ベクトルのなす角

【要約】
２つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の成分が $\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)$ のように与えられているとき，内積の定義
$\vec{a}\cdot \vec{b}$ $=$ $|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$ $\cos \theta$
において，
$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2$
$|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|=\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2}\cdot \sqrt{{b_1}^2 + {b_2}^2}$
のように求めることができるから，これらを使って
$\cos \theta$ $=$ $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ …(1)
のように角θの余弦を計算することができる．

○さらに，次の角度については筆算の場合でも，cos θの値から角θが求まる．

$\theta$	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$
$\cos \theta$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	−1

○通常の場合，これ以外の角度については，コンピュータや三角関数表によらなければ角θの値は求められない．

この角度は「結果を覚えているから答えられる」のであって，次の例のように結果を覚えていない角度については，このようには答えられない．

そもそも，ベクトルの成分と角θをつなぐ公式(1)は
$\theta=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
ではなく
$\cos \theta=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
の形をしており，cos θの値までしか求まらない．

【例題1】
$\vec{a}=(\sqrt{3},\hspace{5}1),\hspace{5}\vec{b}=(0,\hspace{5}2)$ のとき２つのベクトル $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ のなす角θを求めなさい。（度で答えよ）

【例題2】
$\vec{a}=(1,\hspace{5}2),\hspace{5}\vec{b}=(-1,\hspace{5}3)$ のとき２つのベクトル $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ のなす角θを求めなさい。（度で答えよ）

【例題3】
$\vec{a}=(1,\hspace{5}1),\hspace{5}\vec{b}=(1,\hspace{5}2)$ のとき，２つのベクトル $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ のなす角をθとするとき， $\cos\theta$ の値を求めなさい．

(1)　２つのベクトル $\vec{a}=(2,1),\vec{b}=(2,6)$ のなす角を求めてください．（答は度で）解説

0° 30° 45° 60° 90° 120°

$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 2+ 1\times 6=10$
$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+ 1^2}=\sqrt{5}$ ， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+ 6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ だから
$\cos \theta=\frac{10}{\sqrt{5}\times 2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
θ=45°…（答）

(2)　２つのベクトル $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(1,\sqrt{3})$ のなす角を求めてください．（答は度で）解説

0° 30° 45° 60° 90° 120°

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 1+ 0\times \sqrt{3}=1$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+ 0^2}=1$ ， $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+ (\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$ だから
$\cos \theta=\frac{1}{2}$
θ=60°…（答）

(3)　２つのベクトル $\vec{a}=(1,-3),\vec{b}=(1,2)$ のなす角を求めてください．（答は度で）解説

45° 60° 90° 120° 135° 150°

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 1+ (-3)\times 2=-5$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+ (-3)^2}=\sqrt{10}$ ， $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+ 2^2}=\sqrt{5}$ だから
$\cos \theta=\frac{-5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
θ=135°…（答）

(4)　２つのベクトル $\vec{a}=(2,-1),\vec{b}=(2,4)$ のなす角を求めてください．（答は度で）解説

45° 60° 90° 120° 135° 150°

$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 2+ (-1)\times 4=0$
だから
θ=90°…（答）

(5)　２つのベクトル $\vec{a}=(1,3),\vec{b}=(3,1)$ のなす角をθとするとき，cosθの値を求めてください．解説

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{4}{5}$

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 3+ 3\times 1=6$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+ 3^2}=\sqrt{10}$ ， $|\vec{b}|=\sqrt{3^2+ 1^2}=\sqrt{10}$ だから
$\cos \theta=\frac{6}{\sqrt{10}\sqrt{10}}=\frac{3}{5}$ …（答）
（※この問題では，角度までは求まりませんが，cosθの値は求められます）

【ベクトルの垂直条件】…（直交条件）
$\vec{a}\ne \vec{0},\hspace{5}\vec{b}\ne \vec{0}$ のとき，
$\vec{a}\perp \vec{b}\leftarrow \rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0$

※垂直(直角，90°)は１つの角度に過ぎませんが，実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多いので，この公式は重要

（参考）
大学では，内積が０になる場合は $\vec{a}=\vec{0},\hspace{5}\vec{b}=\vec{0}$ の場合も含めて，「垂直」「直交」と定義しますが，
高校では零ベクトル $\vec{0}$ の向きは考えないことになっていますので，「２つのベクトルが垂直である」というためには
$\vec{a}\perp \vec{b}\leftarrow \rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0$
だけでなく
$\vec{a}\ne \vec{0},\hspace{5}\vec{b}\ne \vec{0}$
も示すことになっています．
ただし， $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ として(0 , 0)以外の定数の成分が与えられているとき，それが零ベクトルでないことは自明ですので，「 $\vec{a}\ne \vec{0},\hspace{5}\vec{b}\ne \vec{0}$ 」の断り書きは省略できます．

【例題4】
$\vec{a}=(1,\hspace{5}2),\hspace{5}\vec{b}=(t,\hspace{5}1)$ のとき $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ が垂直となるように定数tの値を定めなさい．

$\vec{a}\cdot\vec{b}=t+ 2=0$ よりt=−2…(答)

(1)　２つのベクトル $\vec{a}=(2,3),\vec{b}=(x,4)$ が直交するように定数xの値を定めてください．解説

−6 −3 −2 2 3 6

$\vec{a}\cdot \vec{b}=2x+ 12=0$
より
x=−6…（答）

(2)　２つのベクトル $\vec{a}=(1,2),\vec{b}=(2,x)$ について， $\vec{a}+ \vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が直交するように定数xの値を定めてください．解説

−1 −2 −3 ±1 ±2 ±3

$\vec{a}+ \vec{b}=(3, 2+ x), \vec{a}-\vec{b}=(-1,2-x)$
$\vec{a}\cdot \vec{b}=-3+ 4-x^2=0$
より
x=±1…（答）

図形など図があればもっといいと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．現在筆者は次のように整理しています．
(1) 高校数学で習うベクトルには，図形で表される「矢印ベクトル」と成分で表示される「成分ベクトル」とがあります．ベクトルのなす角というのは図形的な意味ですが，実際には成分計算だけでできることに慣れるというのが第１の目標です．
(2) ３次元，４次元，５次元･･･今日では中学生でも多次元のデータを扱っていますが，そう言わないだけです．

生徒名	x（国語）	y（数学）	z（英語）
a	2	3	2
b	5	2	3
c	3	1	4
d	3	5	2
e	･･･	･･･	･･･
f	4	4	5

左の表で生徒ごとの３教科の得点傾向が似ているかどうかを判断するには，行ベクトル $\vec{a}=(2,3,2),\hspace{10}\vec{b}=(5,2,3),...$ などの個人ごとの「３次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかで見るのが１つの方法です．また，教科ごとの得点傾向が似ているかどうかを判断するには，列ごとに見たベクトル $\vec{x}=(2,5,3,3,\cdots ,4),\hspace{10}\vec{y}=(3,2,1,5,\cdots ,4),...$ などの「６次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかになります（左の表で６次元というのは縦に６個の数字が並んでいるから：６人だから）.
このようにして，実生活で扱うデータのほとんどは多次元ベクトルに対応しており，図を使わずに大きな数値の表だけを見て「ベクトルのなす角」という夢を見る能力が必要となります．（この頁参照）
(3) ご質問の頁は２次元ベクトルを扱っていますので，図を描こうと思えば描けますが，図があっても問題が解けるわけではありません．次のような意味合いで，１つや２つは図があってもよいとは思います．
　3.1) 答が２つあって迷うような場合とか，方程式で求めた値に対して実際には図が描けないような場合に，図で検証することができる．
　3.2) 文字ばかりの教材では暑苦しいが，ワンポイントの図があればリラックスでき，結果的に学習が進む．