...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「ベクトル」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓ベクトルの定義
↓ベクトルの和
↓ベクトルの差
↓2点間のベクトル
↓ベクトルの実数倍
↓ベクトルの実数倍･和･差
↓ベクトルの図形への応用
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)
↓同(6)
↓内分点の内分点
↓同(2)
↓点の存在範囲
↓同(2)
↓２直線の交点1
↓２直線の交点2
↓外心,重心,垂心,内心,オイラー線
↓ベクトル成分の計算
↓ベクトルの大きさ
↓ベクトルの内積-現在地
↓ベクトルの内積（成分）
↓ベクトルのなす角
↓|a|の変形
↓ベクトルの平行条件,垂直条件
↓一直線上にある条件
↓ベクトル方程式（内積）
↓ベクトルの公式一覧
センター試験.ベクトル.三角関数(2013年～)

ベクトルの内積

２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の始点を原点Oに重ねて，$\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\overrightarrow{b}$とするとき，∠AOB=θをベクトルの$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$のなす角という。ただし，0°≦θ≦180°とする。

２つのベクトル$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$のなす角をθとするとき，ベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を次の式で定義する。

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\mid \overrightarrow{a}\mid \cdot \mid \overrightarrow{b}\mid \cos \theta$・・・(1)
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$・・・(2)

始点が重なった状態で，２つのベクトルのなす角はθ=60°だから
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 3\times \cos {60}^{\circ }$
とします．

数学Ⅰで習った三角比の値${\displaystyle \cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}}$を使って，結果を次のようにまとめます．
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 3\times \cos {60}^{\circ }=6\times \frac{1}{2}=3}$

図2

${\displaystyle \mid \overrightarrow{a}\mid =1,\mid \overrightarrow{b}\mid =2}$と読み取ります．

次に，これら２つのベクトルの始点が重なっていることを確かめます．

始点が重なった状態で，２つのベクトルのなす角はθ=90°だから
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\times 2\times \cos {90}^{\circ }}$
とします．

数学Ⅰで習った三角比の値${\displaystyle \cos {90}^{\circ }=0}$を使って，結果を次のようにまとめます．
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\times 2\times \cos {90}^{\circ }=2\times 0=0}$

この例では，${\displaystyle \mid \overrightarrow{a}\mid =1,\mid \overrightarrow{b}\mid =2}$の値は全く利用されていません．
すなわち，$\cos {90}^{\circ }=0$だから，２つのベクトルの大きさ（長さ）が何であっても，垂直な２つのベクトルの内積は０になります．
この結果は，ベクトルを習うときに何度も登場します．

図3

$\mid \overrightarrow{a}\mid =2,\mid \overrightarrow{b}\mid =1$と読み取ります．

次に，これら２つのベクトルの始点が重なっていることを確かめます．

始点が重なった状態で，２つのベクトルのなす角はθ=180°だから
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 1\times \cos {180}^{\circ }$
とします．

数学Ⅰで習った三角比の値$\cos {180}^{\circ }=-1$を使って，結果を次のようにまとめます．
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 1\times (-1)=-2$

一般に，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$が零ベクトルでないとき，$\mid \overrightarrow{a}\mid ,\mid \overrightarrow{b}\mid$は大きさ（長さ）だから，つねに
$\mid \overrightarrow{a}\mid >0,\mid \overrightarrow{b}\mid >0$
が成り立ちますが，${90}^{\circ }<\theta \leqq {180}^{\circ }$のとき
$\cos \theta <0$
だから
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\mid \overrightarrow{a}\mid \cdot \mid \overrightarrow{b}\mid \cdot \cos \theta <0$
になります．
すなわち，２つのベクトルのなす角が90°よりも大きいとき（鈍角のとき），内積は負の値になります．

(1) ２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の大きさ（=長さ）$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$を求める
(2) ２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$のなす角θを求めて$\cos \theta$を求める
(3) 定義に従って，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cos \theta$に当てはめる

「始点がそろうように移動させてから測ること」
「角度は0°≦θ≦180°で求めること」

図4

図5

図6

2 成分で表されたベクトルの内積

(1) ２つのベクトル$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$の対応するx成分同士，y成分同士の積を求める
$a_1\times b_1,a_2\times b_2$
(2) それらの和を求める
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\times b_1+a_2\times b_2$

$\overrightarrow{a}=$(1, 2)，$\overrightarrow{b}=$(3, 4)のとき
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=$1×3+2×4

$\overrightarrow{a}=$(1, 2)，$\overrightarrow{b}=$(3, 4)のとき
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=$1×2+3×4

正しいと思う選択肢をクリック（タップ）すれば，採点結果と解説が出ます．解答しなければ解説は出ません．

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\times 3+(-2)\times 1=3-2=1$ →解説を隠す←

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\times 2+4\times (-1)=0-4=-4$ →解説を隠す←

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times (-3)+3\times 2=-6+6=0$ →解説を隠す←

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\sqrt{2}\times \sqrt{2}+1\times 2=2+2=4$ →解説を隠す←

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=(-1)\times 2+2\times 0=-2+0=-2$ →解説を隠す←

　この話は，高校の数学の教科書を何冊か見ても明確に書かれたものはなく，自分が高校で教えていたときも踏み込んでしまうと相手によっては余計に混乱してしまうおそれのであえて触れなかった．
　はじめて習うときには，「なぜ$\sin \theta$でなくて$\cos \theta$なのか」「そもそもなぜそのように定義するのか」「そんな不自然な定義をしてどんな使い道があるのか」など疑問を持つことがある．（この段階ではまだエネルギーや力積は習っていない）
　筆者が高校生のときは，頭ごなしに$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cos \theta$だと言われると，わだかまりがあって勉強がしばらく停滞した覚えがあるので，高２段階でそれなりに納得のいく説明を試みる．

　教科書では，通常，内積について(2)のように図形的に定義し，成分に直す方法は後から教えるので，上のような説明を行う機会は少ない．
　ベクトルを図形から定義すれば，数学・理科以外での使い道が分からなくなるが，成分で定義すれば列になったデータは何でもベクトルと見なせる．今日では，生徒は４次元，５次元どころか数十，数百次元のデータでも普通に処理しており，それがベクトルで，各成分の積の和が内積なのだと言えばもっと関心を持ってもらえるかもしれない．

左の表において，
価格は(縦に読む)6次元のベクトル，
個数は(縦に読む)6次元のベクトルで，
その内積(積の和：Excelで言えば=SUMPRODUCT( ))が合計の売上高を表します．
※統計では，数学とはちょっと違って「上端の表題をベクトルの名前」とし，特に→を付けずに日本語漢字，ひらがな何でもありで「ベクトルの名前」に使います．
この例では(価格)·(個数)は内積になり，¥48,644です．

いやー時代が変わりましたね。素晴らしいの一言です。私は第２世代ベビーブームの薬剤師です。 人生をやり直した気持ちでやってみました。今後もっともっと素晴らしいサイトを構築してくださいませ。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

左と右から選んで消していく問題について、誤タップから選択を消す方法がないので、再度タップすると選択中の赤枠が消えるなどあると使いやすい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題の選び直し（=いわゆる迷い箸のようなもの）については考えておきます．