不等式の証明

※高校数学Ⅰの「不等式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は，他の頁を先に見てください．　が現在地です．

[1]　大小比較の原則

(1) 実数a, bについて，a<bを証明するには，b−a>0を示せばよい．（※差の符号を調べるとよい）

cが正の数であっても負の数であっても
b<aならばb+c<a+cが成り立つ．
b<aならばb−c<a−cが成り立つ．
b>aならばb+c>a+cが成り立つ．
b>aならばb−c>a−cが成り立つ．

特に
b>aならばb−a>0が成り立つ．
b−a>0ならばb>aが成り立つ．…(*)
（※移項できると考えてもよい．）

この最後の関係(*)を大小比較の判断に使い，ある数bがaよりも大きいかどうかを調べることよりも，b−aの符号を調べる方が簡単なので，b−aの符号で調べると考えたらよい．（本当はこれが定義）

【例題1.1】
a<b, c<dのとき，a−d<b−cが成り立つことを証明してください．

【例題1.2】
a<bのとき，

a < \frac{a + b}{2}

が成り立つことを証明してください．

(1)
a<b, c<dのとき，a+c<b+dが成立するかどうか調べてください．

解説やり直す

仮定より
b−a>0, d−c>0
このとき
(b+d)−(a+c)=(b−a)+(d−c)>0
したがって
a+c<b+dはつねに成立する．

→閉じる←

(2)
a<b, c<dのとき，ac<bdが成立するかどうか調べてください．

解説やり直す

証明できないな～♪＃と感じたら，例と反例を考えてみるとよい．
a=−3<b=−1, c=−2<d=−1のとき
ac=6>bd=1
だから，成り立たないことがある．
a=1<b=3, c=2<d=4のとき
ac=2<bd=12
だから，成り立つことがある．
以上から，成立するとは限らない．

→閉じる←

0<a<b, 0<c<dの場合は，(0<)ac<bc<bdとなって，つねに成立しますが，この正の数という条件がなければ，上の反例のようにacの方が大きくなる場合があります．

[2]　正負の数との積

(1) a<b, c>0のとき
ac<bcが成り立つ

すなわち不等式a<bの両辺に正の数cを掛けても不等号の向きは変わらない

\frac{a}{c} < \frac{b}{c}

が成り立つ

すなわち不等式a<bの両辺を正の数cで割っても不等号の向きは変わらない

(2) a<b, c<0のとき
ac>bcが成り立つ

すなわち不等式a<bの両辺に負の数cを掛けると不等号の向きが逆になる

\frac{a}{c} > \frac{b}{c}

が成り立つ

すなわち不等式a<bの両辺を負の数cで割ると不等号の向きが逆になる

【まとめ】
　注意しなければならないのは，負の数を掛けたり割ったりするときだけです．(3)だけは要注意

正の数や負の数を足しても引いても不等号の向きは変わらない．
(1) a<bのとき（cが正の数であっても負の数であっても）
a+c<b+cが成り立つ
a−c<b−cが成り立つ

(2) a<b, c>0のとき
ac<bcが成り立つ

\frac{a}{c} < \frac{b}{c}

が成り立つ
(3) a<b, c<0のとき
ac>bcが成り立つ

\frac{a}{c} > \frac{b}{c}

が成り立つ

【例題2.1】
0<a<b, 0<c<dのとき，ac<bdが成り立つことを証明してください．

【例題2.2】
|x|<1, |y|<1, |z|<1のとき，次の不等式が成り立つことを証明してください．
(1)　xy+1>x+y
(2)　xyz+2>x+y+z

(1)
0<a<b, 0<c<dのとき，

\frac{d}{a} < \frac{c}{b}

が成立するかどうか調べてください．

解説やり直す

\frac{c}{b} - \frac{d}{a}

の符号を調べる．

\frac{c}{b} - \frac{d}{a} = \frac{a c - b d}{a b}

ここで
分母は正
ac<bc<bdにより分子ac−bdの符号は負
したがって

\frac{a c - b d}{a b} < 0

ゆえに

\frac{d}{a} < \frac{c}{b}

はつねに成立しない．

(2)
a, b≧2のとき，次の不等式が成立するかどうか調べてください．
ab>a+b

解説やり直す

ab−(a+b)=(a−1)(b−1)−1
ここで
a−1≧1, b−1≧1
a=2, b=2のときは成立しない．それ以外の場合は成立する．

※正の数については，比が１よりも大きいか小さいかで比較することもできます．
すなわち

a, b>0のとき

\frac{b}{a} > 1 \leftarrow\to b > a

\frac{b}{a} < 1 \leftarrow\to b < a

今，両辺とも正だから比で調べると

\frac{a + b}{a b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a} ≦ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

だから
a=2, b=2のときは等しくなって不等号は成立しない．それ以外の場合は成立する．

(3)
a, b, c≧2のとき，次の不等式が成立するかどうか調べてください．
3abc≧4(a+b+c)

解説やり直す

abc≧2×2×a
abc≧2×2×b
abc≧2×2×c
辺々加えると
3abc≧4(a+b+c)
したがって，つねに成立する．

※両辺とも正だから比で比較すると

\frac{4 (a + b + c)}{3 a b c} = \frac{4}{3} (\frac{1}{b c} + \frac{1}{a c} + \frac{1}{a b})

≦ \frac{4}{3} (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = 1

したがって，つねに成立する．

[3]　平方完成による絶対不等式の証明

(1)　a2≧0　（等号はa=0のとき）

【例】　文字aのかわりに式が入るもの
a2−2ab+b2=(a−b)2≧0
（等号はa−b=0すなわちa=bのとき）

(2)　a2+b2≧0（等号はa=b=0のとき）

【例】文字a, bのかわりに式が入るもの

a^{2} + a b + b^{2} = (a + \frac{b}{2})^{2} + \frac{3}{4} b^{2} ≧ 0

（等号は

a + \frac{b}{2} = 0, b = 0

すなわちa=b=0のとき）

(3)　a2+（正の数）>0

【例】文字aのかわりに式が入るもの
x2−2x+3=(x−1)2+2>0

【例題3.1】
a2+b2≧2(a+b−1)が成り立つことを証明してください．

【例題3.2】
a, b>0のとき

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} ≧ \frac{4}{a + b}

が成り立つことを証明してください．

(1)
x2+1>xが成立するかどうか調べてください．

解説やり直す

（左辺）−（右辺）

= x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} ≧ \frac{3}{4} > 0

だから，つねに成立する．

(2)
a2+b2+c2+ab+bc+ca>0が成立するかどうか調べてください．

解説やり直す

（左辺）

= \frac{(a + b)^{2} + (b + c)^{2} + (c + a)^{2}}{2} ≧ 0

等号が成立するのはa=−b, b=−c, c=−aすなわちa=b=c=0のとき
したがって，等号が成立する場合と不等号が成立する場合があり，不等号が成立するとは限らない．

(3)
(a2+b2)(c2+d2)≧(ac+bd)2が成立するかどうか調べてください．

解説やり直す

（左辺）−（右辺）=(a2+b2)(c2+d2)−(ac+bd)2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2−(a2c2+2acbd+b2d2)
=ad2+b2c2−2acbd
=(ad−bc)2≧0
等号成立はad=bcのとき
したがって，つねに成立する．

a, b>0のとき
a<b → an<bn…(1)
an<bn → a<b…(2)

【例題4.1】
２つの正の数a, bの相加平均

\frac{a + b}{2}

，相乗平均

\sqrt{a b}

，調和平均

\frac{1}{\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2}} = \frac{2 a b}{a + b}

の大小を比較してください．

【例題4.2】
２つの正の数a, bの
2乗平均

\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}

と相加平均

\frac{a + b}{2}

の大小を比較してください．

(1)
a, b>0のとき

\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}}

と

\sqrt{a + b}

の大小関係を調べてください．

解説やり直す

２数とも正だから根号を取り除くために２乗して比較する．

(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}})^{2} - (\sqrt{a + b})^{2}

= \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{2} - (a + b)

= \frac{- a + 2 \sqrt{a b} - b}{2} = - \frac{a - 2 \sqrt{a b} + b}{2}

= - \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}}{2} ≦ 0

したがって

\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}} ≦ \sqrt{a + b}

等号はa=bのとき

(2)
a, b, c>0のとき

\frac{a + b + c}{3}

と

\sqrt{\frac{a b + b c + c a}{3}}

の大小関係を調べてください．

解説やり直す

２数とも正だから根号を取り除くために２乗して比較する．

(\frac{a + b + c}{3})^{2} - (\sqrt{\frac{a b + b c + c a}{3}})^{2}

= \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a}{9} - \frac{a b + b c + c a}{3}

= \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a}{9}

= \frac{1}{9} \times \frac{(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}}{2} ≧ 0

したがって

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt{\frac{a b + b c + c a}{3}}

等号はa=b=cのとき

[5]　（相加平均）≧（相乗平均）≧（調和平均）の関係

a, b>0のとき

\frac{a + b}{2} ≧ \sqrt{a b}

…(1)
等号はa=bのとき

a, b, c>0のとき

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c}

…(2)
等号はa=b=cのとき

a, b, c, d>0のとき

\frac{a + b + c + d}{4} ≧ \sqrt[4]{a b c d}

…(3)
等号はa=b=c=dのとき

５文字以上のときも同様にして成り立つ

(1)の証明は例題4.1にあります．

(3)は(1)の結果を使って証明できます．

\frac{a + b + c + d}{4} = \frac{\frac{a + b}{2} + \frac{c + d}{2}}{2} ≧ \frac{\sqrt{a b} + \sqrt{c d}}{2}

≧ \sqrt{\sqrt{a b} \sqrt{c d}} = \sqrt[4]{a b c d}

等号はa=b, c=d, ab=cdすなわちa=b=c=dのとき

(2)は(3)から証明できます．

\frac{a + b + c + d}{4} ≧ \sqrt[4]{a b c d}

において

d = \frac{a + b + c}{3}

とおくと

\frac{a + b + c + \frac{a + b + c}{3}}{4} ≧ \sqrt[4]{a b c \frac{a + b + c}{3}}

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[4]{a b c \frac{a + b + c}{3}}

両辺を4乗すると

(\frac{a + b + c}{3})^{4} ≧ a b c \frac{a + b + c}{3}

(\frac{a + b + c}{3})^{3} ≧ a b c

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c}

等号は

a = b = c = \frac{a + b + c}{3}

すなわちa=b=c=dのとき

※一般のｎ文字の(相加平均)≧(相乗平均)の関係の証明も，上記のように2ⁿ個から下っていく帰納法で証明できますが，直接的には対数関数が上に凸であることを利用すると速い（ここでは触れない）

【例題5.1】
a, b, c>0のとき(a+b)(b+c)(c+a)≧8abcが成り立つことを証明してください．

【例題5.2】
a, b, c>0のとき

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ \frac{1}{\sqrt{a b}} + \frac{1}{\sqrt{b c}} + \frac{1}{\sqrt{c a}}

が成り立つことを証明してください．

(1)
a, b, c>0のとき

(a + b + c) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c})

と定数4の大小関係を調べてください．

解説やり直す

すべて正の数だから（相加平均）≧（相乗平均）の関係が成り立つ

\frac{(a + b) + c}{2} ≧ \sqrt{(a + b) c} > 0

\frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c}}{2} ≧ \sqrt{\frac{1}{a + b} \times \frac{1}{c}} > 0

両辺とも正だから辺々かけても不等号の向きは変わらない

\frac{(a + b) + c}{2} \times \frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c}}{2} ≧ \sqrt{(a + b) c} \sqrt{\frac{1}{a + b} \times \frac{1}{c}} = 1

ゆえに

(a + b + c) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c}) ≧ 4

等号はa+b=cのとき

(2)
a, b, c>0のとき

(a + b + c) (a b + b c + c a) ≧ k a b c

を満たす定数kの最大値は

解説やり直す

すべて正の数だから（相加平均）≧（相乗平均）の関係が成り立つ

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c} > 0

\frac{a b + b c + c a}{3} ≧ \sqrt[3]{a b b c c a} = \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} > 0

両辺とも正だから辺々かけても不等号の向きは変わらない

\frac{a + b + c}{3} \times \frac{a b + b c + c a}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c} \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} = a b c

したがって

(a + b + c) (a b + b c + c a) ≧ 9 a b c

等号はa=b=cのとき
ゆえにk=9

(3)
a, b, c>0のとき

a^{4} + b^{4} + c^{4} ≧ k a b c (a + b + c)

を満たす定数kの最大値は

解説やり直す

すべて正の数だから（相加平均）≧（相乗平均）の関係が成り立つ

a^{4} + b^{4} + c^{4} = \frac{a^{4} + b^{4}}{2} + \frac{b^{4} + c^{4}}{2} + \frac{c^{4} + a^{4}}{2}

≧ a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}

= \frac{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}}{2} + \frac{b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}{2} + \frac{c^{2} a^{2} + a^{2} b^{2}}{2}

≧ a b b c + b c c a + c a a b = a b c (a + b + c)

したがって

a^{4} + b^{4} + c^{4} ≧ a b c (a + b + c)

等号はa=b=cのとき
ゆえにk=1

(1)
a, b, c>0のとき

\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} ≧ \frac{k}{2 (a + b + c)}

を満たす定数kの最大値は

解説やり直す

x = \frac{1}{a + b}, y = \frac{1}{b + c}, z = \frac{1}{c + a}

とおくと

\frac{1}{x} = a + b, \frac{1}{y} = b + c, \frac{1}{z} = c + a

このとき，上記の（相加平均）≧（調和平均）の関係

\frac{x + y + z}{3} ≧ \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}

から

\frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}}{3} ≧ \frac{1}{\frac{(a + b) + (b + c) + (c + a)}{3}}

すなわち

\frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}}{3} ≧ \frac{3}{(a + b) + (b + c) + (c + a)}

さらに，右辺を変形

\frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}}{3} ≧ \frac{3}{2 (a + b + c)}

結局

\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} ≧ \frac{9}{2 (a + b + c)}

したがって， $k$ の最大値は9

(2)
a, b, cが三角形の３辺の長さを表すとき

\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c} ≧ \frac{k}{a + b + c}

を満たす定数kの最大値は

解説やり直す

x = \frac{1}{b + c - a}, y = \frac{1}{c + a - b}, z = \frac{1}{a + b - c}

とおくと

\frac{1}{x} = b + c - a, \frac{1}{y} = c + a - b, \frac{1}{z} = a + b - c

三角形の２辺の長さの和は他の１辺の長さよりも大きいから，

x, y, z, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} > 0

このとき，上記の（相加平均）≧（調和平均）の関係

\frac{\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c}}{3}

≧ \frac{3}{(b + c - a) + (c + a - b) + (a + b - c)}

から

\frac{\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c}}{3} ≧ \frac{3}{a + b + c}

\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c} ≧ \frac{9}{a + b + c}

したがって， $k$ の最大値は9

[6]　シュワルツの不等式

(a2+b2)(x2+y2)≧(ax+by)2…(1)

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≧(ax+by+cz)2…(2)

※この関係は変数がｎ個×２のときも成り立ちます

楽しく

\frac{x}{a} = \frac{y}{b}

のときと言いたいところであるが，この形で書くとa, bが０になるとき分母が０になって困る
そこで，まとめて書く方法を考える

(1)
実数a, b, cについて

k (a^{2} + b^{2} + c^{2}) ≧ (a + b + c)^{2}

を満たす定数kの最小値は

解説やり直す

シュワルツの不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≧(ax+by+cz)2においてx=y=z=1を代入すると
(a2+b2+c2)×3≧(a+b+c)2
等号はa:x=b:y=c:zのとき，すなわちa=b=cのとき
このとき

3 ≧ \frac{(a + b + c)^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

だから

k ≧ 3 ≧ \frac{(a + b + c)^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

のとき成り立つ．すなわち,kの最小値は3

(2)
どんな実数a, b, cについても

k (a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}) ≧ (a + 2 b + 3 c)^{2}

が成り立つとき，定数kの最小値は

解説やり直す

シュワルツの不等式(x2+y2+z2)(p2+q2+r2)≧(px+qy+rz)2において

x = 1, y = \sqrt{2}, z = \sqrt{3}

p = a, q = \sqrt{2} b, r = \sqrt{3}

を代入すると

(1 + 2 + 3) (a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}) ≧ (a + 2 b + 3 c)^{2}

6 (a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}) ≧ (a + 2 b + 3 c)^{2}

等号は

p : q : r = 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}

のとき
このとき

6 ≧ \frac{(a + 2 b + 3 c)^{2}}{(a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2})}

だから

k ≧ 6 \underset{―}{\geq} \frac{(a + 2 b + 3 c)^{2}}{(a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2})}

のとき成り立つ．すなわち,kの最小値は6

[7]　チェビシェフの不等式

a≦b, x≦yのとき

\frac{a + b}{2} \cdot \frac{x + y}{2} ≦ \frac{a x + b y}{2}

…(1)
等号はa=bまたはx=yのとき

a≦b≦c, x≦y≦zのとき

\frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{x + y + z}{3} ≦ \frac{a x + b y + c z}{3}

…(2)
等号はa=b=cまたはx=y=zのとき

※文字数がｎ個×２のときも同様の関係が成り立つ

　この不等式を証明するためには，仮定の使い方を考えることが重要です．
b−a≧0, y−x≧0の形を作るしかない！

【例題7.1】
a, b>0のとき

\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot \frac{a^{3} + b^{3}}{2} ≦ \frac{a^{5} + b^{5}}{2}

が成り立つことを証明してください．

一見，チェビシェフの不等式がそのまま使えそうに見えますが，その前提条件a≦bが満たされておらず，代わりにa, b>0となっていることに注意
仕方がないので，初めから自分で証明する方がよい

【例題7.2】
0<a≦b≦cのとき

(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{3} + b^{3} + c^{3}) ≦ 3 (a^{5} + b^{5} + c^{5})

が成り立つことを証明してください．

大学入試の記述式答案では「高校の教科書に書いてある定理・公式は黙って使ってもよい」「高校の教科書に書いてない定理・公式は黙って使ってはいけない」というのが通常の採点基準でしょう．
チェビシェフの不等式は，ほとんどの教科書に書いてないので，使うときは「証明してから使う」「公式名と公式を書いてから使う」方が無難でしょう．

p≦q≦r, x≦y≦zのとき

\frac{p + q + r}{3} \cdot \frac{x + y + z}{3} ≦ \frac{p x + q y + r z}{3}

等号はp=q=rまたはx=y=zのとき

(1)
(0<)a≦b≦cのとき

(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{3} + b^{3} + c^{3})

≦ k (a^{6} + b^{6} + c^{6})

を満たす定数kの最小値は

解説やり直す

仮定より0<a≦b≦cだから0<a2≦b2≦c2および0<a3≦b3≦c3が成り立つ．

チェビシェフの不等式

p≦q≦r, x≦y≦zのとき

\frac{p + q + r}{3} \cdot \frac{x + y + z}{3} ≦ \frac{p x + q y + r z}{3}

等号はp=q=rまたはx=y=zのとき

において，p=a, q=b, r=cおよびx=a2, y=b2, z=c2とおくと

\frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} ≦ \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}

さらに，p=a3, q=b3, r=c3およびx=a3, y=b3, z=c3とおくと

\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} \cdot \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} ≦ \frac{a^{6} + b^{6} + c^{6}}{3}

したがって

\frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} \cdot \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}

≦ \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} \cdot \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}

≦ \frac{a^{6} + b^{6} + c^{6}}{3}

ゆえに

(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{3} + b^{3} + c^{3}) ≦ 9 (a^{6} + b^{6} + c^{6})

すなわち,kの最小値は9

(2)
a≦b≦c, x≦2y≦3z, a+b+c=0のとき

a x + 2 b y + 3 c z

の最小値は

解説やり直す

チェビシェフの不等式

p≦q≦r, s≦t≦uのとき

\frac{p + q + r}{3} \cdot \frac{s + t + u}{3} ≦ \frac{p s + q t + r u}{3}

等号はp=q=rまたはs=t=uのとき

において，p=a, q=b, r=cおよびs=x, t=2y, u=3zとおくと

\frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{x + 2 y + 3 z}{3} ≦ \frac{a x + 2 b y + 3 c z}{3}

仮定によりa+b+c=0だから

0 ≦ a x + 2 b y + 3 c z

x=2y=3z（たとえばx=6, y=3, z=2）のとき，最小値0となる

(3)
(0<)a≦b≦cのとき，次の不等式のAの箇所に入る式を求めてください

(a + b + c)^{n} ≦ A (a^{n} + b^{n} + c^{n})

解説やり直す

チェビシェフの不等式

p≦q≦r, s≦t≦uのとき

\frac{p + q + r}{3} \cdot \frac{s + t + u}{3} ≦ \frac{p s + q t + r u}{3}

等号はp=q=rまたはs=t=uのとき

において，p=a, q=b, r=cおよびs=a, t=b, u=cとおくと

\frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{a + b + c}{3} ≦ \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}

だから

(\frac{a + b + c}{3})^{2} ≦ \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}

さらに

(\frac{a + b + c}{3})^{2} (\frac{a + b + c}{3}) ≦ (\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}) (\frac{a + b + c}{3})

≦ (\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3})

だから

(\frac{a + b + c}{3})^{3} ≦ (\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3})

以下同様にして

(\frac{a + b + c}{3})^{n} ≦ (\frac{a^{n} + b^{n} + c^{n}}{3})

ゆえに

(a + b + c)^{n} ≦ 3^{n - 1} (a^{n} + b^{n} + c^{n})

鬯ｮ�ｫ�ｽ�ｨ�ｽ�ｽ�ｽ�ｳ鬮ｯ蜈ｷ�ｽ�ｹ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ鬮ｫ�ｴ�ｽ�ｫ髯樊ｻ楢��ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬯ｩ謳ｾ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｮ鬯ｮ�ｯ雋�ｽｷ驕假ｿｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�｢鬯ｩ蟷｢�ｽ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｧ鬮ｯ蜿･�ｹ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬯ｩ謳ｾ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｦ鬯ｩ謳ｾ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｿｽ遘�ｿｽ�ｽ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ�ｽ�｢鬮ｮ蛟ｶ�ｼ�ｽ�ｽ�ｳ�ｽ�ｶ�ｽ�ｽ�ｽ�ｦ鬯ｩ謳ｾ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｯ鬯ｮ�ｯ�ｽ�ｷ鬮｣魃会ｽｽ�ｨ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｨ鬯ｯ�ｯ�ｽ�ｩ髯晢ｽｷ�ｽ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｨ鬯ｯ�ｮ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ�ｽ�ｱ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｭ鬯ｩ謳ｾ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｾ鬯ｩ謳ｾ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ鬮ｯ譎｢�ｽ�ｶ髯ｷ�ｷ�ｽ�ｮ�ｽ縺､ﾂ�ｽ�ｽ�ｽ�ｻ鬯ｩ蟷｢�ｽ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｧ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬮｢�ｾ�ｽ�･�ｽ�ｽ�ｽ�ｸ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�｣鬯ｩ謳ｾ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｦ鬯ｩ謳ｾ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩包ｽｶ隰ｫ�ｾ�ｽ�ｽ�ｽ�ｪ鬯ｩ謳ｾ�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｺ鬮ｯ�ｷ�ｽ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｼ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ
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