不等式の証明

仮定より
b−a>0, d−c>0
このとき
(b+d)−(a+c)=(b−a)+(d−c)>0
したがって
a+c<b+dはつねに成立する．

→閉じる←

(2)
a<b, c<dのとき，ac<bdが成立するかどうか調べてください．

証明できないな～♪＃と感じたら，例と反例を考えてみるとよい．
a=−3<b=−1, c=−2<d=−1のとき
ac=6>bd=1
だから，成り立たないことがある．
a=1<b=3, c=2<d=4のとき
ac=2<bd=12
だから，成り立つことがある．
以上から，成立するとは限らない．

→閉じる←

0<a<b, 0<c<dの場合は，(0<)ac<bc<bdとなって，つねに成立しますが，この正の数という条件がなければ，上の反例のようにacの方が大きくなる場合があります．

[2]　正負の数との積

(1) a<b, c>0のとき
ac<bcが成り立つ

すなわち不等式a<bの両辺に正の数cを掛けても不等号の向きは変わらない

\frac{a}{c} < \frac{b}{c}

が成り立つ

すなわち不等式a<bの両辺を正の数cで割っても不等号の向きは変わらない

(2) a<b, c<0のとき
ac>bcが成り立つ

すなわち不等式a<bの両辺に負の数cを掛けると不等号の向きが逆になる

\frac{a}{c} > \frac{b}{c}

が成り立つ

すなわち不等式a<bの両辺を負の数cで割ると不等号の向きが逆になる

【まとめ】
　注意しなければならないのは，負の数を掛けたり割ったりするときだけです．(3)だけは要注意

正の数や負の数を足しても引いても不等号の向きは変わらない．
(1) a<bのとき（cが正の数であっても負の数であっても）
a+c<b+cが成り立つ
a−c<b−cが成り立つ

(2) a<b, c>0のとき
ac<bcが成り立つ

\frac{a}{c} < \frac{b}{c}

が成り立つ
(3) a<b, c<0のとき
ac>bcが成り立つ

\frac{a}{c} > \frac{b}{c}

が成り立つ

【例題2.1】
0<a<b, 0<c<dのとき，ac<bdが成り立つことを証明してください．

（解答）
a<bで0<cだから
ac<bc
c<dで0<bだから
bc<bd
ゆえに
ac<bd
※次のような短縮答案でよい．
ac<bc<bd

【例題2.2】
|x|<1, |y|<1, |z|<1のとき，次の不等式が成り立つことを証明してください．
(1)　xy+1>x+y
(2)　xyz+2>x+y+z

（解答）
(1)　差の符号を調べる
(xy+1)−(x+y)=(x−1)(y−1)
ここで
|x|<1だからx−1<0
|y|<1だからy−1<0
したがって
(x−1)(y−1)>0
ゆえに
xy+1>x+y
(2)　因数分解できない．(1)を２回使って証明する
|xy|<1, |z|<1だから(1)により
(xy)(z)+1>(xy)+(z)
(xy)(z)+2>(xy)+(z)+1…(A)
さらに(1)により
xy+1>x+y…(B)
(A)(B)より
xyz+2>x+y+z

【問題２】　次の不等式について「つねに成立する」「成立するとは限らない」「つねに成立しない」のうちから選んでください．（クリックする）

(1)
0<a<b, 0<c<dのとき，

\frac{d}{a} < \frac{c}{b}

が成立するかどうか調べてください．

\frac{c}{b} - \frac{d}{a}

の符号を調べる．

\frac{c}{b} - \frac{d}{a} = \frac{a c - b d}{a b}

ここで
分母は正
ac<bc<bdにより分子ac−bdの符号は負
したがって

\frac{a c - b d}{a b} < 0

ゆえに

\frac{d}{a} < \frac{c}{b}

はつねに成立しない．

(2)
a, b≧2のとき，次の不等式が成立するかどうか調べてください．
ab>a+b

ab−(a+b)=(a−1)(b−1)−1
ここで
a−1≧1, b−1≧1
a=2, b=2のときは成立しない．それ以外の場合は成立する．

※正の数については，比が１よりも大きいか小さいかで比較することもできます．
すなわち

a, b>0のとき

\frac{b}{a} > 1 \leftarrow\to b > a

\frac{b}{a} < 1 \leftarrow\to b < a

今，両辺とも正だから比で調べると

\frac{a + b}{a b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a} ≦ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

だから
a=2, b=2のときは等しくなって不等号は成立しない．それ以外の場合は成立する．

(3)
a, b, c≧2のとき，次の不等式が成立するかどうか調べてください．
3abc≧4(a+b+c)

abc≧2×2×a
abc≧2×2×b
abc≧2×2×c
辺々加えると
3abc≧4(a+b+c)
したがって，つねに成立する．

※両辺とも正だから比で比較すると

\frac{4 (a + b + c)}{3 a b c} = \frac{4}{3} (\frac{1}{b c} + \frac{1}{a c} + \frac{1}{a b})

≦ \frac{4}{3} (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = 1

したがって，つねに成立する．

[3]　平方完成による絶対不等式の証明

　虚数には大小という考えはないので，不等式に登場するのは原則として実数です．
　実数は２乗すると０以上になるので，次のような平方完成の変形により正負の判断ができます．
　このような不等式は，登場する文字の正負などの条件にかかわらず成立するので「絶対不等式」と呼ばれることがあります．

(1)　a2≧0　（等号はa=0のとき）

【例】　文字aのかわりに式が入るもの
a2−2ab+b2=(a−b)2≧0
（等号はa−b=0すなわちa=bのとき）

(2)　a2+b2≧0（等号はa=b=0のとき）

【例】文字a, bのかわりに式が入るもの

a^{2} + a b + b^{2} = (a + \frac{b}{2})^{2} + \frac{3}{4} b^{2} ≧ 0

（等号は

a + \frac{b}{2} = 0, b = 0

すなわちa=b=0のとき）

(3)　a2+（正の数）>0

【例】文字aのかわりに式が入るもの
x2−2x+3=(x−1)2+2>0

【例題3.1】
a2+b2≧2(a+b−1)が成り立つことを証明してください．

（解答）
（左辺）−（右辺）=a2+b2−2(a+b−1)
=(a2−2a+1)+(b2−2b+1)=(a−1)2+(b−1)2≧0
（等号が成立するのはa=b=1のとき）
よって（左辺）≧（右辺）が成立する．（等号はa=b=1のとき）

【例題3.2】
a, b>0のとき

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} ≧ \frac{4}{a + b}

が成り立つことを証明してください．

（解答）
（左辺）−（右辺）

= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a + b}

= \frac{b (a + b) + a (a + b) - 4 a b}{a b (a + b)}

= \frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{a b (a + b)}

= \frac{(a - b)^{2}}{a b (a + b)}

分母は正，分子は(a−b)2≧0
よって
（左辺）−（右辺）≧0 （等号が成立するのはa=bのとき）

【問題３】　次の不等式について「つねに成立する」「成立するとは限らない」「つねに成立しない」のうちから選んでください．（クリックする）

(1)
x2+1>xが成立するかどうか調べてください．

（左辺）−（右辺）

= x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} ≧ \frac{3}{4} > 0

だから，つねに成立する．

(2)
a2+b2+c2+ab+bc+ca>0が成立するかどうか調べてください．

（左辺）

= \frac{(a + b)^{2} + (b + c)^{2} + (c + a)^{2}}{2} ≧ 0

等号が成立するのはa=−b, b=−c, c=−aすなわちa=b=c=0のとき
したがって，等号が成立する場合と不等号が成立する場合があり，不等号が成立するとは限らない．

(3)
(a2+b2)(c2+d2)≧(ac+bd)2が成立するかどうか調べてください．

（左辺）−（右辺）=(a2+b2)(c2+d2)−(ac+bd)2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2−(a2c2+2acbd+b2d2)
=ad2+b2c2−2acbd
=(ad−bc)2≧0
等号成立はad=bcのとき
したがって，つねに成立する．

[4]　ｎ乗比較

x>0のときy=xnのグラフは単調増加関数になっており，
次の(1)(2)のいずれも成り立ちます．

a, b>0のとき
a<b → an<bn…(1)
an<bn → a<b…(2)

　特に(2)式は，２つの正の数の大小関係が調べにくいときに，代わりにｎ乗したもので比較してよいことを表しています．

【例題4.1】
２つの正の数a, bの相加平均

\frac{a + b}{2}

，相乗平均

\sqrt{a b}

，調和平均

\frac{1}{\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2}} = \frac{2 a b}{a + b}

の大小を比較してください．

（解答）
相加平均

\frac{a + b}{2}

，相乗平均

\sqrt{a b}

は両方とも正の数なので2乗比較できる．

(\frac{a + b}{2})^{2} - (\sqrt{a b})^{2} = \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{4} - a b

= \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{4} = \frac{(a - b)^{2}}{4} ≧ 0

したがって

\frac{a + b}{2} ≧ \sqrt{a b}

等号はa=bのとき

相乗平均

\sqrt{a b}

，調和平均

\frac{2 a b}{a + b}

は両方とも正の数なので2乗比較できる．

(\sqrt{a b})^{2} - (\frac{2 a b}{a + b})^{2} = a b - (\frac{2 a b}{a + b})^{2}

= \frac{a b (a + b)^{2} - 4 a^{2} b^{2}}{(a + b)^{2}} = \frac{a b (a^{2} - 2 a b + b^{2})}{(a + b)^{2}}

= \frac{a b (a - b)^{2}}{(a + b)^{2}} ≧ 0

したがって

\sqrt{a b} ≧ \frac{2 a b}{a + b}

等号はa=bのとき
結局

\frac{a + b}{2} ≧ \sqrt{a b} ≧ \frac{2 a b}{a + b}

等号はいずれもa=bのとき

【例題4.2】
２つの正の数a, bの
2乗平均

\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}

と相加平均

\frac{a + b}{2}

の大小を比較してください．

（解答）
いずれも正の数だから何乗かして比較してよい．根号を取り除くために各々2乗する．

(\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}})^{2} - (\frac{a + b}{2})^{2}

= \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{4}

= \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{4} = \frac{(a - b)^{2}}{4} ≧ 0

したがって

\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} ≧ \frac{a + b}{2}

等号はa=bのとき

【問題４】　次の２数の大小関係を調べてください．（選択肢のうち正しいものをクリック）

(1)
a, b>0のとき

\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}}

と

\sqrt{a + b}

の大小関係を調べてください．

\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}} > \sqrt{a + b}

\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}} ≧ \sqrt{a + b}

\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}} < \sqrt{a + b}

\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}} ≦ \sqrt{a + b}

２数とも正だから根号を取り除くために２乗して比較する．

(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}})^{2} - (\sqrt{a + b})^{2}

= \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{2} - (a + b)

= \frac{- a + 2 \sqrt{a b} - b}{2} = - \frac{a - 2 \sqrt{a b} + b}{2}

= - \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}}{2} ≦ 0

したがって

\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}} ≦ \sqrt{a + b}

等号はa=bのとき

(2)
a, b, c>0のとき

\frac{a + b + c}{3}

と

\sqrt{\frac{a b + b c + c a}{3}}

の大小関係を調べてください．

\frac{a + b + c}{3} > \sqrt{\frac{a b + b c + c a}{3}}

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt{\frac{a b + b c + c a}{3}}

\frac{a + b + c}{3} < \sqrt{\frac{a b + b c + c a}{3}}

\frac{a + b + c}{3} ≦ \sqrt{\frac{a b + b c + c a}{3}}

２数とも正だから根号を取り除くために２乗して比較する．

(\frac{a + b + c}{3})^{2} - (\sqrt{\frac{a b + b c + c a}{3}})^{2}

= \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a}{9} - \frac{a b + b c + c a}{3}

= \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a}{9}

= \frac{1}{9} \times \frac{(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}}{2} ≧ 0

したがって

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt{\frac{a b + b c + c a}{3}}

等号はa=b=cのとき

[5]　（相加平均）≧（相乗平均）≧（調和平均）の関係

○登場する文字がすべて正の数のとき，次に示す（相加平均）≧（相乗平均）の関係が成り立ちます．

a, b>0のとき

\frac{a + b}{2} ≧ \sqrt{a b}

…(1)
等号はa=bのとき

a, b, c>0のとき

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c}

…(2)
等号はa=b=cのとき

a, b, c, d>0のとき

\frac{a + b + c + d}{4} ≧ \sqrt[4]{a b c d}

…(3)
等号はa=b=c=dのとき

５文字以上のときも同様にして成り立つ

○これらの公式の証明自体はｎ乗比較などの方法で行えますが，応用問題では（相加平均）≧（相乗平均）の関係からスタートすると見通しがよくなり，問題によってはしばしば短縮答案が書けます．

(1)の証明は例題4.1にあります．

(3)は(1)の結果を使って証明できます．

\frac{a + b + c + d}{4} = \frac{\frac{a + b}{2} + \frac{c + d}{2}}{2} ≧ \frac{\sqrt{a b} + \sqrt{c d}}{2}

≧ \sqrt{\sqrt{a b} \sqrt{c d}} = \sqrt[4]{a b c d}

等号はa=b, c=d, ab=cdすなわちa=b=c=dのとき

(2)は(3)から証明できます．

\frac{a + b + c + d}{4} ≧ \sqrt[4]{a b c d}

において

d = \frac{a + b + c}{3}

とおくと

\frac{a + b + c + \frac{a + b + c}{3}}{4} ≧ \sqrt[4]{a b c \frac{a + b + c}{3}}

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[4]{a b c \frac{a + b + c}{3}}

両辺を4乗すると

(\frac{a + b + c}{3})^{4} ≧ a b c \frac{a + b + c}{3}

(\frac{a + b + c}{3})^{3} ≧ a b c

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c}

等号は

a = b = c = \frac{a + b + c}{3}

すなわちa=b=c=dのとき

※一般のｎ文字の(相加平均)≧(相乗平均)の関係の証明も，上記のように2ⁿ個から下っていく帰納法で証明できますが，直接的には対数関数が上に凸であることを利用すると速い（ここでは触れない）

【例題5.1】
a, b, c>0のとき(a+b)(b+c)(c+a)≧8abcが成り立つことを証明してください．

（解答）
すべて正の数だから（相加平均）≧（相乗平均）の関係が成り立つ

\frac{a + b}{2} ≧ \sqrt{a b} > 0

\frac{b + c}{2} ≧ \sqrt{b c} > 0

\frac{c + a}{2} ≧ \sqrt{c a} > 0

両辺とも正だから辺々かけても不等号の向きは変わらない

\frac{a + b}{2} \times \frac{b + c}{2} \times \frac{c + a}{2} ≧ \sqrt{a b} \sqrt{b c} \sqrt{c a} > 0

\frac{(a + b) (b + c) (c + a)}{8} ≧ a b c

ゆえに

(a + b) (b + c) (c + a) ≧ 8 a b c

等号はa=b=cのとき

【例題5.2】
a, b, c>0のとき

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ \frac{1}{\sqrt{a b}} + \frac{1}{\sqrt{b c}} + \frac{1}{\sqrt{c a}}

が成り立つことを証明してください．

（解答）
すべて正の数だから（相加平均）≧（相乗平均）の関係が成り立つ

\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} ≧ \sqrt{\frac{1}{a} \times \frac{1}{b}}

\frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{2} ≧ \sqrt{\frac{1}{b} \times \frac{1}{c}}

\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{a}}{2} ≧ \sqrt{\frac{1}{c} \times \frac{1}{a}}

辺々加えると

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ \frac{1}{\sqrt{a b}} + \frac{1}{\sqrt{b c}} + \frac{1}{\sqrt{c a}}

等号はa=b=cのとき

【問題5.1】　正しいものを選んでください．（選択肢のうち正しいものをクリック）

(1)
a, b, c>0のとき

(a + b + c) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c})

と定数4の大小関係を調べてください．

(a + b + c) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c}) ≧ 4

(a + b + c) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c}) ≦ 4

大小関係は決まらない

すべて正の数だから（相加平均）≧（相乗平均）の関係が成り立つ

\frac{(a + b) + c}{2} ≧ \sqrt{(a + b) c} > 0

\frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c}}{2} ≧ \sqrt{\frac{1}{a + b} \times \frac{1}{c}} > 0

両辺とも正だから辺々かけても不等号の向きは変わらない

\frac{(a + b) + c}{2} \times \frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c}}{2} ≧ \sqrt{(a + b) c} \sqrt{\frac{1}{a + b} \times \frac{1}{c}} = 1

ゆえに

(a + b + c) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c}) ≧ 4

等号はa+b=cのとき

(2)
a, b, c>0のとき

(a + b + c) (a b + b c + c a) ≧ k a b c

を満たす定数kの最大値は

1 2 3 4 6 9

すべて正の数だから（相加平均）≧（相乗平均）の関係が成り立つ

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c} > 0

\frac{a b + b c + c a}{3} ≧ \sqrt[3]{a b b c c a} = \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} > 0

両辺とも正だから辺々かけても不等号の向きは変わらない

\frac{a + b + c}{3} \times \frac{a b + b c + c a}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c} \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} = a b c

したがって

(a + b + c) (a b + b c + c a) ≧ 9 a b c

等号はa=b=cのとき
ゆえにk=9

(3)
a, b, c>0のとき

a^{4} + b^{4} + c^{4} ≧ k a b c (a + b + c)

を満たす定数kの最大値は

1 2 3 4 6 9

すべて正の数だから（相加平均）≧（相乗平均）の関係が成り立つ

a^{4} + b^{4} + c^{4} = \frac{a^{4} + b^{4}}{2} + \frac{b^{4} + c^{4}}{2} + \frac{c^{4} + a^{4}}{2}

≧ a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}

= \frac{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2}}{2} + \frac{b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}{2} + \frac{c^{2} a^{2} + a^{2} b^{2}}{2}

≧ a b b c + b c c a + c a a b = a b c (a + b + c)

したがって

a^{4} + b^{4} + c^{4} ≧ a b c (a + b + c)

等号はa=b=cのとき
ゆえにk=1

x, y, z>0のときに成り立つ（相加平均）と（調和平均）の関係

\frac{x + y + z}{3} ≧ \frac{1}{\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}{3}} = \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}

なども参考にして次の問いに答えてください．
【問題5.2】　正しいものを選んでください．（選択肢のうち正しいものをクリック）

(1)
a, b, c>0のとき

\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} ≧ \frac{k}{2 (a + b + c)}

を満たす定数kの最大値は

1 2 3 4 6 9

x = \frac{1}{a + b}, y = \frac{1}{b + c}, z = \frac{1}{c + a}

とおくと

\frac{1}{x} = a + b, \frac{1}{y} = b + c, \frac{1}{z} = c + a

このとき，上記の（相加平均）≧（調和平均）の関係

\frac{x + y + z}{3} ≧ \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}

から

\frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}}{3} ≧ \frac{1}{\frac{(a + b) + (b + c) + (c + a)}{3}}

すなわち

\frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}}{3} ≧ \frac{3}{(a + b) + (b + c) + (c + a)}

さらに，右辺を変形

\frac{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}}{3} ≧ \frac{3}{2 (a + b + c)}

結局

\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} ≧ \frac{9}{2 (a + b + c)}

したがって， $k$ の最大値は9

(2)
a, b, cが三角形の３辺の長さを表すとき

\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c} ≧ \frac{k}{a + b + c}

を満たす定数kの最大値は

1 2 3 4 6 9

x = \frac{1}{b + c - a}, y = \frac{1}{c + a - b}, z = \frac{1}{a + b - c}

とおくと

\frac{1}{x} = b + c - a, \frac{1}{y} = c + a - b, \frac{1}{z} = a + b - c

三角形の２辺の長さの和は他の１辺の長さよりも大きいから，

x, y, z, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} > 0

このとき，上記の（相加平均）≧（調和平均）の関係

\frac{\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c}}{3}

≧ \frac{3}{(b + c - a) + (c + a - b) + (a + b - c)}

から

\frac{\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c}}{3} ≧ \frac{3}{a + b + c}

\frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c} ≧ \frac{9}{a + b + c}

したがって， $k$ の最大値は9

[6]　シュワルツの不等式

○次の不等式をシュワルツの不等式といいます．この不等式は登場する文字が正の数でなくても「実数でありさえすれば成り立ちます」．

(a2+b2)(x2+y2)≧(ax+by)2…(1)

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≧(ax+by+cz)2…(2)

※この関係は変数がｎ個×２のときも成り立ちます

（証明）
(1)の2文字×２の場合について示す．（文字数が多いときも同様に証明できる）

ア）　（左辺）−（右辺）を変形して平方完成を行う方法

（左辺）−（右辺）
=(a2+b2)(x2+y2)−(ax+by)2
=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2−a2x2−2abxy−b2y2
=a2y2+b2x2−2abxy
=(ay−bx)2≧0

楽しく

\frac{x}{a} = \frac{y}{b}

のときと言いたいところであるが，この形で書くとa, bが０になるとき分母が０になって困る
そこで，まとめて書く方法を考える

等号が成立するのは，ay=bxのとき

すなわち，a:x=b:yのとき
ただし，左辺のｎ番目の文字が０のときは，右辺のｎ番目の文字も０になるものとする．

イ）　ベクトルの内積で考える方法

高校数学Bで習うベクトルをつかうと図形的な意味が分かります．

２つのベクトル

\vec{p} = (a, b), \vec{q} = (x, y)

がなす角をθとするとき，これらの内積

\vec{p} \cdot \vec{q}

と各々のベクトル

\vec{p}, \vec{q}

の長さ

∣ \vec{p} ∣, ∣ \vec{q} ∣

とは次の関係を満たす．

\vec{p} \cdot \vec{q} =∣ \vec{p} ∣ \cdot ∣ \vec{q} ∣ \cos θ

これを成分で書くと

a x + b y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cos θ

したがって

- \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} ≦ a x + b y ≦ \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}

すなわち，内積ax+byは２つのベクトルが同じ向きのとき最大になり，逆向きのとき最小になり，その間の角度のときはその間の値をとる．
だから

(a x + b y)^{2} ≦ (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2})

２つのベクトルが同じ向き（または逆向き）のときに等号が成り立つ．
(x, y)=k(a, b)
すなわち，a : x=b : yのとき
ただし，左辺のｎ番目の文字が０のときは，右辺のｎ番目の文字も０になるものとする．

【問題６】　正しいものを選んでください．（選択肢のうち正しいものをクリック）

(1)
実数a, b, cについて

k (a^{2} + b^{2} + c^{2}) ≧ (a + b + c)^{2}

を満たす定数kの最小値は

1 2 3 4 6 9

シュワルツの不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≧(ax+by+cz)2においてx=y=z=1を代入すると
(a2+b2+c2)×3≧(a+b+c)2
等号はa:x=b:y=c:zのとき，すなわちa=b=cのとき
このとき

3 ≧ \frac{(a + b + c)^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

だから

k ≧ 3 ≧ \frac{(a + b + c)^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

のとき成り立つ．すなわち,kの最小値は3

(2)
どんな実数a, b, cについても

k (a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}) ≧ (a + 2 b + 3 c)^{2}

が成り立つとき，定数kの最小値は

1 2 3 4 6 9

シュワルツの不等式(x2+y2+z2)(p2+q2+r2)≧(px+qy+rz)2において

x = 1, y = \sqrt{2}, z = \sqrt{3}

p = a, q = \sqrt{2} b, r = \sqrt{3}

を代入すると

(1 + 2 + 3) (a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}) ≧ (a + 2 b + 3 c)^{2}

6 (a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}) ≧ (a + 2 b + 3 c)^{2}

等号は

p : q : r = 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}

のとき
このとき

6 ≧ \frac{(a + 2 b + 3 c)^{2}}{(a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2})}

だから

k ≧ 6 \underset{―}{\geq} \frac{(a + 2 b + 3 c)^{2}}{(a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2})}

のとき成り立つ．すなわち,kの最小値は6

[7]　チェビシェフの不等式

○次の不等式をチェビシェフの不等式といいます．この不等式では登場する文字が必ずしも正の数とは限らないことに注意しましょう」．

a≦b, x≦yのとき

\frac{a + b}{2} \cdot \frac{x + y}{2} ≦ \frac{a x + b y}{2}

…(1)
等号はa=bまたはx=yのとき

a≦b≦c, x≦y≦zのとき

\frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{x + y + z}{3} ≦ \frac{a x + b y + c z}{3}

…(2)
等号はa=b=cまたはx=y=zのとき

※文字数がｎ個×２のときも同様の関係が成り立つ

　この不等式を証明するためには，仮定の使い方を考えることが重要です．
b−a≧0, y−x≧0の形を作るしかない！

（証明）
(1)←
仮定より
b−a≧0, y−x≧0
（右辺）−（左辺）

= \frac{a x + b y}{2} - \frac{a + b}{2} \cdot \frac{x + y}{2}

= \frac{2 (a x + b y) - (a + b) (x + y)}{4}

= \frac{2 a x + 2 b y - a x - a y - b x - b y}{4}

= \frac{a x + b y - a y - b x}{4}

= \frac{a (x - y) + b (y - x)}{4}

= \frac{(b - a) (y - x)}{4} ≧ 0

等号はa=bまたはx=yのとき

(21)←
仮定より
b−a≧0, c−b≧0, y−x≧0, z−y≧0
（右辺）−（左辺）

= \frac{a x + b y + c z}{3} - \frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{x + y + z}{3}

= \frac{3 (a x + b y + c z) - (a + b + c) (x + y + z)}{9}

= \frac{1}{9} (3 a x + 3 b y + 3 c z - a x - a y - a z

- b x - b y - b z - c x - c y - c z)

= \frac{1}{9} (2 a x + 2 b y + 2 c z - a y - a z

- b x - b z - c x - c y)

= \frac{1}{9} {(2 a x - a y - a z)

+ (2 b y - b x - b z)

+ (2 c z - c x - c y)}

= \frac{1}{9} {a (x - y) + a (x - z)

+ b (y - x) + b (y - z)

+ c (z - y) + c (z - x)}

= \frac{1}{9} {(b - a) (y - x) + (c - b) (z - y) + (c - a) (z - x)}

ここでb−a≧0, c−b≧0, c−a≧0, y−x≧0, z−y≧0, z−x≧0だから（右辺）≧（左辺）が成り立つ．
等号はa=b=cまたはx=y=zのとき

【例題7.1】
a, b>0のとき

\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot \frac{a^{3} + b^{3}}{2} ≦ \frac{a^{5} + b^{5}}{2}

が成り立つことを証明してください．

一見，チェビシェフの不等式がそのまま使えそうに見えますが，その前提条件a≦bが満たされておらず，代わりにa, b>0となっていることに注意
仕方がないので，初めから自分で証明する方がよい

（解答）
（右辺）−（左辺）

= \frac{a^{5} + b^{5}}{2} - \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot \frac{a^{3} + b^{3}}{2}

= \frac{2 a^{5} + 2 b^{5} - a^{5} - a^{2} b^{3} - a^{3} b^{2} - b^{5}}{4}

= \frac{a^{5} + b^{5} - a^{2} b^{3} - a^{3} b^{2}}{4}

= \frac{a^{3} (a^{2} - b^{2}) + b^{3} (b^{2} - a^{2})}{4}

= \frac{(a^{3} - b^{3}) (a^{2} - b^{2})}{4}

a>b(>0)のとき

a^{2} > b^{2}, a^{3} > b^{3}

だから
（右辺）>（左辺）
(0<)a≦bのとき

a^{2} ≦ b^{2}, a^{3} ≦ b^{3}

だから
（右辺）≧（左辺）
いずれの場合も，（右辺）≧（左辺）が成り立つ．（等号はa=bのとき）

【例題7.2】
0<a≦b≦cのとき

(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{3} + b^{3} + c^{3}) ≦ 3 (a^{5} + b^{5} + c^{5})

が成り立つことを証明してください．

大学入試の記述式答案では「高校の教科書に書いてある定理・公式は黙って使ってもよい」「高校の教科書に書いてない定理・公式は黙って使ってはいけない」というのが通常の採点基準でしょう．
チェビシェフの不等式は，ほとんどの教科書に書いてないので，使うときは「証明してから使う」「公式名と公式を書いてから使う」方が無難でしょう．

（解答）
仮定より0<a≦b≦cだから0<a2≦b2≦c2および0<a3≦b3≦c3が成り立つ．

チェビシェフの不等式

p≦q≦r, x≦y≦zのとき

\frac{p + q + r}{3} \cdot \frac{x + y + z}{3} ≦ \frac{p x + q y + r z}{3}

等号はp=q=rまたはx=y=zのとき

において，p=a2, q=b2, r=c2およびx=a3, y=b3, z=c3とおくと

\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} \cdot \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} ≦ \frac{a^{5} + b^{5} + c^{5}}{3}

したがって

(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{3} + b^{3} + c^{3}) ≦ 3 (a^{5} + b^{5} + c^{5})

が成り立つ．
等号は0<a2=b2=c2または0<a3=b3=c3から
a=b=cのとき

【問題７】　正しいものを選んでください．（選択肢のうち正しいものをクリック）

(1)
(0<)a≦b≦cのとき

(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{3} + b^{3} + c^{3})

≦ k (a^{6} + b^{6} + c^{6})

を満たす定数kの最小値は

1 2 3 4 6 9

仮定より0<a≦b≦cだから0<a2≦b2≦c2および0<a3≦b3≦c3が成り立つ．

チェビシェフの不等式

p≦q≦r, x≦y≦zのとき

\frac{p + q + r}{3} \cdot \frac{x + y + z}{3} ≦ \frac{p x + q y + r z}{3}

等号はp=q=rまたはx=y=zのとき

において，p=a, q=b, r=cおよびx=a2, y=b2, z=c2とおくと

\frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} ≦ \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}

さらに，p=a3, q=b3, r=c3およびx=a3, y=b3, z=c3とおくと

\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} \cdot \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} ≦ \frac{a^{6} + b^{6} + c^{6}}{3}

したがって

\frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} \cdot \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}

≦ \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} \cdot \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}

≦ \frac{a^{6} + b^{6} + c^{6}}{3}

ゆえに

(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{3} + b^{3} + c^{3}) ≦ 9 (a^{6} + b^{6} + c^{6})

すなわち,kの最小値は9

(2)
a≦b≦c, x≦2y≦3z, a+b+c=0のとき

a x + 2 b y + 3 c z

の最小値は

−3 −2 −1 0 1 2 3

チェビシェフの不等式

p≦q≦r, s≦t≦uのとき

\frac{p + q + r}{3} \cdot \frac{s + t + u}{3} ≦ \frac{p s + q t + r u}{3}

等号はp=q=rまたはs=t=uのとき

において，p=a, q=b, r=cおよびs=x, t=2y, u=3zとおくと

\frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{x + 2 y + 3 z}{3} ≦ \frac{a x + 2 b y + 3 c z}{3}

仮定によりa+b+c=0だから

0 ≦ a x + 2 b y + 3 c z

x=2y=3z（たとえばx=6, y=3, z=2）のとき，最小値0となる

(3)
(0<)a≦b≦cのとき，次の不等式のAの箇所に入る式を求めてください

(a + b + c)^{n} ≦ A (a^{n} + b^{n} + c^{n})