

係数が分数になっているときは，分母の最小公倍数を掛けて整数係数に直して解く方法［A］と分数のまま解く方法［B］が考えられます
以下はAの方法の答案

［A］
両辺に各々6を掛けて整数係数にする

6 x - 3 < 2 (x - 1)

6 x - 3 < 2 x - 2

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

6 x - 2 x < - 2 + 3

4 x < 1

両辺をxの係数4で割る．xの係数が正の数だから，不等号の向きを変えない．

x < \frac{1}{4}

･･･（答）

→解説を隠す←

【問題3-3】
　

\frac{2 x - 1}{3} ≦ \frac{3 x + 1}{4}

【選択肢】
x≦7 x≧7 x≦−7 x≧−7

［解説を読む］

両辺に各々12を掛けて分母を払う

4 (2 x - 1) ≦ 3 (3 x + 1)

8 x - 4 ≦ 9 x + 3

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

8 x - 9 x ≦ 3 + 4

- x ≦ 7

両辺をxの係数−1で割る．xの係数が負の数だから，不等号の向きを変える．

x ≧ - 7

･･･（答）

→解説を隠す←

【問題3-4】
　

\frac{3 (x + 1)}{2} > \frac{2 - x}{5}

【選択肢】

x > - \frac{11}{17}

x < - \frac{11}{17}

x > \frac{11}{17}

x < \frac{11}{17}

［解説を読む］

両辺に各々10を掛けて分母を払う

15 (x + 1) > 2 (2 - x)

15 x + 15 > 4 - 2 x

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する

15 x + 2 x > 4 - 15

17 x > - 11

両辺をxの係数17で割る．xの係数が正の数だから，不等号の向きを変えない．

x > - \frac{11}{17}

･･･（答）

→解説を隠す←

• 絶対値付きの不等式を解くとき，次の(1)(2)のような特別な場合もあるが，通常は【問題4-1】以下のように場合分けして解くとよい．

a > 0

のとき

| x | < a ⟺ - a < x < a

･･･(1)

| x | > a ⟺ x < - a, a < x

･･･(2)

• 絶対値記号が2つあるときは3つの区間に分け,絶対値記号が3つあるときは4つの区間に分ける

■絶対値記号のある1次不等式■

【問題4-1】
　

∣ 2 x - 1 ∣< 3 x + 2

【選択肢】

x > - 3

- \frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}

x > - \frac{1}{5}

x > \frac{1}{2}

［解説を読む］

ア）

x < \frac{1}{2}

のとき

- (2 x - 1) < 3 x + 2

- 2 x + 1 < 3 x + 2

- 2 x - 3 x < 2 - 1

- 5 x < 1

x > - \frac{1}{5}

したがって，

- \frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}

イ）

x ≧ \frac{1}{2}

のとき

2 x - 1 < 3 x + 2

2 x - 3 x < 2 + 1

- x < 3

x > - 3

したがって，

x ≧ \frac{1}{2}

ア）イ）より，結局

x > - \frac{1}{5}

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4-2】
　

∣ 2 x - 3 ∣≧ x + 2

【選択肢】

x ≦ \frac{3}{2}

x ≧ \frac{1}{3}

\frac{1}{3} ≦ x ≦ 5

x ≦ \frac{1}{3}, 5 ≦ x

［解説を読む］

ア）

x < \frac{3}{2}

のとき

- (2 x - 3) ≧ x + 2

- 2 x + 3 ≧ x + 2

- 2 x - x ≧ 2 - 3

- 3 x ≧ - 1

x ≦ \frac{1}{3}

したがって，

x ≦ \frac{1}{3}

イ）

x ≧ \frac{3}{2}

のとき

2 x - 3 ≧ x + 2

2 x - x ≧ 2 + 3

x ≧ 5

したがって，

x ≧ 5

ア）イ）より，結局

x ≦ \frac{1}{3}, 5 ≦ x

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4-3】
　

∣ x ∣ + ∣ x - 1 ∣≦ x + 2

【選択肢】

- \frac{1}{3} ≦ x < 3

- \frac{1}{3} < x ≦ 3

- \frac{1}{3} < x < 3

- \frac{1}{3} ≦ x ≦ 3

［解説を読む］

ア）

x < 0

のとき

- x - (x - 1) ≦ x + 2

- 3 x ≦ 1

x ≧ - \frac{1}{3}

したがって，

- \frac{1}{3} ≦ x < 0

イ）

0 ≦ x < 1

のとき

x - (x - 1) ≦ x + 2

- 1 ≦ x

したがって，

0 ≦ x < 1

ウ）

1 ≦ x

のとき

x + (x - 1) ≦ x + 2

x ≦ 3

したがって，

1 ≦ x ≦ 3

ア）イ）ウ）より，結局

- \frac{1}{3} ≦ x ≦ 3

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4-4】
　

∣ x + 1 ∣ + 2 ∣ x - 1 ∣< 3

【選択肢】

x < 0

0 < x < \frac{4}{3}

- 3 < x < 2

x > \frac{4}{3}

［解説を読む］

ア）

x < - 1

のとき

- (x + 1) - 2 (x - 1) < 3

- x - 1 - 2 x + 2 < 3

3 x > - 2

x > - \frac{2}{3}

　　ここからは，解は出ない
イ）

- 1 ≦ x < 1

のとき

(x + 1) - 2 (x - 1) < 3

x + 1 - 2 x + 2 < 3

x > 0

　　したがって，

0 < x < 1

ウ）

1 ≦ x

のとき

(x + 1) + 2 (x - 1) < 3

x + 1 + 2 x - 2 < 3

3 x < 4

x < \frac{4}{3}

したがって，

1 ≦ x < \frac{4}{3}

ア）イ）ウ）より，結局

0 < x < \frac{4}{3}

･･･（答）
→解説を隠す←

【連立不等式の解き方】
• 中学校で習ったように連立方程式は，２つの方程式を足したり引いたり，代入したりして変数の個数を減らして解く．

2x+3y=5･･･(1)
2x−3y=−1･･･(2)
⇒ (1)+(2)など
• これに対して，連立不等式を解くには，２つの不等式を足したり引いたりせずに，１つずつ解いて，それらの共通部分を求める．

2(x−2)>1･･･(3)
x+1<3(x+1)･･･(4)
⇒ (3)(4)を別々に解く

■1次の連立不等式■

【問題5-1】

2(x−2)>1
x+1<3(x+1)
【選択肢】

- 1 < x < \frac{5}{2}

x < - 1, \frac{5}{2} < x

x > - 1

x > \frac{5}{2}

［解説を読む］

2(x−2)>1より

2 x - 4 > 1

2 x > 5

x > \frac{5}{2}

･･･(1)

x+1<3(x+1)より

x + 1 < 3 x + 3

- 2 x < 2

x > - 1

･･･(2)
(1)(2)の共通部分を求めると

x > \frac{5}{2}

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5-2】

2x−1≧3
4x−1<3(x+1)
【選択肢】
x≧2 x>4 2≦x<4 x≦2, 4<x

［解説を読む］

2x−1≧3より
2x≧4
x≧2･･･(1)
4x−1<3(x+1)より
4x−1<3x+3
x<4･･･(2)
(1)(2)の共通部分を求めると2≦x<4･･･（答）
→解説を隠す←

【A<B<Cの形の連立不等式の解き方】

A<B･･･(1)
B<C･･･(2)
のように連立不等式に直して解くとよい．
※次の形にはならない

A<B･･･(1)
A<C･･･(2)

【問題5-3】
3x−5≦x<2x+1
【選択肢】

- 1 < x ≦ \frac{5}{2}

- 1 < x ≦ 6

x > - 1

x ≦ \frac{5}{2}

［解説を読む］

3x−5≦x
x<2x+1
に直して解く
3x−5≦xより

2 x ≦ 5

x ≦ \frac{5}{2}

･･･(1)
x<2x+1より

- x < 1

x > - 1

･･･(2)
(1)(2)の共通部分を求めると

- 1 < x ≦ \frac{5}{2}

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5-4】
x−4≦3x−2≦x+6
【選択肢】
−2≦x≦8 −2<x<8 −1≦x≦4 −1<x<4
　

［解説を読む］

x−4≦3x−2
3x−2≦x+6
に直して解く
x−4≦3x−2より
−2x≦2
x≧−1･･･(1)
3x−2≦x+6より
2x≦8
x≦4･･･(2)
(1)(2)の共通部分を求めると−1≦x≦4･･･（答）
→解説を隠す←

【文字係数の不等式の解き方】
• 文字係数の不等式を解くときは，係数の文字が「正の数である場合」「負の数である場合」「０である場合」に分けて，不等号の向きを考えるとよい．

【例題6】
　aが定数であるとき，次の不等式をxについて解け．
ax>1

（解答）

ア） a>0のとき

x > \frac{1}{a}

イ） a=0のとき
　左辺は0になり，右辺は1だから，どんなxを持ってきても成り立たない．
ウ） a<0のとき

x < \frac{1}{a}

ア）の例
　例えば，a=2のとき

x > \frac{1}{2}

ウ）の例
　例えば，a=−3のとき

x < \frac{1}{- 3}

※a自身が負の数だから，

x < - \frac{1}{a}

などと考えないように

■文字係数の1次不等式■

【問題6-1】
aが定数であるとき，次の不等式をxについて解け．
ax<3x+4

［解説を読む］

(a−3)x<4と変形する
ア） a>3のとき

x < \frac{4}{a - 3}

イ） a=3のとき
　左辺は0になり，右辺は4だから，どんなxを持ってきても成り立つ．すなわち，xはすべての実数
ウ） a<3のとき

x > \frac{4}{a - 3}

→解説を隠す←

【問題6-2】
aが定数であるとき，次の不等式をxについて解け．

a x + 4 > 2 x + a^{2}

［解説を読む］

(a - 2) x > (a - 2) (a + 2)

と変形する
ア） a>2のとき
x>a+2
イ） a=2のとき
　両辺とも0になるから，どんなxを持ってきても不等式は成り立たない．すなわち，解なし
ウ） a<2のとき
x<a+2

※aが−2よりも大きいか，小さいかに応じた場合分けは不要

→解説を隠す←

【問題6-3】
a, bが定数であるとき，次の不等式をxについて解け．

a x - b ≦ x - 2

［解説を読む］

(a - 1) x ≦ b - 2

･･･(1)と変形する
ア） a>1のとき

x ≦ \frac{b - 2}{a - 1}

イ） a<1のとき

x ≧ \frac{b - 2}{a - 1}

ウ） a=1のとき，(1)式の左辺は0になる

その1)

b≧2のとき，(1)式の右辺は0以上になるから，どんなxを持ってきても成り立つ．すなわち，xはすべての実数

その2)

b<2のとき，(1)式の右辺は負の数になるから，どんなxを持ってきても不等式は成り立たない．すなわち，解なし

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【問題6-4】
a, bが定数であるとき，次の不等式をxについて解け．

a (x - 1) < b (x + 1)

［解説を読む］

a x - a < b x + b

(a - b) x < a + b

･･･(1)と変形する
ア） a>bのとき

x < \frac{a + b}{a - b}

イ） a<bのとき

x > \frac{a + b}{a - b}

ウ） a=bのとき，(1)式の左辺は0になる

その1)

a=b>0のとき，(1)式の右辺は正の数になるから，どんなxを持ってきても成り立つ．すなわち，xはすべての実数

その2)

a=b≦0のとき，(1)式の右辺は０以下の数になるから，どんなxを持ってきても不等式は成り立たない．すなわち，解なし

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